\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[IL2]{fontenc}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\usepackage[margin=2cm]{geometry}

\newtheorem{lm}{Lemma}[section]
\newtheorem{tv}{Tvrzení}[section]
\newtheorem{veta}{Věta}[section]
\newtheorem*{veta*}{Věta}
\newtheorem*{eye}{Pozorování}
\newtheorem{vetka}[veta]{Větička}
\newtheorem{ds}{Důsledek}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{df}{Definice}[section]
\newtheorem*{pr}{Příklad}
\newtheorem*{pozn}{Poznámka}

\usepackage[unicode]{hyperref}

\title{Matematická analýza III {\small NMAI055}}
\author{Dušan Pokorný}
\date{}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\TP[#1]#2,#3{T_{#1}^{#2,#3}}
\newcommand{\conj}[1]{\bar{#1}}
\newcommand{\inint}[1]{\in \mathcal{R}(#1)}
\newcommand{\indel}[1]{\in \mathcal{D}(#1)}
\newcommand{\rint}[1]{\mathop{\intop}_{#1}}
\newcommand\rintd[1]{\mathop{\smash{\underline{\int\mkern-6mu}}\mkern6mu\mathchoice{\vphantom{\int}}{\mkern-2mu\vphantom{\int}}{}{}}_{\mathstrut\mkern-3mu#1}}
\newcommand\rinth[1]{\mathop{\smash{\mkern5mu\overline{\mkern-5mu\int}}\mathchoice{\vphantom{\int}}{\mkern-2mu\vphantom{\int}}{}{}}_{\mathstrut\mkern-3mu#1}}
\makeatletter
\def\specint#1#2{\if#2h\rlap{\overline{\phantom{$\m@th#1\int$}}}\else\fi}
\makeatother
\newcommand{\der}[1]{^{(#1)}}
\newcommand{\mnz}[1]{\lbrace #1 \rbrace}
\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}
\newcommand{\fracnorm}[2]{\frac{\norm{#1}}{\norm{#2}}}
\newcommand{\parcder}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\parcdder}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\matparcder}[2]{\left(\parcder{#1}{#2}\right)}
\DeclareMathOperator{\vol}{Vol}
\let\tto\rightrightarrows

\begin{document}
\maketitle

\section{Riemannův integrál ve více dimenzích}

Již víme, jak se Riemannův integrál aplikuje v jedné dimenzi. Vezme se horní a dolní součet, ty se k sobě přibližují. Jak se to ale chová ve více dimenzích? Potřebujeme vědět, co vlastně jsou například intervaly nebo součty.

\begin{df}
Množinu v $\R^d$ nazveme \emph{intervalem} (boxem), pokud je ve tvaru $[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dotsm\times[a_d,b_d]$ pro $a_i\leq b_i$, tedy pokud to je kartézský součin více intervalů.
\end{df}

Integrovat vždy budeme pouze na boxech. Abychom to mohli provést, potřebujeme vědět, jak na těchto boxech vypadá dělení.

\begin{df}
Mějme $I$ box v $\R^d$. \emph{Dělení} $I$ nazveme množinu $D = \mnz{I_1\times I_2\times\dotsm\times I_d | I_i \in D_i}$, kde $D_i$ je dělení intervalu $[a_i,b_i]$.

Budeme zapisovat $D = D_1 \times D_2 \times \dotsm \times D_d$.
\end{df}

\begin{pozn}
Dělení intervalu nadefinujeme trochu jinak, a to jako $D = \mnz{[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dotsc,[x_{n-1},x_n]}$. Potom $I \in D$ myslíme rozdělený podinterval z dělení.
\end{pozn}

Toto dělení nám v podstatě box rozdělí na mřížku menších boxů, podobně jako dělení intervalu nám jej rozdělilo na sousedící podintervaly.

\begin{df}
Dělení $\overline{D} = \overline{D_1} \times\dotsm\times \overline{D_d}$ nazveme \emph{zjemněním} dělení $D = D_1 \times\dotsm\times D_d$, pokud $\overline{D_i}$ je zjemněním $D_i$ pro $i = 1,\dotsc,d$.
\end{df}

\begin{eye}
Pro $D,\overline{D} \in \mathcal{D}(I)$ (množina všech dělení intervalu) vždy existuje společné zjemnění (po složkách).
\end{eye}

Ve více dimenzích místo délky intervalu budeme používat pro velikost boxu jejich objem, tedy součin délek jednotlivých složek. Díky tomu potom můžeme zobecnit i normu dělení.

\begin{df}
Mějme $I$ box v $\R^d$ takový, že $I = [a_1,b_1] \times \dotsm \times [a_d,b_d]$. Potom \emph{objem (velikost)} boxu $|I|$ definujeme jako $|I| = (b_1-a_1)\dotsm(b_d-a_d)$.
\end{df}

\begin{df}
Norma dělení $D = D_1 \times \dotsm \times D_d$, značené jako $\nu(D)$ je definovaná jako $\max \nu(D_i)$ pro $i = 1,\dots,d$.
\end{df}

Nyní máme již vše potřebné k tomu, abychom mohli Riemannův integrál zobecnit do více dimenzí.

\begin{df}
Mějme $I$ box v $\R^d$ a funkci $f$ omezenou na $I$. Dále mějme dělení $D \in \mathcal{D}(I)$. Potom:

$$\text{\em Dolní součet je}\quad s(f,D) = \sum_{J \in D} |J|\cdot \inf_{x \in J} f(x). $$
$$\text{\em Horní součet je}\quad S(f,D) = \sum_{J \in D} |J|\cdot \sup_{x \in J} f(x). $$
\end{df}

\begin{df}
Mějme $I$ box v $\R^d$ a funkci $f$ omezenou na $I$. Potom Riemannův integrál definujeme jako:

$$ \rintd{I} f(x)\:\mathrm{dx} = \sup_{D \in \mathcal{D}(I)} s(f,D)\dots\text{\em dolní integrál}$$
$$ \rinth{I} f(x)\:\mathrm{dx} = \inf_{D \in \mathcal{D}(I)} S(f,D)\dots\text{\em horní integrál}$$
\end{df}

\begin{pozn}
Dolní integrál funkce $f$ je vždy menší, nebo roven jejímu hornímu integrálu. Chová se stejně jako v jedné dimenzi.
\end{pozn}

\begin{veta*}
Pro funkci $f$ a dělení $D, D' \in \mathcal{D}(I)$ platí $s(f,D) \leq S(f,D')$.
\end{veta*}

\begin{proof}
Obdobně jako v jednorozměrném případě uvážíme společné zjemnění $D''$. Platí $s(f,D) \leq s(f,D'') \leq S(f, D'') \leq S(f,D')$.
\end{proof}

\begin{df}
Pokud platí, že $\rintd I f = \rinth I f = K$, říkáme, že $f$ je Riemannovsky integrovatelná na $I$, společnou hodnotu $K$ nazveme \emph{Riemannovým integrálem} $f$ přes $I$, značíme $\int_I f(x)\:{dx}=K$.
\end{df}

\begin{pozn}
Symbol $\mathcal{R}(I)$ definujeme jako množinu všech funkcí $f$ na $I$ Riemannovsky integrovatelných.
\end{pozn}

Co umíme říct o $\mathcal R(I)$?

\begin{veta}
Mějme $f, g \in \mathcal{R}(I)$. Potom platí následující:
\begin{itemize}
\item $\alpha f + \beta g \in \mathcal{R}(I)$ pro $\alpha, \beta \in \R$. Navíc $\int (\alpha f + \beta g)$ = $\alpha \int f + \beta \int g. $
\item $\max (f,g) \in \mathcal{R}(I). $
\item $f \cdot g \in \mathcal{R}(I). $
\end{itemize}
\end{veta}

\begin{proof}
Důkaz je analogický k variantě z jedné dimenze.
\end{proof}

Ve více dimenzích nemáme žádnou pěknou ekvivalenci k monotónním funkcím a nemáme proto větu z minulého semestru tvrdící, že všechny omezené monotónní funkce jsou integrovatelné. Následující lemma je nicméně opět analogií k odpovídajícímu lemmatu z minulého semestru.

\begin{lm}[Nutná a postačující podmínka pro $f \in \mathcal{R}(I)$]
Funkce $f \inint I \Leftrightarrow \forall \eps > 0 \exists D \indel I: S(f,D) - s(f,D) < \eps. $
\end{lm}

\begin{proof}\leavevmode
\begin{itemize}
\item[\uv{$\Rightarrow$}]
$f \inint I$. Potom víme, že $A = \rintd I f = \rinth I f = B$, najdeme $D,D' \indel I$, že platí $S(f,D) - B < \frac \eps 2$ a $A - s(f,D') < \frac \eps 2$. Nyní si najdeme společné dělení $\overline D$. Potom víme, že $S(f,\overline D) - B < \frac \eps 2$ a $A - s(f,\overline D) < \frac \eps 2$. Sečtením těchto rovnic dostaneme $S(f,\overline D) - s(f,\overline D) < \eps$.

\item[\uv{$\Leftarrow$}]
Označme $A = \rintd I f$. Víme, že pro všechna $\eps$ máme dělení takové, že $S(f,D) - s(f,D) < \eps$. Protože $s(f,D) \leq \rintd I f$, máme i $S(f,D) - \rintd I f < \eps$. Tím pádem infimum z výrazů $S(f,D)$ musí být menší rovno dolnímu integrálu z $f$, menší být ale nemůže, a proto $\rintd I f = \rinth I f$.\hfill\mbox{\qedhere}
\end{itemize}
\end{proof}

\subsection{Nulové množiny}

\begin{df}
Množinu $A \subseteq \R^d$ nazveme \emph{nulovou}, pokud $\forall \eps > 0\ \exists I_1,I_2,\dots$ boxy takové, že $A \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty I_i$ a~zároveň $\sum_{i=1}^\infty |I_i| < \eps$.
\end{df}

Jde tedy o to, že množinu pokryjeme spočetně mnoha boxy takovými, že jejich celkový objem se blíží k nule.

\begin{veta}
O nulových množinách můžeme říct následující:

\begin{enumerate}
\item Jednobodová množina je nulová.

\item Nedegenerované boxy, tedy $a_i < b_i, i = 1,\dotsc,d$ nejsou nulové.

\item Hranice boxu a degenerované boxy jsou nulové.
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof} Ukážeme vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item Pro jakýkoliv $\eps$ zvolíme box $[x_i-\eps/2,x_i+\eps/2]^d$.

\item Tento box má již nenulový objem, jakékoliv boxy jej pokrývající budou mít celkem alespoň tento objem.

\item Hranici boxu můžeme pokrýt konečným počtem boxů typu $I = [a_1-\eps/2,a_1+\eps/2]\times[a_2-\eps/2,b_2+\eps/2]$. Jejich objemy jdou k nule pro $\eps \rightarrow 0$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{veta}
Mějme nulové množiny $A_1,A_2,\dots$. Potom $\bigcup_{i=1}^\infty A_i$ je nulová množina.
\end{veta}

\begin{proof}
Víme, že $A_1$ je nulová, potom najdu boxy $I_i^1$, že $A_1 \subseteq \bigcup I_i^1, \sum |I_i^1| < \frac\eps2$.

Dále víme, že $A_2$ je také nulová, tedy $A_2 \subseteq \bigcup I_i^2, \sum |I_i^2| < \frac\eps4$.

Takto postupujeme pro každou množinu, kde $A_n \subseteq \bigcup I_i^n, \sum |I_i^n| < \frac\eps{2^n}$.

%Potom $\bigcup_{i=1}^\infty \subseteq \bigcup_j\bigcup_i I_i^j$ a $\sum_j\sum_i|I_i^j| < \sum \eps{2^n}$, což platí z konvergence nekonečné řady.
Potom $\sum_j\sum_i|I_i^j| < \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\eps}{2^n} = \eps$, což platí z konvergence nekonečné řady.
\end{proof}

K čemu nám ale tyto nulové podmnožiny jsou?

\begin{veta}[Lebesgueova]
Mějme $f: I \to \R$ omezená na boxu $I$. Potom $f \inint I \Leftrightarrow$ množina bodů nespojitosti $A(f)$ je nulová.
\end{veta}

\begin{pozn}
Tato věta implikuje $f,g \inint I \Rightarrow f+g, f \cdot g \inint I$. Dále když máme box $I = J \cup J'$ , kde $J,J'$ jsou boxy s disjunktními vnitřky, potom $\int_I f = \int_J f + \int_{J'} f$.
\end{pozn}

\begin{proof}[Náznak důkazu věty]
Nejprve si nadefinujeme značení ${\rm osc}(f,A) = \sup_{x \in A} f(x) - \inf_{x \in A} f(x)$ pro $A \subseteq I$. Kromě toho si nadefinujeme ${\rm osc}(f,x) = \lim_{\rho \to 0} \sup {\rm osc}(f, B(x,\rho) \cap I)$.

Z toho platí, že $f$ je v $x$ spojitá, když ${\rm osc}(x) = 0$. Nechť $A_n(f) = \mnz{x \in I: {\rm osc}(f,x) \geq \frac 1n}$. Z toho dostáváme $\bigcup_{n \in \N} A_n(f) = A(f)$.

\smallskip
Dokažme tedy \uv{$\Rightarrow$}, a to sporem. Víme, že $f \inint I$. Stačí ukázat, že $A_n(f)$ je nulová pro všechna $n \in \N$. Předpokládejme tedy, že $A_n$ není nulová. Zvolíme si dělení $D \indel I$ a označme si ${\cal I} = \mnz{I \in D: A_n(f) \cap I^0 \neq \emptyset}$. Množina ${\cal I}$ je tedy systém boxů pokrývajících $A_n(f)$. Z toho tedy $\exists \alpha > 0$ nezávislá na $D: \sum_{I \in {\cal I}} |I| > \alpha$.

Vezmeme si $S(f,D) - s(f,D) = \sum_{I \in D} {\rm osc}(f(I))\cdot|I| \geq \sum_{I \in {\cal I}} {\rm osc}(f,I)\cdot|I| \geq \frac 1n \sum_{I \in {\cal I}} |I| > \frac \alpha n$. Pokud tedy $a_n$ není nulová, potom $f$ není integrovatelná.

\smallskip
Nyní \uv{$\Leftarrow$}. $A(f)$ je nulová, potom $f \inint I$. Všimněme si, že $A_n(f)$ je uzavřená (a tedy omezená), tedy je i kompaktní. Proto $\forall \eps > 0\ \exists I_1,\dotsc: \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i^0 \supseteq A_n(f): \sum_{i=1}^\infty |I_i| < \eps$. Tedy máme systém otevřených množin, který pokrývá kompaktní množinu. Proto existuje pokrytí konečně mnoha boxy $I_1,\dotsc,I_N$, které jsou nulové.

Existuje $D \indel I$ takové, že $\exists {\cal I} \subseteq D: \bigcup_{I \in {\cal I}} I = \bigcup_{i = 1}^N I_i$. Nyní máme systém boxů, který pokrývá $A_n(f)$ a tedy $\sum_{I \in {\cal I}} |I| < \eps$.

Nyní si vezmeme množinu $K = I \setminus \left(\bigcup_{I \in {\cal I}} I\right) \supseteq A_n(f))^0$. Tato množina je omezená a uzavřená, a tedy kompaktní, ${\rm dist}(K,A_n(f)) > 0$. V každém bodě $K$ je oscilace dostatečně malá. Proto $\exists \rho > 0$ ke každému $x \in K$ takové, že ${\rm osc}(f,B(x,\rho) \cap I) < \frac 1n$.

Dělení $D$ si více zjemníme, aby ${\rm osc}(f,I) < \frac 1n$. Když $I \in D$, $I \subseteq \bigcup_{I \in {\cal I}} I$.
Nyní můžeme říct, že $S(f,D) - s(f,D) =
\sum_{J \in D} {\rm osc}(f,J)|J| =
\sum_{J \in {\cal I}} {\rm osc}(f,J)|J| + \sum_{J \notin {\cal I}} {\rm osc}(f,J)|J| \leq
{\rm osc}(f,I)\sum_{I \in {\cal I}}|I|_{<\eps} + |I|\frac 1n$.
\end{proof}

\begin{lm}
 $f \inint I$, $\int_I f=0$, $f \geq 0$ $\Rightarrow$ $\mnz{f > 0}$ je nulová.
\end{lm}

\begin{proof}
Chceme, že pokud $x \in \mnz{f > 0}$, potom $x \in A(f)$ (množina bodů nespojitosi $f$). Pokud je $f(x) > 0$ a $x \notin A(f)$, potom $\exists \delta: f(y) \geq \frac{f(x)}2$ pro $\forall y \in B(x, \delta) \cap I$. Potom existuje nedegenerovaný $J \subseteq B(x,\delta) \cap I: f \geq \frac{f(x)}2$ na $J$, tedy $\int_J f \geq \frac{f(x)}2 \cdot |J| > 0$, což je spor.

Tedy $\mnz{f>0} \subseteq A(f)$, ta je ale nulová z Lebesguovy věty.
\end{proof}

\begin{lm}
Mějme $f$ omezenou na nedegenerovaném boxu $I$, kde $I = J \times J'$ pro $J,J'$ boxy. Potom

$$ \rintd I f \leq \rintd{J'} \left( \rintd J f(x,y)\:{\rm dx} \right)\: {\rm dy} \leq \rinth{J'} \left( \rinth J f(x,y)\:{\rm dx} \right)\: {\rm dy} \leq \rinth I f. $$
\end{lm}

\begin{proof}
Mějme $D \indel I$ takový, že $D = D_1 \times D_2$ pro $D_1 \indel J,D_2 \indel {J'}$. Mějme $A \in D_1$, z toho $I_A = \mnz{A \times B: B \in D_2} \subseteq D$. Podobně mějme $B \in D_2$, kde $I^B = \mnz{A \times B: A \in D_1} \subseteq D$.

Označme si $F_A^B = \sup_{x \in A \times B} f(x)$, podobně $f_A^B = \inf_{x \in A \times B} f(x)$. Jestliže si vezmeme $(x,y) \in A \times B$, potom $f_A^B \leq f(x,y) \leq F_A^B$. Zafixujme si $y \in B$. Potom $f_A^B|A| \leq \rintd A f(x,y) \leq \rinth A f(x,y) \leq F_A^B|A|$.

To tedy znamená, že $f_A^B |A|\cdot|B| \leq \rintd B \left( \rintd A f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy} \leq \rinth B \left( \rinth A f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy} \leq F_A^B |A|\cdot|B|$.

Nyní si vezmeme sumu přes vše: $s(f,D) = \sum_{A \in D_1, B \in D_2} f_A^B |A|\cdot|B| \leq
\sum_{A \in D_1, B \in D_2} \rintd B \left( \rintd A f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy} \leq\break
\sum_{A \in D_1, B \in D_2} \rinth B \left( \rinth A f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy} \leq
\sum_{A \in D_1, B \in D_2} F_A^B |A|\cdot|B| = S(f,D)$.

Pokračujme dál\dots $\sum_{A \in D_1}\sum_{B \in D_2} \rintd B \left( \rintd A f \right) = \rintd{J'}\left(\rintd{J} f\right)$. Pro horní integrál analogicky. Nerovnosti vyplývají.
\end{proof}

\begin{veta}[Fubini]
Nechť $f \inint {I \times J}$, potom
$$ \rint {I \times J} f = \rint J \left( \rintd I f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy} = \int_J \left( \rinth I f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy}. $$

Speciálně $\rintd I f(x,y)\:{\rm dx} = \rinth I f(x,y)\:{\rm dx}$ pro všechna $y \in J$ až na nulovou množinu. A tedy $y \to \int f(x,y)\:{\rm dx}$ je definovaná až na nulovou množinu.
\end{veta}

\begin{pozn}
Ve Fubiniho větě i v lemmatu můžeme přehodit pořadí integrace.
\end{pozn}

\begin{proof}
Podle lemmatu máme $\rint {I \times J} f
\leq \rintd J \left( \rintd I f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy}
\leq \rintd J \left( \rinth I f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy}
\leq \rinth J \left( \rinth I f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy}
\leq \rint {I \times J} f$. Dostáváme rovnost.

Zavedeme si funkci $y \to \rinth{} f(x,y) \inint J$ a platí $\int_J \left( \rinth I f \right) = \int_{I \times J} f$. Podobně můžeme zavést $y$ jako dolní integrál a dostaneme stejné rovnosti.

Tedy funkce $\phi: y \to \rinth I f - \rintd I f \inint J$. Dále platí $\rint I \phi = 0$. Protože $\rinth I f \geq \rintd I$, máme $\phi(y) \geq 0$. Tedy podle lemmatu je množina $\mnz{y \in J: \phi(y) > 0}$ nulová.

A tedy $\rintd{} f = \rinth{} f$ až na nulovou množinu.
\end{proof}

\begin{df}
Mějme $E \subseteq \R^d$ omezenou, $\partial E$ nulovou a $f: E \to \R$ omezenou, potom definujeme
$$ \rint E f = \rint I F $$
kde $I$ je nějaký box obsahující $E$ a $F(x) = f(x)$ pro $x \in E$, $F(x) = 0$ pro $x \in I \setminus E$, pokud platí $F \inint I$.
\end{df}

\begin{pozn}
Speciálně $f \inint I, E \subseteq I, \partial E$ nulová, potom $\rint E f$ existuje a je roven $\int_I f \chi_E$, kde $\chi_E(x) = 1$ pro $x \in E$, 0 jinak.
\end{pozn}

\begin{proof}
Víme, že $f \inint I \Leftrightarrow A(f)$ je nulová. Když $x \in E^0$, potom $f \chi_E = f$ na okolí $x$ a tedy $f \chi_E$ je spojitá právě, když $f$ je spojitá v $x$.

Když $x \in (I \setminus E)^0$, potom $f \chi_E = 0$ na okolí $x$ a je také spojitá v $x$.

Tedy $A(f\chi_E) \subseteq A(f) \cup \nabla E$. O $A(f)$ víme, že je nulová a podle předpokladu i $\partial E$ je nulová. Proto i $A(f\chi_E)$ je nulová a $f\chi_E \inint I$.
\end{proof}

\begin{df}
Definujme objem množiny $E$ jako $\vol(E) = \int_E 1$. (protože $A(\chi_E) \subseteq \nabla E$ a $\partial E$ je nulová)
\end{df}

\begin{df}
Označme pro $E \subseteq \R^k \times \R^m: \pi_1 E = \mnz{x \in \R^k: \exists (x,y) \in E}, \pi_2 E = \mnz{y \in \R^m: \exists (x,y) \in E}$.

Dále pro $x \in \R^k$ definujme řez $E^x = \mnz{y: (x,y) \in E}$, pro $y \in \R^m$ definujme $E^y = \mnz{x: (x,y) \in E}$.
\end{df}

\begin{veta}[Obecnější Fubiniho]
Mějme $E \subseteq \R^k \times \R^m$ omezenou, $\partial E$ nulovou a funkci $f: E \to \R$ omezenou a $\rint E f$ existuje. Potom
$$ \rint E f =
\rint{\pi_1 E} \left( \rintd {E^x} f(x,y)\:{\rm dy} \right)\:{\rm dx} =
\rint{\pi_1 E} \left( \rinth {E^x} f(x,y)\:{\rm dy} \right)\:{\rm dx} =
\rint{\pi_2 E} \left( \rintd {E^y} f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy} =
\rint{\pi_2 E} \left( \rinth {E^y} f(x,y)\:{\rm dx} \right)\:{\rm dy}.$$

Speciálně $\rint {E^x} f(x,y)\:{\rm dx}$ a $\rint {E^y} f(x,y)\:{\rm dy}$ existují až na nulové množiny.
\end{veta}

\subsection{Věta o substituci}

\begin{df}
Mějme $U \subseteq \R^d$ otevřenou, $\varphi: U \to \R^d$ zobrazení. Řekněme, že $\varphi$ je \emph{regulární}, pokud platí:
\begin{enumerate}
\item $\varphi$ je spojité diferencovatelné na $U$, $\varphi \in C^1(U)$.

\item $\varphi$ je prosté.

\item Matice $D\varphi(x)$ má plnou hodnost pro všechna $x \in U$.
\end{enumerate}

Označíme $J\varphi(x) = \det D\varphi(x), x \in U$.
\end{df}

\begin{veta}[o substituci]
Mějme $A \subseteq \R^d$, $\partial A$ nulovou, $\phi: A \to \R^d$ regulární na $A^0$. Dále mějme $f: A \to \R$ omezenou. Potom
$$ \rint {\varphi(A)} f = \rint A f \circ \varphi \cdot |J\varphi| $$
pokud oba integrály existují.
\end{veta}

\section{Analýza v komplexním oboru}
{

Komplexní čísla $\C$ si můžeme představit jako $\R^2$. Na $\R^2$ máme definované sčítání a násobení skalárem. Toto je však stále jen vektorový prostor, my bychom chtěli těleso. Potřebujeme tedy operaci násobení.

Zaveďme si $i^2 = -1$ a potom komplexní číslo $z = x+iy\ x,y\in\R$. Díky této rovnosti můžeme zavést násobení: $(x+iy)(u+iv) = (xu-yv)+i(xv+yu)$.

\begin{pozn}
Díky komutativitě normálního násobení na $\R$ je násobení na $\C$ také komutativní.
\end{pozn}

Když je $z = x+iy$ komplexní číslo, potom $\overline{z} = x-iy$ jeho komplexně sdružené číslo. Potom $z\conj{z} = x^2+y^2$. Z toho můžeme definovat $|z| = \sqrt{z\conj{z}}$.

Inverzní prvek k $x+yi$ existuje a rovná se $\frac{1}{x+yi} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} = \frac{\conj{z}}{|z|^2}$.

\begin{pozn}
Na $\C$ používáme metriku zděděnou z $\R^2$. Díky tomu máme definované limity. Konvergence komplexního čísla znamená tedy konvergence reálné i imaginární části.
\end{pozn}

Limitu $ \lim_{z \to z_0} f(z) $ definujeme jako v metrickém prostoru $\R^2$.

Když máme funkci $f: \C \to \C$, můžeme ji také napsat jako $f = (u,v)\ u,v: \R^2 \to \R$, tedy po složkách $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$.

Z těchto vlastností můžeme odvodit $\lim_{z \to z_0} f(z) = a + ib \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} u(z) = a \wedge \lim_{z \to z_0} v(z) = b$.

\begin{pozn}
Pro tento pojem limity platí pravidla pro aritmetiku limit, jak ji známe z reálného oboru.
\end{pozn}

\begin{df}
Mějme $f$ definovanou na okolí $z \in \C$, definujeme derivaci $f$ v bodě $z$ jako
$$ f'(z) = \lim_{w \to z} \frac{f(w)-f(z)}{w-z}. $$
\end{df}

\begin{veta}
Pokud $f'(z)$ existuje, potom je $f$ spojitá v $z$.
\end{veta}

\begin{proof}
$\lim_{w \to z} f(w)-f(z) = \lim_{w \to z} \frac{f(w)-f(z)}{w-z} \cdot (w-z) = \lim_{w \to z} \frac{f(w)-f(z)}{w-z} \cdot \lim_{w \to z} (w-z) = f'(z) \cdot 0$.
\end{proof}

\begin{veta}
Nechť $f' = 0$ na $\C$, potom $f = c$ je konstantní funkce, $c \in \C$.
\end{veta}

\begin{pozn}
Tato věta platí obecněji, $\C$ můžeme nahradit souvislou otevřenou podmnožinou $\C$.
\end{pozn}

\begin{proof}
Víme, že $\lim_{w \to z} \frac{f(w)-f(z)}{w-z} = 0$. Rozepišme $f(z) = u(z)+iv(z)$. Potom $\lim_{w \to z}\frac{u(w)-u(z)}{w-z} = 0$ a zároveň $\lim_{w \to z}\frac{v(w)-v(z)}{w-z}$.

Když si zvolíme pro $z = x+iy$ speciální tvar $w = (x+t)+iy$, $\lim_{t \to 0}\frac{u(x+t,y)-u(x,iy)}{t} = 0$. Analogicky pro $w = x+i(y+t)$ a $v$. To znamená, že parciální derivace $u$ i $v$ jsou nulové.

Nyní chceme ukázat, že $f(z) = f(0)$. Víme, že $u$ i $v$ jsou konstantní na přímkách rovnoběžných s osami. A~tedy totéž platí i pro $f$. Tedy $f(0) = f(x) = f(x+iy)$.
\end{proof}

Zatím se zdá, že se $\C$ chová dost podobně jako $\R^2$. Komplexní derivace má však mnohem silnější vlastnosti. Podívejme se na $\lim_{w \to z} \frac{f(w)-f(z)}{w-z}$ a použijme $f = u+iv$. Získáme
$$\lim_{w \to z} \frac{f(w)-f(z)}{w-z} = \lim_{w \to z}\frac{u(w)-u(z)}{w-z} + i\lim_{w \to z}\frac{v(w)-v(z)}{w-z}.$$
Teď uvažme pouze úsečky rovnoběžné s osami. Dostáváme:
\begin{align*}
f'(z) &= \lim_{t \to 0} \frac{u(x+t,y)-u(x,y)}{t} + i\lim_{t \to 0} \frac{v(x+t,y)-v(x,y)}{t} = \parcder ux(z) + i \parcder vx(z). \\
f'(z) &= \lim_{t \to 0} \frac{u(x,y+t)-u(x,y)}{it} + i\lim_{t \to 0} \frac{v(x,y+t)-v(x,y)}{it} = \frac 1i \parcder uy(z) + \parcder vy(z) = \parcder vy(z) - i \parcder uy(z).
\end{align*}

Z tohoto dostáváme, že $\parcder ux(z) + i\parcder vx(z) = \parcder vy(z) - i\parcder uy(z)$. Tedy po složkách $\parcder ux(z) = \parcder vy(z)$ a $\parcder uy(z) = -\parcder vx(z)$. Tyto rovnosti se nazývají \emph{Cauchy-Riemannovy podmínky}.

\begin{df}
Mějme $f: D \to \C$, kde $D \subseteq \C$ otevřená. Tuto funkci nazveme \emph{holomorfní} na $D$, pokud $f'$ existuje na $D$.
\end{df}

Holomorfní funkce jsou neskutečně pěkné a kupříkladu platí, že pokud je funkce holomorfní, existují všechny její derivace. Předpokládejme nyní, že $f$ je holomorfní na $D$. Potom $u$ i $v$ mají všechny parciální derivace druhého řádu spojité. Tedy $\parcder {^2u}{x^2}(z) = \parcdder vxy(z)$ a $\parcder {^2u}{y^2}(z) = -\parcdder vyx(z) = -\parcdder vxy(z)$.
Z toho dostáváme, že $\parcder{^2u}{x^2} + \parcder{^2u}{y^2} = \Delta u = 0$. Obdobně $\parcder{^2v}{x^2} + \parcder{^2v}{y^2} = \Delta v = 0$.

\begin{df}
Mějme $h: U \to \R$, kde $U \subseteq \R^d$. Funkce $h$ se nazývá harmonická, pokud $\Delta h = 0$ na celém $U$.
\end{df}

%Pokud $f = u+iv$ je holomorfní na $d \subseteq \C$, $u$ i $v$ mají spojité parciální derivace druhého řádu, potom jsou $u$ i $v$ harmonické.
Pokud $f = u+iv$ je holomorfní na $d \subseteq \C$, jsou $u$ i $v$ harmonické.

Předpokládejme nyní, že $\nabla u(x_0,y_0), \nabla v(x_0,y_0) \neq 0$. Nyní si vezměme úrovňové množiny $M = \mnz{(x,y):u(x,y) = u(x_0,y_0)}$ a $K = \mnz{(x,y):v(x,y) = v(x_0,y_0)}$.

Dále mějme diferencovatelné křivky $\gamma: t \to (\gamma_1(y),\gamma_2(y)), \gamma(t_0) = (x_0,y_0)$, které poté popisují křivku parametricky, pro tuto křivku taky platí $B((x_0,y_0), \rho) \cap M = \langle \gamma \rangle \cup B((x_0, y_0), \rho)$. Analogicky si vezměme $\beta: s \to (\beta_1(s), \beta_2(s)), \beta(s_0) = (x_0,y_0)$.

Pro tyto křivky potom platí, že $u(X_0,y_0) = u \circ \gamma(t)$ na okolí $t_0$ ,stejně tak $v(x_0,y_0) = v \circ \beta(s))$ na okolí $s_0$. Z toho tedy vyplývá, že $0 = \left( \parcder ux \circ \gamma(t), \parcder uy \circ \gamma(t) \right)\left( \gamma_1'(t), \gamma_2(t) \right)^T$, analogicky pro $v,\beta,s$.

Za důsledek dostáváme díky tomu, že $\nabla u \cdot \nabla v = \parcder ux \cdot \parcder vx + \parcder uy \cdot \parcder vy = 0$ to, že $\gamma' \cdot \beta' = 0$.

Můžeme tedy přejít na nový systém souřadnic. $z^2 = x^2 - y^2 + i2xy$, tedy $u = x^2-y^2$ a $v = 2xy$.

Dále se z vlastností holomorfismu podívejme na totální diferenciál:
$$ \begin{pmatrix} \parcder ux & \parcder uy \\ \parcder vx & \parcder vy \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} =
\sqrt{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} \frac a{\sqrt{a^2 + b^2}} & -\frac b{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ \frac b{\sqrt{a^2 + b^2}} & \frac a{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{pmatrix} =
C \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix} =
C \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{pmatrix} $$

právě, když si řekneme, že $\alpha = \arccos(A)$. Z determinantu víme, že $A^2 + B^2 = 1$. Tedy $A = \cos \alpha$ a $B = \pm\sin \alpha$. Dále vidíme, že totální diferenciál je rotace.

\begin{veta}
Mějme $f: \C\supseteq U \to \C$, které se rovná $f = u+iv$ a bod $z = x+iy \in U$. Nechť $u$ i $v$ mají totální diferenciál v bodě $(x,y)$ a splňují C-R podmínky. Potom $f'(z)$ existuje.
\end{veta}

\begin{proof}
$u$ má totální diferenciál, takže
$$u(x+s,y+t) = u(x,y) + \nabla u(x,y)\cdot(s,t) + \varphi(s,t)\cdot|(s,t)|.$$
Přitom pro $(s,t) \to 0$ jde $\varphi \to 0$. Stejně tak
$$v(x+s,y+t) = v(x,y) + \nabla v(x+y)\cdot(s,t) + \psi(s,t)\cdot|(s,t)|$$
 a $\psi \to 0$ pro $(s,t) \to 0$. Nechť dále $o = \varphi(s,t)|(s,t)| + \psi(s,t)|(s,t)|$.

Chceme říct, že $f$ má derivaci. Tedy je potřeba spočítat limitu. Vyjádříme si $w = x+s + i(y+t)$, zatneme zuby a dosadíme.
\begin{align*}
\lim_{w \to z} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} &=
\lim_{|(s,t) \to 0|} \frac{f(x+s+i(y+t)) - f(x+iy)}{s+it} = \\
&=\lim_{|(s,t)| \to 0} \frac{u(x+s,y+t) + iv(x+s,y+t) - u(x,y) - iv(x,y)}{s+it} = \\
&=\frac{u(x+s,y+t) - u(x,y) + i(v(x+s,y+t) - v(x,y))}{s+it} = \\
&\text{teď použijeme existenci totálních diferenciálů $u$ a $v$:} \\
&=\lim_{|(s,t)| \to 0} \frac{\nabla u(x,y)\cdot(s,t) + i \nabla v(x,y)\cdot(s,t) + o}{s+it} = \\
&=\lim_{|(s,t)| \to 0} \frac{\parcder ux(x,y)s + \parcder uy(x,y)t + i\parcder vx(x,y)s + i\parcder vy(x,y)t + o}{s+it} = \\
&\text{a nakonec využijeme C-R podmínky:} \\
&=\lim_{|(s,t)| \to 0} \frac{\parcder ux(x,y)\cdot(s+it) + i \parcder vx (x,y)\cdot (it + s) + o}{s+it} \\
&= \lim_{|(s,t)| \to 0} \frac{\left( \parcder ux (x,y) + i\parcder vx (x,y) \right) (s+it) + o}{s+it} \\
&= \parcder ux(x,y) + i\parcder vx(x,y) + \lim (\varphi (s,t) + \psi (s,t))\frac{|s+it|}{s+it} \\
&= \parcder ux(x,y) + i\parcder vx(x,y). \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Mocninné řady v komplexním oboru}
\def\infsum{\sum_{n = 0}^\infty}
\def\mocrada{\infsum a_n (z-z_0)^n}

Mějme řadu $s_N = \sum_{n = 0}^N c_n$. Pokud $\lim_{N \to \infty} s_n = S \in \C$, potom říkáme, že řada $\infsum c_n$ konverguje (má součet $S$).

\begin{df}
Řekněme, že řada $\infsum c_n$ konverguje \emph{absolutně}, pokud $\infsum |c_n| < \infty$.
\end{df}

\begin{lm}
Pokud $\infsum c_n$ konverguje absolutně, potom konverguje.
\end{lm}

\begin{proof}
Mějme $k \geq l$, potom $|s_k - s_l| = \left| \sum_{n=l+1}^k c_n  \right|$. Podle trojúhelníkové nerovnosti potom získáme vztah $\left| \sum_{n=l+1}^k c_n  \right| \leq \sum_{n=l+1}^k |c_n| \leq \sum_{n=l+1}^{\infty} |c_n| $.

Víme, že $|c_n|$ konverguje, takže $\forall \eps > 0 \exists m_0 : \forall m \geq m_0 \sum_{n=m}^\infty |c_n| < \eps$. To znamená, že $c_n$ je Cauchyovská a proto konverguje.
\end{proof}

\begin{lm}
Pokud $\infsum c_n$ konverguje, potom $|c_n| \to 0$ pro $n \to \infty$.
\end{lm}

\begin{proof}
Triviálně, $|s_l - s_{l-1}| = |c_l|$.
\end{proof}

\begin{df}
Výraz $\mocrada$ nazveme (formální) mocninnou řadou se středem $z_0 \in \C$ a koeficienty $a_n \in \C$.

$R = \sup \mnz{ |z-z_0|: \mocrada \text{ konverguje}}$ nazveme \emph{poloměrem konvergence} řady $\mocrada$.
\end{df}

\begin{lm}\label{lm_rada_mensi_konvergence}
Nechť $\mocrada$ konverguje a nechť $|w-z_0| < |z-z_0|$. Potom $\infsum a_n(w-z_0)^n$ konverguje absolutně.
\end{lm}

\begin{proof}
Jelikož $\mocrada$ konverguje, potom $|a_n(z-z_0)^n| = |a_n|\cdot|z-z_0|^n \to 0$. Tedy $\exists M: \forall n\ |a_n|\cdot|z-z_0|^n \leq M$, posloupnost je omezená.

Vyjádříme si tedy $|a_k|\cdot|w-z_0|^n = |a_k|\cdot \frac{|w-z_0|^n}{|z-z_0|^n} \cdot |z-z_0|^n$. Protože $|w-z_0| < |z-z_0|$, víme, že $r = \frac{|w-z_0|}{|z-z_0|} < 1$.

Potom $\infsum |a_n||w-z_0|^n = \infsum |a_n||z-z_0|^n \left|\frac{w-z_0}{ z-z_0}\right|^n \leq \infsum Mr^n < \infty$.
\end{proof}

\begin{ds}
Je-li $R$ poloměr konvergence řady $\infsum a_n(z-z_0)^n$, potom tato řada konverguje absolutně pro každé $z$ splňující $|z-z_0| < R$.
\end{ds}

\begin{proof}
Zvolíme si $|z-z_0| < R = \sup\mnz{|w-z_0|: \infsum\text{ konverguje}}$, tedy $\exists w: |w-z_0| > |z-z_0|$ a odpovídající řada konverguje. Podle lemmatu \ref{lm_rada_mensi_konvergence} konverguje $\mocrada$ absolutně.
\end{proof}

Když si definujeme funkci $f(z) = \mocrada$, je dobře definovaná na $U(z_0,R)$ (otevřený kruh se středem v $z_0$ a poloměrem $R$).

Nyní již víme, jak je poloměr $R$ definovaný formálně, jak jej ale spočítat? Z předchozích semestrů známe vzorečky pro kontrolu konvergence řady, například podílové a odmocninové kritérium. Nyní si ukážeme vzorečky pro výpočet $R$:

\begin{enumerate}
\item $R = \left(\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\right)^{-1}$

\item $R = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ MLPSS
\end{enumerate}

\begin{proof}\leavevmode
\begin{enumerate}
\item
Víme, že $\mocrada$ konverguje, pokud $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n||z-z_0|^n} < 1$ a dále diverguje, pokud $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n||z-z_0|^n} > 1$.

Nyní $1 > \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n||z-z_0|^n} = |z-z_0| \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$.

Pokud $|z-z_0| < \left( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \right)^{-1}$, pak $\mocrada$ konverguje a tedy $R \geq L$. Pro divergenci analogicky s prohozenou nerovností a tedy $R \leq L$. Spojíme  nerovnosti a dostáváme, že $R = L$.

\item
Víme, že $\mocrada$ konverguje, pokud $\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}||z-z_0|^{n+1}}{|a_n||z-z_0|^n} < 1$.  Dále víme, že $\mocrada$ diverguje, když $\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}||z-z_0|^{n+1}}{|a_n||z-z_0|^n} > 1$.

Nyní $1 > \lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}||z-z_0|^{n+1}}{|a_n||z-z_0|^n} = |z-z_0| \lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$.

Pokud $|z-z_0| < \lim_{n \to \infty}\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = L$, pak $\mocrada$ konverguje a tedy $R \geq L$. Pro divergenci analogicky s prohozenou nerovností a tedy $R \leq L$. Spojíme nerovnosti a dostáváme, že $R = L$. \hfill\mbox{\qedhere}
\end{enumerate}
\end{proof}

Nyní si ukážeme, jak můžeme s řadami manipulovat a počítat je.

\begin{lm}
\label{v_stejny_polomer_konvergence}
Řady $\mocrada$ a $\infsum n a_n (z-z_0)^{n-1}$ mají stejný poloměr konvergence.
\end{lm}

\begin{proof}
Pro tyto dvě řady platí $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n-1]{n|a_n|} = \frac 1{R_2}$ a $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac1{R_1}$. Dále $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \sqrt[n-1]{n} = 1$.

Pak si stačí jen všimnout, že $\limsup \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup \sqrt[n-1]{n}\sqrt[n-1]{|a_n|}$, tedy i poloměry $R_1$ a $R_2$ jsou stejné.
\end{proof}

% Když $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = K \in \R$, potom existuje vybraná posloupnost, že $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n_k]{a_{n_k}}$.

\begin{lm}
Mějme funkce $f(z) = \mocrada$ a $g(z) = \infsum n a_n (z - z_0)^{n-1}$ s poloměrem konvergence $R$. Potom $f'(z) = g(z)$ na $U(z_0,R)$.
\end{lm}

\begin{proof}
Nechť BÚNO $z_0 = 0$.

Myšlenka je, že výraz $\frac{f(w) - f(z)}{w-z} - g(z)= \frac{\infsum a_n w^n - \infsum a_n z^n}{w-z}- \sum_{n = 1}^\infty n a_n z^{n-1}$ odhadneme výrazem $C(w-z)$, který jde v limitě $w\rightarrow z$ do nuly. Je to docela trikové, protože tam jsou nekonečné sumy, celou dobu tedy budeme manipulovat jen s konečnými sumami, dokud z nich nevytkneme, co chceme. Pak to odhadneme, pošleme $N \to \infty$ a následně $w \to z$.

Nechť $|w|, |z| \leq r < R$.
Budeme využívat identitu $(w-z)^k=(w-z)\sum_{j=0}^{k-1} w^j z^{k-1-j}$.

\begin{align*}
&\frac{\sum_{n = 0}^N a_n w^n - \sum_{n = 0}^N a_n z^n}{w-z} - \sum_{n = 1}^N n a_n z^{n-1} =
\sum_{n = 1}^N a_n \left( \left(\sum_{j = 0}^{n-1} w^j z^{n-1-j}\right) - n z^{n-1} \right) =\\
&\sum_{n = 1}^N a_n \sum_{j = 1}^{n-1} z^{n-1-j} (w^j - z^j) =
\sum_{n = 1}^N a_n \sum_{j = 1}^{n-1} z^{n-1-j} (w-z) \sum_{l = 0}^{j-1} w^lz^{1-1-l} =
(w-z)\sum_{n = 1}^N a_n \sum_{j = 1}^{n-1}\sum_{l = 0}^{j-1} w^l z^{n-2-l}
\end{align*}

$(w-z)$ je venku, jdeme odhadnout tu hrůzu za tím (pomocí absolutní hodnoty).

\begin{align*}
&\left| \frac{f(w) - f(z)}{w-z} - g(z) \right| \leq
|w-z| \sum_{n = 1}^N |a_n| \sum_{j = 1}^{n-1}\sum_{l = 0}^{j-1} |w^l| |z^{n-2-l}| \leq
|w-z| \sum_{n = 1}^N |a_n| \sum_{j = 1}^{n-1}\sum_{l = 0}^{j-1} |r^{n-2}| = \\
&\frac{|w-z|}{r^2} \sum_{n = 1}^N |a_n|r^n \sum_{j = 1}^{n-1}\sum_{l = 0}^{j-1} 1 =
\frac{|w-z|}{r^2} \sum_{n = 1}^N |a_n| \frac{n(n-1)}{2} r^n \leq
\frac{|w-z|}{r^2} \sum_{n = 1}^\infty |a_n| \frac{n(n-1)}{2} r^n \leq
C|w-z|,
\end{align*}
kde jsme na konci využili konvergence odpovídající řady (lemma \ref{v_stejny_polomer_konvergence}). Tedy $\lim_{w \to z} \frac{f(w)-f(z)}{w-z} = g(z)$.
\end{proof}

\begin{ds}
Pro všechna $n \in \N$ platí $f\der n = \sum_{k=n}^\infty \frac{k!}{(k-n)!} a_k(z-z_0)^{k-n}$.

Speciálně $f\der n(z_0) = n!a_n$, tedy $a_n = \frac{f\der n(z_0)}{n!}$ a $a_0 = f(z_0)$.

To znamená, že $\mocrada$ je Taylorovou řadou funkce $f$.
\end{ds}

Použitím lemmatu na řadu $F(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(z-z_0)^{n+1}$ dostáváme integrováním $f(z) = \mocrada$ člen po členu, platí tedy $F'(z) = f(z)$ a $R_F = R_f$.

Již víme, co se s řadou děje uvnitř kruhu daného poloměrem konvergence. Nyní je však otázka, co můžeme o řadě říct, jestliže $z$ leží na poloměru konvergence, tedy $z=z_0+R\cdot e^{i\varphi}$.

\begin{veta}[Abelova]
Nechť řada $f(z) = \mocrada$ má poloměr konvergence $R > 0$. Dále mějme $w = z_0 + Re^{i\varphi}$. Předpokládejme navíc, že $\infsum a_n (w-z_0)^n$ konverguje a má součet $S$. Potom
$$ \lim_{r \to R^-} f(z_0 + re^{i\varphi}) = S. $$
\end{veta}

Tato věta funguje, jelikož při limitění se pohybujeme zevnitř kruhu směrem k okraji. Limita je definovaná pouze zleva, jelikož vně kruhu již řada diverguje a nelze ji tedy sečíst.

Pro připomenutí. Cauchyho součin řad říká, že pro dvě absolutně konvergentní řady platí:
$$ \infsum a_n \cdot \infsum b_n = \sum_{k=0}^\infty\left( \sum_{i+j=k} a_i b_j \right) $$

\begin{proof}\parskip0.5pt
BÚNO nechť $z_0 = 0$, $R = 1$ a $\varphi = 0$, tedy $w = 1$. (Toto můžeme udělat, protože potom zvolíme $e(ze^{i\varphi})$.)

Vezmeme si řadu $f(z) = \infsum a_n z^n$ a $\infsum a_n = S$. Chceme $\lim_{t \to 1^-} f(t) = S $.

Dále si vezměme $g(z) = \frac 1{1-z}$. Potom
$$\frac{f(z)}{1-z} = \left( \infsum a_n z^n \right) \cdot \left( \infsum z^n \right) = \infsum \left( \sum_{i=0}^n a_i \right) z^n= \infsum S_n z^n. $$

Nyní $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ a $f(z) = (1-z) \infsum S_n z^n$. Spočítejme $S$ jako jinou geometrickou řadu, speciálně $S = (1-z)\infsum Sz^n $.

Čili $S - f(z)$ můžeme vyjádřit jako $(1-z) \infsum (S-S_n) z^n$. Nyní $|S - f(z)| = |1-z| \left| \infsum (S-S_n) z^n \right| $.

Označme $t_n = S-S_n = \sum_{k = n+1}^\infty a_k \to 0$, když $n \to \infty$. Máme nyní první část sumy. Druhá část již bude konečná.

Dostáváme tedy $|S - f(z)| \leq |1-z| \left|\sum_{n=0}^M t_nz^n\right| + |1-z| \sum_{n=M+1}^\infty |t_n||z|^n$ pro každé $M \in \N$.

Zvolme $\eps > 0$. Nyní nalezneme $M$ takové, že pro všechna $n \geq M+1$ platí $|t_n| < \frac{\eps}{2}$ (To je možné, protože $|t_n| \to 0$).

Potom $|1-z|\sum_{n=M+1}^\infty \leq |1-z|\frac \eps 2 \sum_{n=M+1}^\infty |z|^n \leq \frac{|1-z|}{1-|z|} \frac \eps 2 = \frac \eps 2$ pro $z \in (0,1)$.

Nechť $C = \left|\sum_{n = 0}^\infty t_n \right|$, zjevně $C \geq \left|\sum_{n = 0}^\infty t_n z^n\right|$ pro $\forall z \in \left[ 0, 1\right]$. Nakonec zvolme $z$ tak, aby $|1-z| \leq \frac \eps{2C}$, potom $|S - f(z)| \leq \frac{\eps}{2C} \left| \sum_{n=0}^M t_n z^n \right| + \frac \eps 2 \leq \frac\eps2+\frac\eps2= \eps$.

Pro dané $\eps$ nejprve zvolíme $M$, podle něj zvolíme $C$. Potom pro $z \in \left( 1-\frac \eps{2C} , 1 \right)$ platí $|S-f(z)|\leq \eps$, tedy $\lim_{z \to 1^-} f(z) = S$.
\end{proof}

\subsection{Posloupnosti a řady funkcí}

Představme si, že máme $f_n(x) = x^n$, $x \in [0,1]$, kde všechny $f_n$ jsou spojité. Potom můžeme vidět, že:
$$ f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \begin{cases} \lim_{n \to \infty} x^n = 0 & x < 1 \\ \lim_{n \to \infty} x^n = 1 & x = 1 \end{cases} $$

Vidíme tedy, že $f(x)$ je nespojitá, zatímco každá $f_n$ je spojitá. Vidíme tedy, že limita spojitých funkcí může dopadnout nespojitě.

\begin{df}
Nechť $(M,\rho)$ je metrický prostor a nechť $f_n: M \to \R (\C)$ je posloupnost funkcí. Řekneme, že $f_n$ \emph{konverguje bodově}, pokud existuje $f: M \to \R (\C)$:
$$ \forall x \in M\ \forall \eps > 0\ \exists n_\eps\ \forall n \geq n_\eps: |f_n(x) - f(x)| < \eps $$
Řekněme, že $\mnz{f_n}$ \emph{konverguje stejnoměrně}, pokud existuje $f: M \to \R (\C)$:
$$ \forall \eps > 0\ \exists n_\eps\ \forall n \geq n_\eps\ \forall x \in M: |f_n(x) - f(x)| < \eps $$

Bodová konvergence se značí $f_n \to f$, stejnoměrná konvergence se značí $f_n \tto f$.
\end{df}

Jaký je rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou spojitostí? Bodová konvergence říká, že posloupnost nějakých fixních funkčních bodů konverguje k jinému. Zatímco stejnoměrná konvergence nám říká, že vždy bude celá funkce dostatečně blízko. Jako příklad je posloupnost výše.

\begin{lm}
Definujme $\alpha_n = \sup\mnz{|f_n(x) - f(x)|: x \in M}$. Potom $(f_n \tto f) \Leftrightarrow \alpha_n \to 0$.
\end{lm}

\begin{proof}
Dopředná implikace je snadná. Z definice $\forall\eps\ \exists n_\eps\ \forall n\geq n_\eps\ \forall x \in M: |f_n(x) - f(x)| < \eps$. Víme, že $\sup_{x \in M} |f_n(x) - f(x)|\leq \eps$. Potom ale $\alpha_n \to 0$.

Nyní zpětná implikace. Víme, že $\alpha_n \to 0$, potom $\forall\eps\ \exists n_\eps\ \forall n\geq n_\eps\ \forall x \in M: \alpha_n < \eps$. Jelikož $\alpha_n = \sup |f_n(x) - f(x)|$, platí tedy $f_n \tto f$.
\end{proof}

Vraťme se k původnímu příkladu. Vidíme, že $f_n \to f$, ale $f_n \not\tto f$, jelikož $\alpha_n = \sup\mnz{x^n: x \in [0,1)} = 1$.

\begin{pozn}
Obdobně definujeme stejnoměrnou konvergenci na množině $A \subseteq M$. Potom $f_n \tto f$ na $A$, pokud $f_n |_A \tto f |_A$ v $(A,\rho |_{A \times A})$.
\end{pozn}

\begin{pozn}
Nechť ${\cal B}(M)$ je prostor všech omezených funkcí, $f: M \to \R (\C)$ a $f_n,f \in {\cal B}(M)$. Potom
$ f_n \tto f \Leftrightarrow \rho(f_n,f) \to 0 $, kde $\rho(f,g) = \sup_{x \in M} |f(x)-g(x)|$ pro $f,g \in {\cal B}(M)$.
\end{pozn}

Tato poznámka nám zavádí metriku na všech omezených funkcích. Vzdálenost dvou funkcí je v podstatě to, jak nejdál od sebe funkce někde jsou.

Tato metrika je také efektivnější pro zjišťování stejnoměrné konvergence, než třeba metrika $\left(\int |f-g|^p\right)^{\frac 1p}$. U této metriky bychom potřebovali, aby tento integrál existoval.

\begin{df}
Posloupnost $f_n$ nazveme stejnoměrně Cauchyovskou, pokud:
$$ \forall \eps > 0\ \exists n_\eps\ \forall x \in M\ \forall n,m \geq n_\eps : |f_n(x) - f_m(x)| < \eps$$
\end{df}

\begin{lm}
Posloupnost $f_n$ je stejnoměrně Cauchyovská, právě když $f_n$ stejnoměrně konverguje.
\end{lm}

\begin{proof}\leavevmode
\begin{enumerate}
\item[\uv{$\Rightarrow$}]
Víme, že $\mnz{f_n(x)}$ je stejnoměrně Cauchyovská pro každé $x \in M$, a tedy existuje její limita, kterou nazveme $f(x)$. Podle definice tedy $ \forall \eps > 0\ \exists n_\eps\ \forall x \in M\ \forall n,m \geq n_\eps : |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{9}{10}\eps$. Víme, že existuje limita $f(x)$. Tedy pro $m \to \infty$ dostáváme $|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{9}{10}\eps < \eps \Rightarrow f_n \tto f$.

\item[\uv{$\Leftarrow$}]
$f_n \tto f$, dostáváme $ \forall \eps > 0\ \exists n_\eps\ \forall x \in M\ \forall n \geq n_\eps: |f_n(x) - f(x)| \leq \frac\eps2 $. Dále pro $n,m \geq n_\eps$ dostáváme $|f_n(x)-f_m(x)| \leq |f_n(x) - f(x)| + |f_m(x) - f(x)| < \frac\eps2 + \frac\eps2 = \eps$. \hfill\mbox{\qedhere}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{veta}
Nechť $f_n$ je posloupnost spojitých funkcí a nechť $f_n \tto f$. Potom $f$ je spojitá.
\end{veta}

\begin{proof}
Zvolme si $x \in M$ a ukážeme, že $\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0: \rho(x,y) < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \eps$. Všimneme si:

$\forall n:|f(x) - f(y)| = |f(x)-f_n(x)+f_n(x) - f_n(y) + f_n(y) - f(y)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x)-f_n(y)| + |f_n(y) - f(y)|$. Protože $f_n \tto f$, můžeme říct $\forall \eps\ \exists n_\eps\ \forall y \in M\ \forall n\geq n_\eps: |f_n(y)-f(y)| < \frac\eps3$.

Zvolme $n \geq n_\eps$. Protože $f_n$ je spojitá, dostaneme $\forall \eps>0\ \exists \delta>0 : \rho(x,y) < \delta \Rightarrow |f_n(x) - f_n(y)| < \frac\eps3$.

Tedy $|f(x)-f(y)| < \frac\eps3 + \frac\eps3 + \frac\eps3 = \eps$.
\end{proof}

Tímto známe nutnou podmínku stejnoměrné konvergence. Nyní si ukážeme postačující podmínku.

\begin{veta}[Dini]
Mějme $(M,\rho)$ kompaktní metrický prostor a $f_n: M \to \R$, $f_n \to f$. Nechť platí následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item $f_n$ konverguje bodově k $f$ a tato konvergence je monotónní ($f_n(x) \searrow f(x)$ nebo $f_n(x) \nearrow f(x)$)
\item $f_n$ i $f$ jsou spojité
\end{enumerate}
Potom $f_n \tto f$.
\end{veta}

\begin{proof}
BÚNO $f_n(x) \searrow f(x)$. Nechť $\alpha_n = \sup\mnz{|f_n(x) - f(x)|: x \in M} = \max\mnz{f_n(x) - f(x): x \in M}$. Tedy potom $\forall n\ \exists x_n \in M:\alpha_n = f_n(x_n) -  f(x_n)$.

Předpokládejme pro spor, že $\forall n : \alpha_n \geq C > 0$. Tedy $f_n(x_n) - f(x_n) \geq C$. Avšak zároveň $f_m(x_m) \leq f_n(x_m)$ pro $n \leq m$. Z toho vyplývá, že $f_n(x_m) - f(x_m) \geq f_m(x_m) - f(x) \geq C$ pro $m \geq n$.

Podle kompaktnosti $M$ existuje $x \in M$ a vybraná posloupnost $x_{n_k} \to x$. Vezměme si $g_k = f_{n_k}, y_k = x_{n_k}$. Potom $g_k(y_l) - f(y_l) \geq C$ pro $l \geq k$. Tudíž z Heineho věty $g_k(x) - f(x) \geq C$ pro všechna $k$. Tedy v tomto bodě $f_n(x)$ nekonverguje, což je spor.
%Vašek Rozhoň: dopsal jsem tam toho Heineho, je potřeba, ne?
\end{proof}

\begin{df}
Nechť $f_n: M \to \R (\C)$. Řekneme, že řada funkcí $\infsum f_n$ konverguje stejnoměrně, pokud $s_n \tto s$ pro nějaké $s: M \to \R (\C)$ a $s_n(x) = \sum_{k = 0}^n f_k(x)$.
\end{df}

\begin{lm}[Nutná podmínka pro konvergenci řad]
Pokud řada $\infsum f_n$ konverguje stejnoměrně, potom $f_n \tto 0$.
\end{lm}

\begin{proof}
Víme, že posloupnost $s_n$ konverguje stejnoměrně, potom $s_n$ stejnoměrně Cauchyovská. Z toho vyplývá speciálně, že $\forall \eps\ \exists n_\eps\ \forall x\ \forall n \geq n_\eps : |s_{n+1}(x) - s_n(x)| = |f_{n+1}(x)| < \eps$, tedy $f_n \tto 0$.
\end{proof}

\begin{veta}[Wierstrassův M-test]
Mějme $s_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x)$, $\sup_{x \in M} |f_k(x)| \leq \alpha_k$ a $\sum_{k=0}^\infty \alpha_k < \infty$. Potom suma $\sum_{k=0}^\infty f_k(x)$ konverguje stejnoměrně.
\end{veta}

\begin{proof}
Mějme $t_n = \sum_{k=0}^n \alpha_k$. Ukážeme, že pro $m > n$ je $|s_m(x) - s_n(x)| = |\sum_{k=n+1}^m f_k(x)| \leq \sum_{k=n+1}^m |f_k(x)| \leq \sum_{k=n+1}^m \alpha_k = t_m - t_n$.
Posloupnost $t_n$ je konvergentní, tedy $\forall\eps>0\ \exists n_\eps\ \forall m,n\geq n_\eps: |t_m-t_n| < \eps$. Tedy i $|s_m(x) - s_n(x)| \leq \eps$, čímž jsme ukázali Cauchyho podmínky.
\end{proof}

\begin{ds}
Nechť $\mocrada$ má poloměr konvergence $R > 0$. Potom tato mocninná řada konverguje stejnoměrně na každé množině $B(z_0,r), r < R$.
\end{ds}

\begin{proof}
Zvolme $w$, že $|w-z_0| = r$. Potom $\infsum \alpha_n (w-z_0)^n$ konverguje absolutně. Nyní stačí použít M-test s $\beta_k = \alpha_k r^k$.
\end{proof}

\begin{pozn}
Důsledek můžeme zformulovat i tak, že $\mocrada$ konverguje lokálně stejnoměrně na $U(z_0,R)$.
\end{pozn}

$f_k(x)$ konverguje lokálně stejnoměrně, pokud pro každé $z$ existuje $\eps_z > 0$, že $f_k \tto$ na $B(z,\eps_z)$.

\subsection{Fourierovy řady}

\def\infsum{\sum_{n = 0}^\infty}
\def\mocrada{\infsum a_n (z-z_0)^n}

Mějme funkci $f: \R \to \R$, která je $2\pi$-periodická ($f(x+2k\pi) = f(x)\ k \in \Z$). Takové funkci přiřadíme formální trigonometrický polynom, tedy nekonečnou kombinace sinů, kosinů. Tedy $f \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) $. Tato řada bude formální trigonometrická řada funkce $f$. Koeficienty se potom rovnají:

$a_k = \frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(kt)\:{\rm d}t$

$b_k = \frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(kt)\:{\rm d}t$

\medskip
Ukážeme, že funkce $\sin(kx)$ a $\cos(kx)$ tvoří ortonormální bázi, tedy Fourierova řada zobrazuje $f$ jako vektor v tomto ortonormálním systému.

Skalární součin u funkcí potom bude možný vyjádřit jako $\langle f,g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} fg$.

\medskip
Naším cílem bude, aby se funkce $f$ přímo rovnala této trigonometrické řadě.

\begin{df}
Funkci $f: [a,b] \to \R$ nazveme \emph{po částech spojitou}, pokud existuje dělení $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$, že $f$ je spojitá na všech intervalech $(x_k,x_{k+1})\ k = 0,\dotsc,n-1$ a zároveň existují všechny jednostranné limity $f$ v bodech $x_i$.
\end{df}

\begin{veta}[Riemann-Lebesgueovo lemma]
Nechť $f$ je po částech spojitá na $[a,b]$. Potom
$$ \lim_{p \to \infty} \int_a^b f(t) \sin(pt)\:{\rm d}t = 0 $$
\end{veta}

\begin{proof}
BÚNO předpokládejme, že je funkce spojitá. (Kdyby nebyla, provedeme důkaz po jednotlivých intervalech dělení.) Dále dodefinujme okrajové body na intervalu jejich jednostrannými limitami.

Označme $I(p) = \int_a^b f(t) \sin(pt)\:{\rm d}t$. Použijme substituci $u + \frac\pi p, {\rm d}t = {\rm d}u$. Potom $t= a \Rightarrow u = a - \frac\pi p$, $t = b \Rightarrow u = b - \frac\pi p$.

Potom $I(p) = \int_{a - \frac \pi p}^{b - \frac \pi p} f(u + \frac \pi p) \sin(pu + \pi)\:{\rm d}u = -\int_{a - \frac \pi p}^{b - \frac \pi p} f(u + \frac \pi p) \sin(pu)\:{\rm d}u$.

Potom $2I(p) = \int_a^b f(t) \sin(pt)\:{\rm d}t - \int_{a - \frac \pi p}^{b - \frac \pi p} f(t + \frac \pi p) \sin(pt)\:{\rm d}t$. Toto si rozdělíme na tři integrály:

$ 2I(p) = \int_{a - \frac \pi p}^a f(t + \frac \pi p) \sin(pt)\:{\rm d}t + \int_{b - \frac \pi p}^b f(t) \sin(pt)\:{\rm d}t + \int_a^{b - \frac \pi p} f(t) - f(t + \frac\pi p)\:{\rm d}t$. Nyní ze spojitosti $\forall \eps > 0 \exists \delta > 0 : |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \eps$.  Z omezenosti $|f(x)| \leq M$, a tedy $2|I(p)| = \frac\pi p M + \frac\pi p M + (b-a)\eps \to 0$, kde $\frac\pi p < \delta$.
\end{proof}

\begin{lm}
Řada $\frac12 + \sum_{k = 1}^n \cos(kx) = \frac{\sin (\frac{2n+1}{2}x)}{\sin (\frac x2)}$ pro $x \neq 2k\pi$.
\end{lm}

\begin{proof}
Vezmeme si výraz $\sin (\frac{2k+1}{2}x) - \sin (\frac{2k-1}{2}x)$. Využitím součtových vzorců získáme $\sin(kx + \frac x2) - \sin(kx - \frac x2) = \sin(kx)\cos( \frac x2) + \cos(kx)\sin(\frac x2) - \sin(kx)\cos( \frac x2) + \cos(kx)\sin(\frac x2) = 2\cos(kx)\sin(\frac x2)$.

Dostáváme, že $\sum_{k=1}^n  \cos(kx) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin (\frac{2k+1}{2}x) - \sin (\frac{2k-1}{2}x)}{2 \sin(\frac x2)} = \frac{\sin (\frac{2n+1}{2}x) - \sin (\frac x2)}{2\sin (\frac x2)} = \frac{\sin (\frac{2n+1}{2}x)}{2\sin (\frac x2)} - \frac 12$.
\end{proof}

\begin{df}
Výraz $\frac 12 + \sum_{k=1}^n \cos(kx)$ označíme $D_n(x)$ a nazveme \emph{Dirichletovým jádrem}.
\end{df}

\begin{lm}\leavevmode
\begin{enumerate}
\item $D_n(t) = D_n(-t)$
\item $\frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)\:{\rm d}t = 1$
\end{enumerate}
\end{lm}

\begin{proof}
První tvrzení plyne přímo z definice.

Druhé tvrzení získáme přímou integrací. Integrál kosinu je sinus, to je lichá funkce. Suma se tedy navzájem odečte. Zbylá polovina se integruje na $\pi$, což se navzájem zkrátí na 1.
\end{proof}

Vezměme si $S_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum_{k=1}^n a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)$.

To je ekvivalentní s $\frac 1\pi \left( \int_{-\pi}^\pi f(t) \left( \frac 12 + \sum_{k=1}^n cos(k(t-x)) \:{\rm d}t \right) \right) = \frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(t-x)\:{\rm d}t$.

Použijme nyní substituci $u = t-x, t = x+u, {\rm d}t = {\rm d}u$ a dostaneme $\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x+u) D_n(u)\:{\rm d}u$.

Můžeme použít další substituci $ -s=u $, pak dostáváme $\frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x-s) D_n(s)\:{\rm d}s$.

\begin{df}
Funkce $f: [a,b] \to \R$ nazveme po částech diferencovatelnou, pokud existuje dělení $a=x_0,x_1,\dotsc,x_n=b$ takové, že pro každé $i=0,\dotsc,n-1$ existuje $f_i$ diferencovatelná na $[x_i,x_{i+1}]$ a platí $f_i = f$ na $(x_i,x_{i+1})$.
\end{df}

\begin{veta}
$f$ je $2\pi$-periodická a po částech diferencovatelná na $[-\pi,\pi]$, potom $S_n(x) \to \frac{f(x_+)+f(x_-)}2$ pro $n \to \infty$.
\end{veta}

\begin{proof}
Víme, že $S_n(x) = \frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi \frac{f(x+u)+f(x-u)}2 D_n(u)\:{\rm d}u $ a také, že $\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi D_n(u) = 1$. Využitím těchto vlastností máme
$$S_n(x) - \frac{f(x_+)+f(x_-)}2 = \frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi \frac{f(x+u)+f(x-u)-f(x_+)-f(x_-)}2 D_n(u)\:{\rm d}u = \dots$$

Všimněme si, že tato funkce za integrálem je sudá, jelikož $D_n(u)$ je sudá a $x+u,x-u$ jsou vůči sobě symetrické. Můžeme tedy přepsat integrál na
$$\dots = \frac 1\pi \int_0^\pi (f(x+u)-f(x_+)+f(x-u)-f(x_-)) D_n(u)\:{\rm d}u = \dots$$

Rozšiříme si integrál o $u$, dosadíme za $D_n(u)$ a rozdělíme jej na dva integrály $I_n^+,I_n^-$:
$$ \dots = \frac 2\pi \int_0^\pi \frac{f(x+u)-f(x_+)}u \cdot \frac{u/2}{\sin(u/2)} \cdot \sin\left((n+\frac12)u\right) + \frac 2\pi \int_0^\pi \frac{f(x-u)-f(x_-)}u \cdot \frac{u/2}{\sin(u/2)} \cdot \sin\left((n+\frac12)u\right). $$

Nyní využijeme po částech diferencovatelnost, tedy $\psi^+(u) = \frac{f(x+u)-f(x_+)}u \cdot \frac{u/2}{\sin(u/2)}$ pro $u \in (0,\pi]$ a $\psi^+(u) = f'(x_+)$ pro $u=0$. Funkce $\psi^+$ je po částech spojitá na $[0,\pi]$. Analogicky definujeme $\psi^-$.

Tedy integrály $I_n^+ + I_n^-$ podle Riemann-Lebesgueneovo lemmatu konvergují do 0, pro $n \to \infty$.
\end{proof}

\begin{pozn}
Ve větě dostáváme jen bodovou konvergenci, stejnoměrná konvergence vyžaduje silnější předpoklady.

Nutně vyžadujeme, aby minimálně byla $f$ spojitá na celém intervalu. Tedy
$$ \frac{|a_0|}2 + \sum_{n = 1}^N |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \leq \frac{|a_0|}2 + \sum_{n = 1}^N |a_n|+|b_n| $$
a tedy pokud $\sum_{n = 1}^N |a_n|+|b_n| < \infty$, potom M-test dává stejnoměrnou konvergenci.

Tato podmínka platí například, když je $f$ spojitá a po částech hladká.
\end{pozn}

\begin{pozn}
Platí následující triviální, ale užitečné rozšíření na $2p$-periodické funkce pro $p>0$:

$$ a_n = \frac 1p \int_{-p}^p f(t) \cos\left(n \frac\pi p t\right)\:{\rm d}t$$
$$ b_n = \frac 1p \int_{-p}^p f(t) \sin\left(n \frac\pi p t\right)\:{\rm d}t$$
a pro $ \frac{a_0}2 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(n \frac\pi p t\right) + b_n \sin\left(n \frac\pi p t\right) $ platí analogická tvrzení.
\end{pozn}

\section{Metrické prostory}

\emph{(Pokračování z MA2)} Připomeňme důležité vlastnosti.

Prostor $(M,\rho)$ nazveme úplný, pokud každá cauchyovská posloupnost v $M$ je konvergentní v $M$.

Prostor $(M,\rho)$ nazveme kompaktní, pokud z každé posloupnosti můžeme vybrat konvergentní podposloupnost.

Kompaktní prostor je také úplný. Obecně to však naopak neplatí.

\begin{veta}
Následující podmínky na prostoru $(M,\rho)$ jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item $M$ je kompaktní
\item z každého pokrytí $M$ otevřenými množinami existuje jeho konečné podpokrytí.
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{df}
$L \subseteq M$ je $\eps$-sítí pokud $M \subseteq \bigcup_{x \in L} B(x,\eps)$. (Pro každý prvek $M$ najdeme prvek $L$, který je od něj vzdálen nanejvýš $\eps$.)
\end{df}

\begin{df}
Systém množin ${\cal U}$ nazveme pokrytím $M$, pokud $\bigcup_{U \in {\cal U}}U \supseteq M$ a otevřeným, pokud všechny množiny v ${\cal U}$ jsou otevřené.

Podpokrytí ${\cal U}'$ je podpokrytí ${\cal U}$, pokud ${\cal U}' \subseteq {\cal U}$ a ${\cal U}'$ je pokrytí.
\end{df}

\begin{proof}
Jednotlivé směry.

$1 \Rightarrow 2$: $M$ je kompaktní, potom $\forall \eps > 0$ existuje konečná $\eps$-síť v $M$.

Kdyby ne, nechť pro nějaké $\eps > 0$ neexistuje žádná konečná $\eps$-síť. Tedy $\exists x_1 \in M$, pak $\exists x_2 \in M \setminus B(x_1,\eps)$. Takto budeme pokračovat induktivně pro $\exists X_{n+1} \in M \setminus \bigcup_{k=1}^n B(x_k,\eps)$. Potom ale $\mnz{x_i}$ nemá konvergentní podposloupnost a $M$ není kompaktní, spor.

Tedy pro každé $n \in \N$ existuje $S_n \to \frac 1n$-síť v $M$. Nechť ${\cal U}$ je otevřené pokrytí $M$. Buď $\exists n\ \forall x \in S_n\ \exists {\cal U}: B(x,\frac 1n) \in U$. Potom existuje konečné podpokrytí ${\cal U}$.

Nebo $\forall n\ \exists x_n \in S_n\ \forall U \in {\cal U}: B(x,\frac 1u) \setminus U \neq \emptyset$. Potom pro $\mnz{x_n}$ existuje podposloupnost, která je konvergentní (BÚNO je to přímo $x_n$). Pak $X_n \to X \in M \Rightarrow \exists U \in {\cal U}: x \in U \Rightarrow \exists \eps > 0: B(x,\eps) \in U$. Zvolíme $n: \frac 1n < \frac \eps2$ a zároveň $\rho(x_n,x) < \frac \eps2$, potom $B(x_n,\frac 1n) \subseteq B(x,\eps) \subset U$, což je spor.

\medskip
$2 \Rightarrow 1$: Pokud máme posloupnost $x_n$ a chceme najít vybranou posloupnost $x_{k_k}$, která konverguje. Nechť taková podposloupnost neexistuje. Potom platí platí $\forall x \in M\ \exists r_x > 0: B(x, r_x)$ obsahuje jen konečně mnoho prvků posloupnosti.

Kdykoliv $\forall x \in M\ x \in U(x, r_x)$, potom $U(x, r_x)$ tvoří otevřené pokrytí $M$. Podle předpokladu existují $y_1,\dots,y_N$ tak, že $\bigcup U(y_i, r_{y_i}) \supseteq M$. To je ale spor, protože pro každé $y_i$ existuje jen konečně mnoho indexů $j$, že $x_j \in U(y_i, r_{y_i})$. Čímž je porušená nekonečnost $\N$.
\end{proof}

\begin{df}
Mějme $(M,\rho)$ metrický prostor, $A \subseteq M$ nazveme hustou v $M$, pokud $\overline A = M$. Jinými slovy, pokud pro každé $x \in M, r > 0$ existuje $a \in A \cap U(x,r)$.
\end{df}

\begin{veta}[Baire]
Buď $(M,\rho)$ úplný metrický prostor a nechť $G_i, i \in \N$ jsou otevřené a husté v $M$. Potom $ \bigcap G_i $ je hustá v $M$, a tedy je speciálně neprázdná (pokud je $M$ neprázdný).
\end{veta}

\begin{proof}
BÚNO nechť $M$ je neprázdný. Vezměme si $x \in M$ a chceme dokázat, že $\forall r > 0\ \exists a \in \bigcap G_i: A \in U(x,r)$.

Budeme konstruovat systém otevřených kuliček $U(x_i,r_i), i \in \N_0$ s následujícími vlastnostmi:
\begin{enumerate}\itemsep=0pt
\item $\overline{U(x_i,r_i)} \subseteq U(x_{i-1},r_{i-1}) \quad i \in \N$ (definujeme $x_0 = i, r_0 = r$)
\item $\overline{U(x_i,r_i)} \subseteq \bigcap_{j=1}^i G_j \quad i \in \N$
\item $r_i < \frac1i$
\end{enumerate}

Kuličky budeme konstruovat indukcí. Využijeme hustotu a otevřenost $G_i$. $U(x_0,r_0$ již máme, takže stačí jen indukční krok.

Podmínky 1 a 2 platí až po $i$, chceme najít $x_{i+1}$ a $r_{i+1}$. Víme, že $G_{i+1}$ je hustá, tedy existuje $x_{i+1} \in \bigcap_{j=1}^{i+1} G_j \cap U(x_i,r_i) = G_{i+1} \cap U(x_i,r_i)$.

Ale protože je $G_{i+1}$ otevřená, existuje $r_{i+1} > 0$, že $\overline{U(x_{i+1}, r_{i+1})} \subseteq G_{i+1} \cap U(x_i,r_i)$. Tím jsme dostali obě podmínky. Třetí podmínka je triviální.

Dokážeme, že $x_i$ je cauchyovská posloupnost. Protože pro $\eps > 0$ najdeme $2r_i < \eps$, dostáváme, že  pro $m > n \geq i$ platí $x_m,x_n \in U(x_i,r_i) \Rightarrow \rho(x_m,x_n) \leq \rho(x_m,x_i)+\rho(x_n,x_i) \leq 2r < \eps$.

Protože $(M,\rho)$ je úplný prostor, je $x_i$ konvergentní. Buď $a \in M$ tak, že $x_i \to a$. Chceme ukázat, že $a \in \left( \bigcap_{i=1}^\infty G_i \right) \cap U(x,r)$. Jelikož ale podle podmínek 1 a 2 je $x_n \in \overline{U(x_i,r_i)} \subseteq \left( \bigcap_{j=1}^i G_j \right) \cap U(x,r) $ kdykoliv $n \geq i$. Potom i $a$ je prvkém této množiny. To znamená, že $a$ je prvkem i nekonečného průniku.
\end{proof}

\begin{ds}
Mějme $(M,\rho)$ neprázdný úplný metrický prostor a $F_i \subseteq M, i \in \N$. Nechť $\bigcup F_i = M$, potom existuje $i \in \N$, že $\overline{F_i}$ má neprázdný vnitřek.
\end{ds}

\begin{proof}
Sporem. Nechť $\overline{F_i}$ má prázdný vnitřek $\forall i \in \N$. Potom $M \setminus \overline{F_i} = G_i$ je hustá otevřená množina v $M$. Kdyby $G_i$ nebyla hustá, potom by existovala $U(x,r)$ taková, že $U(x,r) \cap G_i = \emptyset$. Potom ale $U(x,r) \subseteq \overline{F_i}$.

Potom ale podle Baireovy věty je $\bigcap G_i$ je hustý a neprázdný. Tedy $\bigcap M \setminus \overline{F_i} = M \setminus \bigcap\overline{F_i} = \emptyset$, spor.
\end{proof}

\begin{df}
Mějme $(M,\rho)$ metrický prostor a $\varphi: M \to M$ nazveme kontrakcí, pokud existuje $0 < R < 1$, že $\forall x,y \in m: \rho(\varphi(x),\varphi(y)) \leq \rho(x,y)$.
\end{df}

\begin{veta}[Banachova o pevném bodě]
Mějme $(M,\rho)$ neprázdný úplný metrický prostor a $\varphi: M \to M$ kontrakce. Potom existuje právě jedno $x \in M$, že $\varphi(x) = x$.
\end{veta}

\begin{proof}
Víme, že je $M$ neprázdný, tedy existuje $x \in M$. Definujme 	$x_0 = x$ a $x_{n} = \varphi(x_{n-1})$. Potom $x_n = \varphi^n(x)$ a zároveň je-li $\varphi(x)$ kontrakcí s konstantou $R$, potom $\rho(\varphi^n (u), \varphi^n (v)) \leq R^n \rho(u,v)$.

Dále pro $n < m$ platí $\rho(x_n,x_m) \leq \sum_{j=n}^{m-1} \rho(x_j,x_{j+1}) = \sum_{j=n}^{m-1}(\varphi^j(x),\varphi^{j}(\varphi(x))) \leq \sum_{j=n}^{m-1} R^j \rho(x,\varphi(x)) \leq R^n\rho(x, \varphi(x))\cdot\sum_{j=0}^\infty R^j$. To se ale rovná $R^n \frac{\rho(x,\varphi(x))}{1-R}$.

Tudíž $x_n$ je cauchyovská posloupnost. Víme, že je $M$ úplný, takže $x_n \to x'$. Víme, že $\varphi$ je kontrakce a tedy spojitá, tedy $x_{n+1} = \varphi(x_n) \to \varphi(x') = x'$. Tedy $\rho(x_n,\varphi(x_n)) \to \rho(x',x') = 0$. Tedy máme existenci pevného bodu.

Jednoznačnost. Pokud $x,y \in M$ a $\varphi(x) = x$ a $\varphi(y) = y$, potom $\rho(x,y) = \rho(\varphi(x),\varphi(y)) \leq R\rho(x,y)$. Tedy potom $\rho(x,y) = 0$.
\end{proof}

\section{Diferenciální rovnice}

Vezměme si rovnici ve tvaru $f'(x) = F(x,f(x))$. Jde o \emph{obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu}. Dále $F: U \to \R $, kde $U$ je otevřená podmnožina $\R^2$.

Řešením této rovnice (s počáteční podmínkou $(x_0,y_0)$) nazveme funkci $f$ definovanou na okolí $I$ bodu $x_0$, že platí $f'(x) = F(x,f(x))$ pro $x \in I$ a $f(x_0) = y_0$.

\smallskip
Řekněme, že máme nějaký $(x_0, y_0)$ a okolí $I = (x_0-a,x_0+a), J = (y_0-b, y_0+b)$. Mějme $F: I \times J \to \R$. Budeme po této funkci chtít následující podmínky:

\begin{enumerate}
\item Restrikce $x \to F(x,y)$, kde $x \in I$, je spojitá pro $y \in J$
\item Existuje konstanta $L > 0$ taková, že pro všechna $x \in I, y,\overline y \in J$ platí
$$ \left| F(x,y) - F(x,\overline y) \right| \leq L|y-\overline y| $$
\end{enumerate}

\begin{pozn}
Funkce splňující obě podmínky na $I \times J$ je spojitá na $I \times J$.
\end{pozn}

\begin{proof}
Když máme $\eps > 0$ a $(x,y) \in I \times J$, potom $\exists \delta: |x-\overline x| < \delta$ taková, že $|F(x,y) - F(\overline x, y)| < \frac\eps2$.

Dále z podmínek víme, že $|F(\overline x,y) - F(\overline x,\overline y)| \leq L|y - \overline y|$, při zvolení $|y - \overline y| < \frac\eps{2L} = \overline \delta$ dostáváme omezení $ < \frac\eps2 $.

\smallskip
Když si položíme $\delta_0 = \min(\delta, \overline\delta) > 0$. Pokud $(x,y) - (\overline x, \overline y) < \delta_0$, dostáváme $|x-\overline x| < \delta$ a zároveň $|y-\overline y| < \overline \delta$, z trojúhelníkové nerovnosti získáváme $|F(x,y)-F(\overline x,\overline y)| \leq |F(x,y)-F(\overline x,y)|+|F(\overline x,y)-F(\overline x,\overline y)| \leq \frac\eps2 + \frac\eps2 = \eps$.
\end{proof}

Speciálně, $M = \max_{(x,y) \in I \times J} |F(x,y)| < \infty$.

\medskip
S naší diferenciální rovnicí $A: f'(x) = F(x,f(x))$ se pracuje docela nepříjemně. Pojďme si tedy rovnici převést na jinou:
$$ B: f(x) = y_0 + \int_{x_0}^x F(t,f(t))\:{\rm d}t$$

Jedná se ale skutečně o ekvivalentní rovnice? Když máme $G(x) = \int_{x_0}^x g(t)$, potom $G'(x) = g(x)$. Zderivováním dostaneme $f'(x) = F(x,f(x))$ a dále při dosazení $x_0$ máme $f(x_0) = y_0 + \int_{x_0}^{x_0}F = y_0$.

Jakákoliv rovnice splňující $B$ tedy splňuje i $A$.

Podobně, $f'(x) = F(x,f(x)) \rightarrow \int_{x_0}^x f'(t)\:{\rm d}t = \int_{x_0}^x F(t,f(t))\:{\rm d}t \rightarrow f(x) - f(x_0) = \int_{x_0}^x F(t,f(t))\:{\rm d}t \rightarrow B$.

Jak tedy vidíme, opravdu jsou obě rovnice ekvivalentní.

\begin{lm}
Nechť platí podmínky 1 a 2 a nechť $a < \min(\frac bM, \frac 1L)$ kde $M$ je maximum $F(x,f(x))$ na kompaktu $I \times J$ a $L$ je lipschizovská konstanta z 2). Pak existuje právě jedno řešení rovnice $f'(x) = F(x,f(x)), f(x_0) = y_0, x \in I$.
\end{lm}

\begin{proof}
Vezměme si množinu ${\cal C}(I) = X$, dále $\rho(f,g) = \max_{x \in I}(f(x)-g(x))$ pro $f,g \in {\cal C}(I)$. Systém $(X,\rho)$ je úplný metrický prostor. Chtěli bychom najít takovou kontrakci, aby pevný bod řešil $A \equiv B$.

Vezmeme si speciální třídu funkcí ${\cal C}(I,J)$, tedy všechna $f \in {\cal C}(I,J)$, pro která platí $f(I) \subseteq J$. Vidíme, že ${\cal C}(I,J) \subseteq {\cal C}(I)$ uzavřená: když $f_n \in {\cal C}(I,J)$ takové, že $f_n \to_\rho f \in {\cal C}(I)$, tak potom pro $x \in I, f_n(x) \in J, f_n(x) \to f(x)$ platí, že $f(x) \in J$.

Tedy pro $Y = {\cal C}(I,J)$ a $\rho_x = \rho\mid_{Y \times Y}$ je $(Y,\rho_x)$ úplný metrický prostor.

\smallskip
Nyní stačí najít potřebnou kontrakci $T: Y \to Y$. Definujme $T(f)(x) = y_0 + \int_{x_0}^x F(t,f(t))\:{\rm d}t$. Je tato funkce opravdu $Y \to Y$?

Pro intervaly $I = (x_0-a,x_0+a), J = (y_0-b, y_0+b)$ dostáváme, že $\bigl| T(f)(x) - y_0 \bigr| = \bigl| \int_{x_0}^x F(t,f(t))\:{\rm d}t \bigr| \leq M|x-x_0| \leq a\cdot M$. Chtěli bychom, aby $a\cdot M < b$, což zaručuje podmínka.

Dále $\bigl| T(f)(x) - T(g)(x) \bigr| = \bigl| \int_{x_0}^x v \bigr| \leq \int_{x_0}^x |F(t,f(t)) - G(t,g(t))| \:{\rm d}t $. To díky druhé podmínce umíme omezit shora $\int_{x_0}^x L|f(t)-g(t)|\:{\rm d}t \leq L\cdot\rho(f,g)\cdot a$. Pro $La < 1$ dostáváme omezení $< \rho(f,g)$.

\smallskip
Naše zobrazení je tedy správná kontrakce a existuje právě jeden pevný bod.
\end{proof}

Jako důsledek dostáváme:

\begin{veta}[Picardova]
Mějme $F: U \to \R$, $(x_0, y_0) \in U$ kde $U \subseteq \R^2$ je otevřená. Dále nechť platí
\begin{enumerate}
\item Funkce $x \to F(x,y)$ je spojitá pro všechna $y$
\item $F$ je lokálně lipschitzovská v druhé proměnné: $\forall x,y \in I \times J\ \exists \eps > 0,\exists L > 0: |x - \overline x| \leq \eps, |y - \overline y| \leq \eps \Rightarrow |F(\overline x, y) - F(\overline x, \overline y)| \leq L|y-\overline y|$
\end{enumerate}

Potom pro každé $(x_0,y_0) \in U$ existuje okolí $I$ bodu $x_0$, že rovnice $f'(x) = F(x,f(x))$, $f(x_0) = y_0$ má na $I$ právě jedno řešení.
\end{veta}

\begin{proof}
Obě podmínky věty implikují podmínky 1 a 2 v lemmatu. Dále si dopočítáme $M$ a $L$, zmenšíme $a$ tak, aby platila podmínka $a < \min(\frac bM, \frac 1L)$. Potom lemma platí a řešení je pevným bodem.
\end{proof}

\begin{pozn}
Je-li $F$ pouze spojitá na $U$, potom řešení stále existuje, ale nemusí být jednoznačné.
\end{pozn}

Příkladem je rovnice $f'(x) = 3f(x)^{\frac23}$ a $f(0)=0$. Funkce $f(x) = 0$ je řešením. Stejně tak $f(x) = x^3$ je řešením, jelikož $f'(x) = 3x^2 = 3(f(x))^{\frac23}$.

}
\end{document}
