Úvod do teorie čísel - Martin Klazar

1. přednáška 5. 10. 2015. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta (|a - p/q| < q^{-2} má pro každé iracionální a nekonečně mnoho racionálních řešení p/q), důkaz. Lemma: -1 je kvadr. zbytek modulo p = 1 + 4n, důkaz. Důsledek: Fermatova-Eulerova věta o 2 čtvercích (každé prvočíslo p = 1 + 4n je tvaru x^2 + y^2), důkaz. Fareyovy zlomky. Odvození D. věty ze základní vlastnosti F. zlomků (dva sousedé mají nejmenší možnou vzdálenost), důkaz této vlastnosti příště. Dokazuje to vlastně silnější nerovnost ...< q^{-2}/2. Zmínka o Hurwitzově větě o nejlepší konstantě v D. větě (q^{-2}/5^{1/2} místo q^{-2}/2), důkaz příště.

2. přednáška 12. 10. 2015. Důkaz základní vlastnosti F. zlomků. Důkaz Hurwitzovy věty. Liouvilleova nerovnost, důkaz. Implikuje transcendenci čísla 1/10^{1!} + 1/10^{2!} + ... a jemu podobných.

3. přednáška 19. 10. 2015. Hilbertův důkaz Hermiteovy věty o transcendenci čísla e. 2. Diofantické rovnice. Pellova rovnice x^2 - dy^2 = 1: má-li netriviální řešení, má nekonečně mnoho řešení. Lagrangeova věta, že každá P. rovnice má netriviální řešení, důkaz. Zobecněná P. rovnice x^2 - dy^2 = m, kde m je celé nenulové číslo: má-li řešení, má nekonečně mnoho řešení.

4. přednáška 26. 10. 2015. Věta: kladná řešení P. rovnice tvoří grupu izomorfní (Z, +), což je nekonečná cyklická grupa s jedním generátorem, a všechna řešení tvoří grupu izomorfní (Z, +) krát (Z_2, +), důkaz. Poznámky: souvisí to s eliptickými křivkami, kdy má množina řešení také grupovou strukturu, a ještě více s Dirichletovou větou o jednotkách okruhu celých čísel číselného tělesa. Grupová struktura množiny řešení P. rovnice je rovněž klíčová pro důkaz Matijasevičovy-Davisovy-Putnamovy-Robinsonové věty o algoritmické nerozhodnutelnosti řešitelnosti diofantických rovnic. Zmínka o Thueho nerovnosti, Thueho rovnici a Rothově větě. Lagrangeova věta o 4 čtvercích, zatím L1 o kongruenci a^2 + b^2 +1 = 0 (mod p) a L2 o Eulerově čtyřčtvercové identitě.

5. přednáška 2. 11. 2015. Aritmetický důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích (pomocí nekonečného sestupu). Zmínka o Jacobiho formuli pro r_4(n). Příště: důkaz podobné Jacobiho formule pro r_2(n). 3. Geometrie čísel. Mřížky v R^d, základní rovnoběžnostěn, jeho objem nezávisí na na volbě báze a jeho posuny vektory mřížky rozkládají R^d. Geometrický důkaz vlastnosti Fareyovych zlomků, že sousední mají nejmenší možnou vzdálenost. Formulace Minkowskiho věty o konvexním tělese, důkaz příště.

6. přednáška 9. 11. 2015. Přednáška odpadla - děkanský den.

7. přednáška 16. 11. 2015. Důkaz Minkowskiho věty o konvexním tělese. Její aplikace: geometrický důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích. 4. Prvočísla. Čtyři důkazy nekonečnosti jejich počtu: Euklidův (notoricky známý), Goldbachův (pomocí Fermatových čísel 2^{2^i} + 1), Sylvestrův (pomocí nerovnosti prod_{p<x}(1 - p^{-1})^{-1} > sum_{n<x} n^{-1}) a Erdosův (dává dolní odhad pi(x) >> x/log x). Příště Čebyševovy odhady a další.

8. přednáška 23. 11. 2015. Furstenbergův-Cassův-Wildenbergův důkaz (nekonečnosti počtu prvočísel, my to ale uděláme jinak, než ve Wikipedii). Dokončení Čebyševových odhadů: pi(x) << x/log x. Dirichlet a jeho věta o prvočíslech v aritmetické posloupnosti, speciální případy: 1) p = 1 + mn, kde samo m je prvočíslo a 2) p = 1,3 + 4n. Dokázali jsme 1) a ke 2) jsme zavedli von Mangoldtovu funkci, dokázali její vlastnosti a dokázali pomocí ní, že S = S(x) = sum_{p<x}(log p)/p = log x +O(1) (1. Mertensova asymptotika). Dokázali jsme i Abelovu nerovnost. Platí, že sum_{p=1+4n<x}(log p)/p = S/2 + O(1) i sum_{p=3+4n<x}(log p)/p = S/2 + O(1), důkaz příště.

9. přednáška 30. 11. 2015. Důkaz tvrzení z minulé přednášky o stejném rozložení prvočísel p=1 + 4n a p=3 + 4n. 5. Kongruence. Kvadratické zbytky a nezbytky modulo prvočíslo p > 2, Legendreův symbol (a/p) (p>2) a jeho základní vlastnosti: 1) (a/p) = (b/p) pro a kongruentní s b mod p, 2) Eulerovo kritérium: (a/p) = a^{(p - 1)/2} mod p, 3) (ab/p) = (a/p)(b/p) a 4) pro p>2 je přesně (p - 1)/2 kv. zbytků a (p - 1)/2 kv. nezbytků, důkaz. Důsledek: hodnota (-1/p). Gaussovo lemma: (a/p) (p>2 nedělí a) = (-1) na počet záporných členů posloupnosti a, 2a, 3a, ..., (p - 1)a/2 po redukci mod p do {-(p - 1)/2, -(p - 1)/2 + 1, ..., -1, 1, ..., (p - 1)/2} = (-1) na počet <p/2 členů téže posloupnosti po redukci mod p do {1, 2, ..., p - 1}, důkaz. Hodnota (2/p) příště.

10. přednáška 7. 12. 2015. Zopakování Gaussova lemmatu a jeho důkazu. Důsledek: (2/p) = 1 pro p = 1, 7 + 8n a = -1 pro p = 3, 5 + 8n, důkaz. Suma S(a, b) = sum_{i = 1}^{(a - 1)/2} [ib/a] (a, b lichá, >1, nesoudělná) a její vlastnosti: (i) S(a, b) + S(b, a) = (a - 1)(b - 1)/4 a (ii) (-1)^{S(p, a)} = (a/p), důkaz, pro (i) řekneme lépe příště. (i) a (ii) dávají kvadratickou reciprocitu: (p/q)(q/p) = (-1)^{(p - 1)(q - 1)/4}. Poznámky o rozšíření řešitelnosti kongruence x^2 = a (mod p) na posloupnost kongruencí x^2 = a (mod p^n), lépe snad příště.

11. přednáška 14. 12. 2015. Jednoduchý důkaz reciprocity S(a, b) + S(b, a) = (a - 1)(b - 1)/4 (a, b > 1, lichá a nesoudělná celá čísla): Nechť S = {(x, y) in Z^2 | 0 < x <=(a - 1)/2, 0 < y <=(b - 1)/2}, A = {(x, y) in S | x/y <= a/b}, B = {(x, y) in S | x/y >= a/b}, pak A a B tvoří rozklad S (A a B se neprotínají díky nesoudělnosti a a b), tedy |S| = |A| + |B|, ale |S| = (a - 1)(b - 1)/4, |A| = sum_{0 < y <=(b - 1)/2} [ay/b] a i |B| = sum_{0 < x <=(a - 1)/2} [bx/a] (podmínka x/y >= a/b je ekvivalentní podmínce y/x <= b/a) - to je jednodušší než obrázkový důkaz v knize Hardyho a Wrighta. 6. Číselné rozklady. Rozklady a kompozice. Vzorce pro počet kompozic a Eulerova formule pro generující funkci počtů rozkladů. Ferrersovy diagramy, konjugované rozklady. Eulerova identita: počet rozkladů n na liché části = počet rozkladů n na různé části, vlekoucí se důkaz pomocí bijekce, důkaz generujícími neboli vytvořujícími funkcemi příště.

12. přednáška 21. 12. 2015. Důkaz Eulerovy identity ''liché části = různé části" vytvořujícími funkcemi. Cohenova-Remmelova (meta)identita, jež zobecňuje důkaz Eulerovy identity pomocí principu inkluze a exkluze: jsou-li A_1, A_2, ... a B_1, B_2, ... takové dvě posloupnosti číselných rozkladů, že pro každou konečnou množinu indexů I máme || U_{i in I}A_i || = || U_{i in I}B_i || (tj. sum_{n in N} (max. násobnost n v A_i s i v I)n = sum_{n in N} (max. násobnost n v B_i s i v I)n), pak počet rozkladů n neobsahujících žádný A_i = počet rozkladů n neobsahujících žádný B_i. Eulerova pentagonální identita: počet rozkladů n na sudý počet různých částí = počet rozkladů n na lichý počet různých částí pro nepentagonální n, jinak se oba počty liší o +-1. Další dvě ekvivalentní formulace, důkaz příště.

13. přednáška 4. 1. 2016. Franklinův bijektivní důkaz Eulerovy pětiúhelníkové identity. Eulerova rekurence pro funkci sigma(n) = součet dělitelů čísla n - dostane se logaritmickou derivací pětiúhelníkové identity. Schurova asymptotika pro p_A(n) s konečnou množinou částí A, dokončení příště.

14. přednáška 11. 1. 2016. Důkaz Schurovy asymptotiky i toho, že pro konečnou A je p_A(n) kvazipolynom v n (s periodou m = NSN(prvky A)). Důkaz odhadu p(n) < (pi/(6(n - 1))^{1/2}).exp(pi(2n/3)^{1/2}) pomocí GF (přesnou asymptotiku odvodili Hardy a Ramanujan (a Uspenskij)). Uvedena Schneiderova identita: 1 + 1/2^2 + 1/(2.2)^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + 1/(2.4)^2 + 1/(2.2.2)^2 + ... (reciproké hodnoty čtverců součinů částí rozkladů na sudé části) = pi/2, bez důkazu.

leden 2016

Přednáška Úvod do teorie čísel (MAI040)