Pravidelná každoroční přednáška. Co jsem prednášel v předchozích letech lze nalézt
zde.
Sylabus
a anotace jsou v SISu. K
přednášce jsem napsal
učební text v angličtině,
zde jsou k němu
opravy a doplňky.
Přednáška je v pátek v S6 v 15:40-17:10.
Literatura - skoro vše, co
přednáším, lze nalézt v klasické knize
G.
H. Hardy & E. M. Wright: An
Introduction to the Theory of Numbers. Další literatura bude uvedena během prednášky.
Zkouška je ústní s
písemnou přípravou. Zkušební termíny: viz SIS (nebo po domluvě). Zkušební otázky: 1a.
Dirichletova věta o diof. aproximacích a její
aplikace.
1b. Existence transcendentních
čísel: Liouvilleova
nerovnost.
1c. Důkaz transcendence čísla e.
2a. Teorie Pellovy
rovnice.
2b. Lagrangeova
věta o 4 čtvercích, aritmetický důkaz.
2c. Stothersova-Masonova věta a důkaz FLT pro polynomy.
3a. Mřížky a jejich vlastnosti, Fareovy zlomky pomocí mřížek.
3b. Geometrický důkaz Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích.
4a. Čebyševovy odhady
prvočíselné funkce pi(x).
4b.
Spec. případ Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti
pro modul 4: dokažte, že sum_{p = 1 + 4n < x} (log p) / p =
(log x) / 2 +
O(1) i sum_{p = 3 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2 +
O(1);
důkaz je sepsán zde.
4c. Podejte 5 (pět) důkazů nekonečnosti počtu prvočísel.
5. Teorie kvadratických
zbytků včetně zákona
reciprocity.
6a. Dokažte Eulerovu pentagonální identitu.
6b. Dokažte Eulerovu identitu ``různé části versus liché části'' pomocí GF, pomocí bijekce a pomocí PIE (princip inkluze a exkluze).
1. přednáška 7. 10. 2016. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova
věta: |a - p/q| < q^{-2} má pro každé iracionální reálné číslo a nekonečně mnoho
racionálních řešení p/q, důkaz pomocí holubníku. Lemma: -1 je kvadratický zbytek modulo každé prvočíslo p =
1 + 4n, důkaz rozkladem F_p^* na bloky tvaru {x, -x, 1/x, -1/x}. Důsledek je
Fermatova-Eulerova věta
o 2 čtvercích: každé
prvočíslo p = 1 + 4n je tvaru x^2 + y^2, důkaz pomocí Lemmatu a
Dirichletovy věty. Další aplikací Dirichletovy věty je Lagrangeova věta
o existenci netriviálního řešení
Pellovy rovnice:
pro každé celé číslo d>0, jež není čtverec, existují celá čísla a,
b>0, že a^2 - db^2 = 1, dokončení tohoto důkazu příště.
2. přednáška 14. 10. 2016. Dokončení
důkazu Lagrangeovy věty z předchozí přednášky. Poznámky o efektivním (v
poly(log p) čase) algoritmickém řešení rovnice p = x^2 + y^2, kde p je
vstupní prvočíslo, 1 modulo 4. Máme-li kvadratický nezbytek a modulo p,
pak c = a^{(p-1)/4}splňuje c^2 = -1 modulo p a řešení x a y už
sestrojíme efektivně snadno. Jak efektivně najít a? Randomizovaným
algoritmem: Prob(x z {1, 2, ..., p-1} je kv. nezb. mod p) = 1/2.
Nerigorózně: platí-li
GRH (zobecněná Riemannova hypotéza), je první kv. nezb. mod p menší než (log p)^2. Rigorózně a deterministicky: pomocí
Schoofova algoritmu.
Fareyovy zlomky. Odvození D. věty ze základní vlastnosti F. zlomků (dva
sousedé mají nejmenší možnou vzdálenost), důkaz.
Dokazuje to vlastně silnější nerovnost ...< q^{-2}/2. Zmínka o
Hurwitzově větě o nejlepší konstantě v
D. větě (q^{-2}/5^{1/2} místo q^{-2}/2).
Liouvilleova nerovnost a transcendence,
důkaz příště.
3. přednáška 21. 10. 2016.
Důkaz Liouvilleovy nerovnosti, dokonce dva, první pomocí Lagrangeovy
věty o střední hodnotě a druhý pomocí faktorizace minimálního polynomu.
Číslo sum_n 1/10^{n!}je transcendentní. Liouvilleova čísla - jsou
transcendentní.
Hilbertův důkaz
Hermiteovy věty o transcendenci čísla e.
přednáška 28. 10. 2016 odpadá kvůli státnímu svátku.
4. přednáška 4. 11. 2016. 2. Diofantické rovnice. Grupová
struktura řešení Pellovy rovnice. Zobecněná Pellova rovnice x^2 - dy^2
= m (m je celé nenulové): buď žádné řešení nebo nekonečně mnoho. Zase
Lagrangeova věta, tentokrát o 4 čtvercích: n = x_1^2 + ... + x_4^2 má
pro každé nezáporné celé n řesení v celých číslech x_i. Stihli jsme
celý aritmetický důkaz.
5. přednáška 11. 11. 2016. Přednáska odpadla (pro neúčast posluchačů).
6. přednáška 18. 11. 2016. Zmínka
o Matijasevičově větě - řešitelnost diof. rovnic není algoritmicky
rozhodnutelná (v důkazu hraje důležitou roli Pellova rovnice).
Úložka: řešitelnost obecné diof. rovnice lze redukovat na
řešitelnost diof. rovnice stupně nejvýše 4.
Siegel dokázal, že
řešitelnost
diof. rovnice stupně nejvýše 2 se dá rozhodout algoritmem. Zmínka o
Thueho rovnici, Thueho větě o ní a Thueho zesílení Liouvilleovy
nerovnosti. Tvrzení o pythagorejských trojicích (popis všech
celočíselných řešení rovnice x^2 + y^2 = z^2), důkaz. Fermatova věta:
x^4 + y^4 = z^2 nemá v Z netriviální řešení, důkaz nekonečným sestupem.
Stothersova-Masonova věta: jsou-li a, b, c polynomy z C[x], ne všechny
konstantní a vesměs nesoudělné a a + b = c, pak max(deg a,deg b,deg c)
< rad(abc) (= počet různých kořenů v abc). Důkaz příště.
7. přednáška 25. 11. 2016. Důkaz
Stothersovy-Masonovy věty, tj. počítání s logaritmickou derivací rac.
funkcí. Odvození FPV pro polynomy: a^n + b^n = c^n nemá pro n > 2
řešení v a, b, c z C[t], kde ne všechny a, b, c jsou konstantní.
Úložka: dokažte přímo, bez použití S.-M. věty. Poznámky o abc domněnce.
3. Geometrie čísel. Mřížky a
základníky rovnoběžníky, jejich objem nezávisí na bázi. Začali jsme
důkaz základní vlastnosti Fareyových zlomků (sousední téhož řádu mají
minimální možnou vzdálenost) pomocí rovinných mřížek.
8. přednáška 2. 12. 2016. Dokončení
důkazu: jsou-li a/b < c/d sousedé z F_n, má rovinný rovnoběžník
generovaný vektory u=(a,b) a v=(c,d) mřížové body jen ve vrcholech,
takže se mřížka s bazí {u, v}rovná Z^2 a |det(u, v)| = 1, tedy bc - ad
= 1. Důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích pomocí Minkowského věty o
konvexním tělese (je-li L mřížka v R^n a B konvexní, omezené, středově
souměrné těleso v R^n s objemem vol(B) > 2^n.vol(L), pak průnik B a
L je netriviální). Slibil jsem příště povědět, co říká příbuzná avšak
složitější a obtížnější
Minkowského věta o tzv. postupných minimech .
4. Prvočísla. Je jich nekonečně mnoho, příště si povíme pár důkazů.
9. přednáška 9. 12. 2016. Zmínka o
Minkowského věta o tzv. postupných minimech a rozdán pro zajímavost
její jednoduchý ale chybný důkaz.
6 důkazů nekonečnosti počtu prvočísel. 1. Euklidův. 2. Goldbachův. 3.
Furstenbergův-Cassův-Wildenbergův (zjednodušený Furstenbergův
topologický důkaz). 4. Sylvestrův. 5. Erdosův, který dává správný dolní
odhad pi(x) >> x/log x. 6. Pomocí formálních Dirichletových řad.
Čebyševovy odhady x/log << pi(x) << x/log x, dolní odhad už
máme, horní příště, plyne z prod_{n<p<=2n}< binom(2n, n)
<4^n.
10. přednáška 16. 12. 2016. Dokončení důkazu horní Čebyševovy nerovnosti. Speciální
případ Dirichletovy věty o prvočíslech v AP, ilustrující důkaz obecné
věty: když S = S(x) = sum_{p < x}(log p) /
p (= log x + O(1)), pak pro a = 1, 3 a x > 2 je sum_{p = a + 4n < x}(log p) /
p = (1/2)S + O(1), důkaz. Viz
tento text.
5. Kvadratické zbytky. Definice, je jich (p-1)/2 modulo liché prvočíslo p.
11. přednáška 6. 1. 2017. Důkaz zákona reciprocity kv. zbytků: (p/q)(q/p) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}.
12. přednáška 13. 1. 2017. 6. Číselné rozklady. Základní
definice. Eulerovo vyjádření generující funkce (GF) počtů rozkladů p(n)
pomocí nekonečného součinu. Eulerova identita pro rozklady na
liché části a pro rozklady na různé části, důkaz pomocí GF, bijekcí a
náznak důkazu pomocí PIE (princip inkluze a exkluze). Eulerova
pentagonální identita ((1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)... = 1 - x - x^2 + x^5
+ x^7 - x^{12} - x^{15} + ...), Franklinův důkaz pomocí Ferrersových
diagramů.
leden 2017