Úlohy pro 1. cvičení k MAIII 5. 10. 2015

1. Dokažte trojúhelníkovou nerovnost pro 
Hammingovu metriku na slovech délky n.

2. Dokažte trojúhelníkovou nerovnost pro 
grafovou metriku na souvislém grafu (vzdálenost dvou vrcholů 
je délka nejkratší spojující cesty).

3 (DOM. CV. 3b). Ukažte, že z troj. nerovnosti a axiomu d(x,y)=0 iff x=y 
plyne nezápornost metriky.

4. Plyne symetrie (tj. d(x,y) = d(y,x)) z ostatních axiomů 
metriky? 

5 (DOM. CV. 3b). Dokažte trojúhelníkovou nerovnost pro euklidovskou 
vzdálenost v rovině.

6. Totéž v R^n. Návod: pomocí Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti

(a_1b_1+...+a_nb_n)^2  <= (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2).

Tu dokažte též. 

7 (DOM. CV. 6b). Dokažte, že žádný sférický vrchlík (část sféry odseknutá 
rovinou) se sférickou metrikou není izometrický množině v R^n 
s euklidovskou metrikou. [To je patrně těžší.]

8. Dá se libovolný trojúhelník na sféře 
(se sférickou metrikou) izometricky realizovat v rovině 
(s euklidovskou metrikou)?

9. Dokažte, že v ultrametrice je každý trojúhelník
rovnoramenný.

10. Dokažte, že p-adická vzdálenost zlomků je 
ultrametrika.