Analytická a kombinatorická teorie čísel DMI045

Předběžný sylabus: 1. Prvočíselná věta (pi(x) ~ x / log(x), kde pi(x) je počet prvočísel nepřesahujících x) - Newmanův důkaz. 2. šnirelmanova věta (každé přirozené číslo větší než 1 je součtem omezeně mnoha prvočísel). 3. Rothova věta o aritmetických posloupnostech (je-li r(n) maximální velikost podmnožiny v {1, 2, ..., n} neobsahující aritmetickou posloupnost délky 3, potom r(n) = o(n) pro n --> oo) - analytický a kombinatorický důkaz. Průběžně sepisuju (v angličtině) poznámky k přednášce (verze z 1.6.2006).

1. přednáška 28.2.2006. 1. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce.

2. přednáška 7.3.2006. Začátek důkazu Prvočíselné věty.

3. přednáška 14.3.2006. Pokračování v důkazu Prvočíselné věty.

4. přednáška 21.3.2006. Odpadá (dovolená přednášejícího).

5. přednáška 28.3.2006. Dokončení důkazu Prvočíselné věty (odhad tří integrálů v důkazu věty Wienera a Ikehary). 2. šnirelmanova hustota a její základní vlastnosti, množina s kladnou š. hustotou je aditivní bazí.

6. a 7. přednáška 4.4. a 11.4.2006. Odpadají (účast přednášejícího na škole a workshopu o aditivní kombinatorice v CRM Montréal ).

8. přednáška 18.4.2006. Rekapitulace. Nechť P je množina prvočísel, r(n) je počet vyjádření n ve tvaru p + q a s(n) je součin čísel 1 + 1/p pro p probíhající prvočinitele čísla n. Důkazy implikací r(n ) << s(n).n / (log n)^2 ==> š({1} U 2P) > 0 ==> šnirelmanova věta. Formulace Selbergova síta a jeho důkaz modulo přesná volba hodnot argumentů kvadratické formy G.

9. přednáška 25.4.2006. Důkaz odhadu r(n ) << s(n).n / (log n)^2 pomocí Selbergova síta.

10. přednáška 2.5.2006. Dokončení důkazu odhadu v Selbergově sítě (vlastnosti čísel lambda^*_d).

11. přednáška 9.5.2006. 3. Analytický důkaz Rothovy věty o aritmetických posloupnostech.

12. přednáška 16.5.2006. Dokončení důkazu Rothovy věty --- důkaz odhadu |sum(<k je v A> - d)z^k |= o(n), kde A je největší podmnožina 1, 2, ..., n bez AP délky 3, sčítá se přes k = 1, 2, ..., n, <V> je charakteristická funkce výroku V, d je limita r₃(n)/n pro n -> oo a z je libovolné komplexní číslo na jednotkové kružnici. Důkaz Rothovy věty pomocí teorie grafů --- lemma o vyhazování trojúhelníků (důkaz snad příště) a Rothova věta.

13. přednáška 23.5.2006. Formulace Szemerédiho lemmatu o regularitě. Odvození lemmatu o počtu trojúhelníků a lemmatu o vyhazování trojúhelníků. Tím je grafový důkaz Rothovy věty hotový až na důkaz SLR.

červen 2006