Informace o přednášce Algebraická teorie čísel (NDMI066)

Minulou výuku lze nalézt zde. Sylabus a anotace jsou v SISu. Přednáška se koná ve čtvrtek v 15:40-17:10 v seminární místnosti katedry algebry (Karlín, 3. patro) V minulých přednáškách jsem využíval knihy D. A. Marcus: Number Fields a pak J. Stillwell: Elements of Number Theory . Letos chci postupovat následovně. 1. Aplikace jednoznačnosti rozkladů na ireducibilní prvky: dva čtverce a další diofantické rovnice pomocí Z[i] a čtyři čtverce pomocí kvaternionů. 2. p-adická čísla a jejich aplikace, zejména  SML (Skolem-Mahler-Lech) věta  (Je-li a_1, a_2, ... libovolná posloupnost daná lineární rekurencí a_n = c_1a_{n-1} + ... + c_ka_{n-k}, např. Fibonacciova čísla, potom je množina těch indexů n, pro něž a_n = 0, rovna až na konečně mnoho vyjímek sjednocení konečně mnoha nekonečných aritmetických posloupností.) 3. Navázání na 1 a pokračování v klasické algebraické teorii čísel, s aplikacemi při řešení diofantických rovnic a důkazech transcendence (tj. nealgebraičnosti) konkrétních čísel. Příslušná literatura bude uvedena na přednášce a přednášející se bude pokoušet průběžně vytvářet k přednášce učební text.

Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zkušební otázky: 1. Weddeburnova věta (každé konečné těleso je komutativní). 2. Lagrangeova věta o 4 čtvercích, důkaz pomocí kvaternionů. 3. Ostrowskiho věta o normách na tělese Q. 4. Clausenova-von Staudtova věta o Bernoulliových číslech. 5. Odvození vzorce pro  hodnota zeta funkce v sudých číslech. 6. SML věta o rekurentních posloupnostech a její důkaz pomocí Strassmannovy věty o mocninných řadách nad Q_p.

1. přednáška 12. října 2010. Z a Z[i]. Okruh celých čísel a jednoznačnost prvočíselných rozkladů v něm, důkaz pomocí algoritmu dělení se zbytkem. Tvrzení: ab = c^k, (a, b) = 1 => a = +- a_1^k, b = +-b_1^k. Iracionalita 2^{1/2}. Pythagorejské trojice. Rovnice x^4 + y^4 = z^2 nemá netrivální řešení v Z. Okruh Z[i] se chová stejně jako Z: má dělení se zbytkem a proto jednoznačné rozklady na ireducibilní prvky. Věta Fermatova-Eulerova (každé prvočíslo p = 4n+1 je součtem dvou čtverců) pomocí Z[i]. Popis jednotek a ireducibilních prvků Z[i]. Rovnice y^3 = x^2 + 1 má pouze triviální řešení x = 0, y = 1.

2. přednáška 19. října 2010. Použití kvaternionů v teorii čísel. Wedderburnova věta (1905): konečné nekomutativní těleso neexistuje, důkaz použitím kruhových polynomů (=> neexistují celá čísla q, n > 1a 0 < n_i < n, že q^n - 1 = q - 1 + (q^n - 1) / (q^{n_1} - 1) + ... + (q^n - 1) / (q^{n_t} - 1)). Směřujeme k důkazu Lagrangeovy věty o 4 čtvercích (každé celé číslo n > -1 je součet čtyř čtverců) pomocí kvaternionů. Reprezentace těles pomocí matic, komplexní čísla jako reálné 2 x 2 matice a kvaterniony jako komplexní 2 x 2 matice.

3. přednáška 21. října 2010. Kvaterniony jako R[i, j, k]. Eulerova čtyřčtvercová identita (mutliplikativita normy kvaternionů).  Hurwitzova čísla: Z[(1 + i + j + k) / 2, i, j, k] (tvoří obor integrity, uzavřenost na násobení není zdaleka zřejmá) a dělení se zbytkem v nich. Konjugace. Tvrzení: Je-li p prvočíslo, ale ne H. prvočíslo, je součtem 4 čtverců. Lemma: každé prvočíslo dělí součet čtyř čtverců, ba i tří, 1 + a^2 + b^2. Důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích.

4. přednáška 4. listopadu 2010 (28. 10. byl státní svátek). p-adická čísla. Motivační příklady tvrzení o celých číslech, jež se dokazují pomocí čísel p-adických. 1. ord_2(2 + 2^2 / 2 + 2^3 / 3 + ... + 2^n / n) jde do nekonečna (důkaz elementárně příště). 2. Skolemova-Mahlerova-Lechova věta o rekurentních posloupnostech. 3. Thueho věta o diof. rovnicích. Metrický prostor, norma na tělese. Absolutní hodnota na Q a p-adická abs. hodnota, jsou to normy. Ekvivalence norem. Ostrowskiho věta: každá netriviální norma na Q je ekvivalentní |...| nebo |...|_p pro nějaké prvočíslo p, začátek důkazu.

5. přednáška 11. listopadu 2010. Dokončení důkazu Ostrowskiho věty. Elementární důkaz, že ord_2(2 + 2^2 / 2 + 2^3 / 3 + ... + 2^n / n) jde do nekonečna. Zvláštnosti nearchimedovské metriky: princip rovnoramenného trojúhelníka, každé dvě různé koule jsou disjunktní. Pole p-adických čísel, začátek konstrukce.

6. přednáška 18. listopadu 2010. Pole p-adických čísel Q_p. Úplnost Q_p. Reprezentace p-adických čísel p-adickými rozvoji a_mp^m + a_{m+1}p^{m+1} + ...., kde m je celé číslo a a_i jsou p-adické cifry z {0, 1, ..., p-1}. Celá p-adická čísla Z_p: p-adická čísla x s |x|_p <= 1. Jednotky Z_p jsou  právě celá p-adická čísla s |x|_p < 1.

7. přednáška 25. listopadu 2010. Příklady aritmetiky v poli p-adických čísel Q_p: (1+ 2.7 + 4.7^2 + ...) : (3 + 5.7 + 1.7^2 +...) = ? v Q_7. Henselovo lemma: Je-li F(x) polynom ze Z_p[x], tj. s celými p-adickými koeficienty, že |F(a_0)|_p < 1pro a_0 ze Z_p a |F'(a_0)|_p >= 1, pak existuje a v Z_p, že |a - a_0|_p < 1 a F(a) = 0. Bernoulliova čísla: koeficienty v Taylorově rozvoji funkce x / (e^x - 1).

8. přednáška 2. prosince 2010. Poznámky k Henselově lemmatu. Aplikace p-adické absolutní hodnoty a p-adické konvergence v důkazu Clausenovy-von Staudtovy věty o Bernoulliových číslech, jež praví: Jmenovatel Bernoulliova čísla B_{2k} v základním tvaru se rovná součinu těch  prvočísel q, že q - 1 dělí 2k. Poznámky o Bernoulliových číslech.
Oznámení: přednáška 9. prosince odpadá z důvodu nepřítomnosti přednášejícího v Praze.

9. přednáška 16. prosince 2010. Odvození vzorce zeta(2k) = (-1)^k.B_{2k}.2^{2k-1}/(2k)! . Formulace Strassmannovy věty (1928): Je-li funkce f: Z_p --> Q_p dána mocninnou řadou a_0 + a_1.x + ..., kde koeficienty a_n jsou  z Q_p, nejsou všechny nulové a jdou k 0, pak f(x) = 0 má v Z_p nejvýše m řešení, kde m je index posledního maxima p-adické abs. hodnoty koeficientu.

10. přednáška 6. ledna 2011. Důkaz Strassmannovy věty, za pomoci lemmatu o dvojité řadě: sum_{i,j}b_{i,j} =  sum_{j,i}b_{j,i}, pokud |b_{i,j}|_p --> 0 pro max(i,j) --> oo. Aplikace Strassmannovy věty na úlohu o rekurenci: když u_n = u_{n-1} + 2u_{n-2} s u_0 = 0 a u_1  = 1, takže (u_n) = (0, 1, 1, -1, -3, -1, 5, 7, -3, -17, -11, 23, 45, -1, -91, -89, 93, ...), potom u_n = +-1 právě a jen pro n = 1, 2, 3, 5 a 13. Dokončení příště.

11. přednáška 13. ledna 2011. Důkaz SML věty pomocí p-adických čísel. Dokončení úlohy o rekurentní posloupnosti.


leden 2011