Sylabus a literatura. Viz SIS.

1. přednáška 2. 10. 2013. 1. Metrické prostory. Metrický prostor, izometrie dvou metrických prostorů. Příklady metr. prostorů (l_p metrika a její speciální případy: euklidovská a maximová, L_p metrika definovaná pomocí integrálů, vzdálenost bodů na sféře, Hammingova metrika, ...). Tvrzení: sférická metrika na horní polosféře (vzdálenost dvou bodů je délka kratšího z obou oblouků, na něž tyto dva body dělí jimi procházející hlavní kružnici sféry) se nedá izometricky realizovat v žádném euklidovském prostoru R^n, důkaz. Úloha: jak by se totéž dokázalo pro malý sférický vrchlík. Pojem ultrametriky (nearchimedovské metriky). Úloha: dokažte, že v ultrametrice je každý trojúhelník rovnoramenný. Příklad ultrametriky: pro dvě nekonečné posloupnosti a a b definujeme d(a, b) = (1/2)^{min. i, že a_i != b_i}. Klasická norma (metrika) a p-adická norma (metrika) na tělese racionálních čísel Q; p-adické metriky jsou ultrametriky. Ostrowskiho věta: to jsou jediné (netriviální) normy na Q, bez důkazu; přesněji, těleso Q má pouze tyto normy: (i) (triviální norma) ||a/b|| = 1 pro každý nenulový zlomek a/b a ||0|| = 0, (i) (klasická norma) ||a/b|| = |a/b|^c, kde c je pevná konstanta z (0, 1]  a (iii) (p-adická norma) ||a/b|| = c^{ord_p(a/b)}, kde c je pevná konstanta z (0, 1), p je pevné prvočíslo a ord_p(a/b) je jednoznačně určené celé číslo m (resp. +oo pro a/b = 0), že a/b = p^m(a'/b'), kde a' i b' je nesoudělné s p. Poznámka: asi jednodušší by bylo vysvětlit p-adickou metriku a O. větu jen na celých číslech, což jsem v zápisu z př. učinil. Zápis z 1. přednášky .

2. přednáška 9. 10. 2013. Opakování látky z minulého semestru: koule B(a, r), otevřené a uzavřené množiny a jejich vlastnosti (uzávěrové vlastnosti, ekviv. def. uzavřené množiny), konvergence, spojitá zobrazení , spojitost <=> topologická spojitost (důkaz), kompaktní množiny a jejich vlastnosti (vztah ke spojitosti, k omezenosti a uzavřenosti, nabývání extrémů). Aplikace věty, že spojitá funkce nabývá na kompaktu extrémy: základní věta algebry (každý nekonstantní komplexní polynom má kořen), důkaz je sepsán zde (a bude se zkoušet). Věta: množina X je kompaktní (každá posloupnost v X má konvergentní podposloupnost) <=> X je topologicky kompaktní (každé otevřené pokrytí X má konečné podpokrytí), důkaz - zatím implikace =>, opačná příště. Zápis z 2. přednášky .  

---

3. přednáška 16. 10. 2013. Důkaz opačné implikace <=. Vnitřní, vnější, hraniční, limitní a izolované body množiny v metrickém prostoru, příklady. Homeomorfismus metr. prostorů, příklady. Tvrzení: euklidovské prostory [0, 2.pi) a jednotková kružnice v rovině nejsou homeomorfní (třebaže je mezi nimi "skorohomeomorfismus" fi --> (sin fi, cos fi)), důkaz. Souvislý metrický prostor: nemá netriviální obojetnou podmnožinu, příklady. Jeden kontraintuitivní příklad: Nechť A je podmnožina čtverce [0, 1]^2 definovaná jako A = ((Q průnik [0, 1]) x {1/2}) U ((Ir průnik [0, 1]) x [0, 1/2)), kde Q jsou racionální a Ir iracionální čísla v R. A se tedy skládá z bodů typu (a,1/2), kde a je zlomek z [0, 1], a svislých úseček s iracionální x-ovou souřadnicí, jež se na osu y promítají jako interval [0, 1/2). Množina B je doplněk A do čtverce. Zřejmě A a B se neprotínají, A protíná levou i pravou stranu čtverce a B protíná dolní i horní stranu. Jako cvičení si dokažte, že obě množiny A a B jsou souvislé. Pomocí souvislých množin tedy můžeme přejít čtverec zleva doprava a pak zezdola nahoru, aniž by se obě "cesty" protnuly! Zápis ze 3. přednášky .

---

5. přednáška 30. 10. 2013. Úplné metr. prostory. Příklady. Tvrzení: podmnožina úplného metr.  prostoru je úplná, právě když je uzavřená, důkaz. Tvrzení: prostor omezených reálných funkcí (na lib. množině) se supremovou metrikou je úplný, důkaz. Věta: prostor omezených spojitých reálných funkcí  (na lib. metr. prostoru) se supremovou metrikou je úplný, důkaz. Banachova věta o pevném bodu, důkaz. Její aplikace: Picardova věta o existenci a jednoznačnosti řešení diferenciální rovnice 1. řádu, bez důkazu (který je v zápisu z přednášky). Zápis z 5. přednášky .

6. přednáška 6. 11. 2013. 2. Posloupnosti a řady funkcí. Bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí, příklady. Tvrzení: Bolzanova-Cauchyova podmínka pro posloupnost funkcí, důkaz (vpodstatě jsme to dokázali již na minulé přednášce). Tvrzení: 1. lokálně stejnoměrná konvergence implikuje stejnoměrnou konvergenci na každé kompaktní podmnožině a 2. Diniho věta (monotónní konvergence spojitých funkcí ke spojité funkci na kompaktní množiné implikuje stejnoměrnou konvergenci), důkaz. Zápis ze 6. přednášky .

7. přednáška 13. 11. 2013.  Věta (Moore-Osgood): lim_{n-->oo} lim_{x-->x_0} f_n(x) = lim_{x-->x_0}  lim_{n-->oo}f_n(x), jsou-li vnitřní limity definované a konvergence f_n --> f je stejnoměrná, důkaz. Důsledek: stejnoměrná limita spojitých funkcí je spojitá funkce. Věta o záměně limity a integrálu, důkaz. Věta o o záměně limity a derivace, bez důkazu. Graf spojité funkce lze aproximovat lomenou čarou,  důkaz.Weierstrassova věta o aproximaci spojité funkce polynomem, bez důkazu.  Zápis ze 7. přednášky .

8. přednáška 20. 11. 2013. Řady funkcí. Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence řady funkcí, důkaz. Věty o záměně sumace s limitou v bodě, s integrováním a s derivováním. Příklady na tyto věty. Abelovo a Dirichletovo kritérium stejnoměrné konvergence - jen zmíněna, jejich formulace dána za dom. cv. Mocninné řady. Věta o poloměru konvergence, důkaz dán za dom. cv. Tvrzení o lokálně stejnoměrné konvergenci mocninné řady na intervalu konvergence, důkaz. Zápis z 8. přednášky .

9. přednáška 27. 11. 2013. Důsledek: funkce daná součtem moc. řady je nekonečně hladká. Abelova věta o moc. řadách, důkaz (po sepsání zápisu z přednášky mi připadá, že jsem na ní tento důkaz popletl, ale v zápisu je snad dobře). Příklad: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = log 2. Fourierovy řady: základní definice (trig. řada, F. koeficienty, F. řada, skoroskalární součin dvou funkcí). Tvrzení o ortogonalitě sin(nx) a cos(nx), důkaz příště. Besselova nerovnost a Riemannovo-Lebesgueovo lemma, důkaz příště. Zápis z 9. přednášky.

10. přednáška 4. 12. 2013.  Důkaz tvrzení o ortogonalitě sin(nx) a cos(nx), čast nechána jako cvičení. Důkaz Besselovy nerovnosti. Po částech hladké funkce. Dirichletova věta: Je-li f 2pi-periodická funkce, jejíž zúžení na [-pi, pi] je po částech hladké, pak její Fourierova řada bodově konverguje k funkci (f(x+0) + f(x-0))/2, důkaz nebyl na přednášce z důvodu nedostatku času, ale bude příště. Věta: je-li f navíc spojitá, pak její F. řada konverguje stejnoměrně k f(x), bez důkazu. Příklad: rozvoj fukce f(x) = x^2 do F. řady --- dává známou identitu 1 + 1/4 + 1/9 +1/16 + ... = pi^2/6. Zápis z 10. přednášky.

11. přednáška 11. 12. 2013.  Důkaz Dirichletovy věty o bodové konvergenci F. řady: Dirichletovo jádro atd. 3. Úvod do komplexní analýzy. Definice holomorfní funkce (má v každém bodě otevřené množiny D komplexních čísel derivaci). Uvedena Základní věta: Je-li f(z) holomorfní na D, pak má f na D derivace všech řádů a v každém otevřeném kruhu se středem z_0 obsaženém v D je f(z) rovna součtu své Taylorovy řady se středem z_0; v úplnosti tuto větu na přednášce nedokážeme. Zápis z 11. přednášky .

12. přednáška 18. 12. 2013. Mocninné řady v komplexním oboru (podobné reálným): poloměr konvergence, lokálně stejnoměrná konvergence na disku konvergence, derivování člen po členu. Tvrzení: Pokud M(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + ... má R > 0 a M(z_1) = M(z_2) = ... = 0, kde (z_k) je prostá posloupnost bodů jdoucí k 0, potom a_0 = a_1 = a_2 = ... = 0, důkaz. Důsledek: Funkce daná mocninnou řadou jednoznačně určuje její koeficienty. Jiná formulace Základní věty je, že následující vlastnosti funkce f: D --> C, kde D je otevřená množina komplexních čísel, jsou ekvivalentní: (i) f je na D lokálně analytická (tj. je v každém bodě z_0 v D lokálně součtem moc. řady se středem v z_0), (ii) f je na D globálně analytická (tj. je v každém otevřeném disku se středem z_0 obsaženém v D součtem moc. řady se středem v z_0) a (iii) f je na D holomorfní (tj. f má v každém bodě z_0 v D derivaci); Základní větu se budu snažit dokázat. Příklady, že pro reálné funkce toto zdaleka neplatí: f(x) = 0 pro x < 0 a f(x) = x^2 pro x >= 0 (f' existuje na celém R, ale f''(0) neexistuje), f(x) = exp(-1/x^2) pro x =! 0 a f(0) = 0 (f má na R derivace všech řádů a Taylorova řada této funkce se středem v 0 má všechny koeficienty nulové). Křivky v C a definice křivkového integrálu. Příklady. Zmíněno bez důkazu: a) integrál celistvé funkce (holomorfní na celém C) závisí pouze na krajních bodech křivky (a jejich pořadí), ale už ne na samotné spojující křivce, b) integrál celistvé funkce přes uzavřenou křivku (její krajní body splývají) je vždy 0. Příklady s uzavřenou křivkou  g: [0, 2pi] --> C, g(t) = exp(it) (jednotková kružnice v C probíhaná proti směru hodinových ručiček) a funkcemi f(z) = z^2 (celistvá funkce) a f(z) = z^{-1} (není celistvá funkce). Zápis z 12. přednášky .