Připomeňte si definice metrickeho prostoru a ultrametrického prostoru.

1. Co je správně a proč: a) každý metrický prostor je ultrametrický prostor, b) každý ultrametrický prostor je metrický prostor.

2. Nechť M je množina a d(x, y) je funkce na M krát M definovaná jako d(x, y) = 0, právě když x = y a d(x, y) = 1 jinak. Ukažte, že (M, d) je ultrametrický prostor.

3. Nechť M = Z je množina celých čísel, p je prvočíslo, například p = 3, a funkce d(x, y) je na M krát M definovaná jako d(x, y) = 2^{-v(x - y)}, kde
pro celé nenulové z je v(z) rovno největšímu exponentu e, s nímž mocnina p^e = 3^e dělí číslo z, a v(0)= +nekonečno (klademe 2^{-nekonečno} = 0). Například d(100, 5) = 2^0 = 1 (neboť 3^0 dělí 95, ale 3^1 ne), d(-5, 49) = 2^{-3} = 1/8 (neboť 3^3 dělí -54, ale 3^4 ne), d(-1000, -1000) = 0. Ukažte, že (M, d) je ultrametrický prostor.

4. Ukažte, že funkce d v úloze 3 má vlastnost d(xy, 0) = d(x, 0)d(y, 0).

5. Nechť A = {0, 1} je dvouprvková abeceda a M je množina všech konečných slov nad A. Takže M = {prázdné slovo, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 110, 101, 111, 0000, 0010, ...}. Jsou-li u a v dvě slova z M, definujeme d(u, v) = 0 pro u = v a, pro u různé od v,  d(u, v) = 2^{-k}, kde k  je  pořadí prvního písmene (čteme-li slova zleva), v němž se u a v liší. Například d(00, 01) = 2^{-2} = 1/4, d(11, 110) = 2^{-3} = 1/8, d(1, 00000) = 2{-1} = 1/2, d(101, prázdné slovo) = 1/2 atd. Ukažte, že (M, d) je ultrametrický prostor.

6. Jak spolu souvisejí ultrametrické prostory v úlohách 3 a 5?

7. Ukažte, že v ultrametrickém prostoru (M, d) je každý trojúhelník rovnoramenný (tj. jsou-li x, y, z tři libovolné body, pak se některé dvě ze vzdáleností d(x, y), d(x, z) a d(y, z) rovnají).

8. Dokažte, že dvě protínající se koule téhož poloměru se v ultrametrickém prostoru nutně rovnají: když mají B(a, r) a B(a', r) neprázdný průnik, potom B(a, r) = B(a', r). 

---