NMAI040 - Úvod do teorie čísel

Přednáška se koná v pátek od 12:20 v posluchárně S5 (Malá Strana). Existuje k ní můj učební text (v angličtině), podle kterého budu přibližně postupovat.

Otázky ke zkoušce: 1a. Dirichletova věta o diof. aproximacích a její aplikace. 1b. Fareyovy zlomky.  1c. Existence transcendentních čísel (Liouvilleova nerovnost). 1d.  Transcendence čísla e. 2a.  Teorie Pellovy rovnice. 2b. Věta o čtyřech čtvercích. 3. Minkowského věta a její aplikace. 4a. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce. 4b. Průměrné a normální řády aritmetických funkcí. 5. Teorie kvadratických zbytků  včetně zákona reciprocity (bez jeho důkazu). 6. Identity pro číselné rozklady.

1. přednáška 9. 10. 2009. 1. Diofantické aproximace.  Dirichletova věta: 1) pro každé reálné alfa a celé Q>0 existuje zlomek p/q splňující 1 <= q <= Q a |alfa - p/q| < 1/q(Q+1), 2) pro iracionální alfa existuje nekonečně mnoho zlomků p/q, že |alfa - p/q| < 1/q^2 . Důkaz přihrádkovým principem a pomocí Fareyových zlomků. Aplikace: Eulerova věta o 2 čtvercích. Úloha 1: dokažte, že pro racionální alfa část 2 D. věty neplatí. Úloha 2: dokažte, že pro posloupnost čísel 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48 ... --- čísla tvaru 2^a3^b ---  je limita podílů n_{i+1}/n_i dvou sousedních členů pro i --> oo rovna 1.
2. přednáška 16. 10. 2009. Věta (Cauchyova) o Fareyových zlomcích: každá dvojice sousedů v seznamu F. zlomů řádu n je blízká dvojice zlomků, důkaz. Hurwitzova věta: c=5^{1/2} je nejlepší možná konstanta v dirichletovské aproximaci |alfa - p/q| < 1/cq^2, bez důkazu. Rozvoj reálného čísla do řetězového zlomku alfa = [a_0, a_1, a_2, ...] rovněž dává dirichletovské aproximace (jsou to sblížené zlomy rozvoje), bez důkazu. Definice algebraického a transcendentního čísla. Příště: číslo 0.110001000000000000000001000... je  transcendentní. Úloha 1: když a/b < c/d jsou dva blízké zlomky a alfa leží mezi nimi, pak |alfa - p/q| < 1/2q^2 pro p/q = a/b nebo p/q = c/d. Úloha 2: ukažte, že pro iracionální alfa je posloupnost zlomkových částí {n.alfa}, n = 1, 2, ..., hustá v intervalu [0, 1). Úloha 3: existuje mocnina 2, jejíž dekadický zápis začíná cifrou 7? (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384 a stále nic ...?)
3. přednáška 23. 10. 2009. Liouvilleova věta o aproximaci algebraického čísla zlomky. Transcendence čísla 10^{-1!} + 10^{-2!} + 10^{-3!} + ... Hilbertův důkaz transcendence čísla e pomocí integrálů.
4. přednáška 30. 10. 2009. 2. Diofantické rovnice. Tři bývalé slavné problémy: Fermatova poslední věta, Desátý Hilbertův problém a  Catalanova domněnka. Věta o pythagorejských trojicích (aritmetický a geometrický důkaz), FPV pro n=4 (Fermatův nekonečný sestup).
5. přednáška 6. 11. 2009. Pellova rovnice x^2 - dy^2 = 1, Lagrangeova věta o existenci netriviálního řešení a grupová struktura na množině řešení. Zmínka o Thueho rovnici, podrobnosti příště.
6. přednáška 13. 11. 2009. Odvození konečnosti počtu řešení Thueho rovnice z Thueho zesílení Liouvilleovy nerovnosti, zmínka o Rothově větě. Aplikace Thueho rovnice: Je-li S konečná množina prvočísel a n_0 < n_1 <n_1 < ... je uspořádaný seznam všech přirozených čísel, jejichž prvočíselný rozklad obsahuje jen prvočísla z S, potom lim_k (n_{k+1} - n_k) = oo, tj. délka mezery mezi členy seznamu roste do nekonečna. Úloha 4: Dokažte, že existuje nekonečně mnoho dvojic m, m+1 sousedních čtvercůplných čísel (číslo je čtvercůplné, je-li každý exponent v jeho prvočíselném rozkladu alespoň 2), jako jsou 8=2^3, 9=3^2 nebo 288=2^5*3^2, 289=17^2. 3. Geometrie čísel. Mřížky, základní rovnoběžník. Jeho objem nezávisí na volbě báze, důkaz příště.
7. přednáška 20. 11. 2009. Fareyovy zlomky pomocí mřížových bodů v rovině (každý prázdný mřížový trojúhelník má plochu 1/2). Minkowskiho věta o konvexním tělese. Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích, důkaz pomocí M. věty, dokončení příště.
8. přednáška 27. 11. 2009. Dokončení geometrického důkazu věty o čtyřech čtvercích. Aritmetický důkaz pomocí Eulerovy čtyřčtvercové identity. Jacobiho vzorec pro r_4(n), bez důkazu. 4. Prvočísla. Dva důkazy nekonečnosti počtu prvočísel.
9. přednáška 4. 12. 2009. Přednáška odpadá, jsem mimo Prahu. Bude nahrazena 8. 1. 2010.
10. přednáška 11. 12. 2009. Hrátky s prvočísly. Nerovnost prod_{p<x} (1 - p^{-1})^{-1} > log(x) a její důsledky: sum_{p<x} p^{-1} > loglog(x) - 1 a pi(x) = o(x) pro x --> oo.  Čebyševovy odhady: c_1x / log(x) < pi(x) < c_2x / log(x), Erdosův důkaz pomocí odhadů kombinačních čísel. Příště speciální případy Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti.
11. přednáška 18. 12. 2009. Speciální případy Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti. p  je 1 mod 4 resp. 3 mod 4 modifkací Eukleidova důkazu a analyticky Eulerovým postupem. Případ p je 1 mod q.
12. přednáška + náhrada odpadlé 9. přednášky 8. 1. 2009. Průměrné a normální řády aritmetických funkcí, pro funkce omega(n), Omega(n), d(n) a r_2(n). Dirichlet: prům. řád d(n) je log(x) +(2gamma - 1)x +O(x^{-1/2}) a Gauss: prům. řád r_2(n) je pi.x +O(x^{-1/2}). Prům. řád omega(n) je loglog(x) + c + O(1/log(x)) a pro Omega(n) totéž s větší konstantou. Hardy a Ramanujan: norm. řád omega(n) i Omega(n) je loglog(x), bez důkazu. Důsledek: norm. řád d(n) je zhruba (log(x))^{log 2}. Turánovo zesílení Hardyho-Ramanujanovy věty, jen náznak důkazu. 5. Kvadratické zbytky. Teorie kvadratických zbytků: vlastnosti Legendreova symbolu, důkaz zákona reciprocity nedokončen.
13. přednáška 15. 1. 2010. 6. Číselné rozklady. Eulerovy identity: pentagonální identita (bez důkazu) a identita liché části <---> různé části (důkaz pomocí generujících funkcí a bijektivní důkaz). Cohenova-Remmelova metaidentita: Jsou-li A = (A_1, A_2, ...) a B = (B_1, B_2, ...) takové dvě posloupnosti konečných multimnožin přir. čísel (tj. posloupnosti číselných rozkladů), že pro každou konečnou množinu indexů I platí rovnost součtů m_1*1 + m_2*2 + ... = n_1*1 + n_2*2 + ...  , přičemž m_k (resp. n_k) je maximální násobnost čísla k jako prvku v multimnožinách A_i (resp. B_i) s indexem i v I, potom pro každé n platí rovnost p(n, A) = p(n, B), kde p(n, A) (resp. p(n, B)) je počet rozkladů čísla n neobsahujících žádný zakázaný rozklad A_i (resp. žádný zakázaný rozklad B_i); důkaz pomocí inkluze a exkluze si prosím nastudujte. Příklad:  A = ({2}, {4}, {6}, ...) a B = ({1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, ...) dává Eulerovu identitu liché části <---> různé části. 


leden 2010