\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[IL2]{fontenc}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\usepackage[margin=2cm]{geometry}

\newtheorem{lm}{Lemma}[section]
\newtheorem{tv}{Tvrzení}[section]
\newtheorem{veta}{Věta}[section]
\newtheorem*{veta*}{Věta}
\newtheorem*{eye}{Pozorování}
\newtheorem{vetka}[veta]{Větička}
\newtheorem{ds}{Důsledek}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{df}{Definice}[section]
\newtheorem*{pr}{Příklad}
\newtheorem*{pozn}{Poznámka}

\usepackage[unicode]{hyperref}

\hypersetup{
pdfauthor={Václav Končický},
pdftitle={Matematická analýza II},
pdfsubject={Poznámky k přednášce},
pdfcreator={LaTeX, nekonečně krát lepší, než MS Word},
colorlinks=false
}

\title{Matematická analýza II {\small NMAI055}}
\author{Robert Šámal \small(Paralelka Y)}
\date{}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\TP[#1]#2,#3{T_{#1}^{#2,#3}}
\def\rint{\text{\scriptsize(R)}\int}
\def\rintd{\underline{\int}}
\def\rinth{\overline{\int}}
\newcommand{\der}[1]{^{(#1)}}
\newcommand{\mnz}[1]{\lbrace #1 \rbrace}
\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}
\newcommand{\fracnorm}[2]{\frac{\norm{#1}}{\norm{#2}}}
\newcommand{\parcder}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\parcdder}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\matparcder}[2]{\left(\parcder{#1}{#2}\right)}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Pokračování z MA1}
\setcounter{section}{4}

\begin{veta}[Jensenova nerovnost]
\label{v_jensen}

Pokud je $f$ konvexní na $[a,b]$, $x_1,\dotsc,x_n \in [a,b]$ a platí $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n \in [0,1],\ \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$ (konvexní kombinace); potom $ f(\sum_i \lambda_i x_i) $ (vážený průměr) $ \leq \sum_i \lambda_i f(x_i)$.

Pokud je $f$ konkávní, platí opačná nerovnost.

\end{veta}

Speciálně, pro $n=2$: $f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \leq \lambda_1 f(x_1) \lambda_2 f(x_2) \Rightarrow$ Bod $[\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, \lambda_1 f(x_1) \lambda_2 f(x_2)]$ leží na úsečce z $[x_1, f(x_1)]$ do $[x_2, f(x_2)]$ a graf $f$ leží pod touto úsečkou, potom je $f$ konvexní.

\begin{proof}

MI podle $n$:

$n=1$\dots triviálně: $f(x_1) \leq f(x_1)$

$n=2$\dots podle definice konvexity.

$n \rightarrow n+1$:

Zavedeme si $ x'_n = \frac{\lambda_n x_n + \lambda_{n+1} x_{n+1}}{\lambda_{n}+\lambda_{n+1}} $ a také 
$\lambda'_n = \lambda_n + \lambda_{n+1}$. Pro $i \neq n$ máme $ x'_i = x_i, \lambda'_i = \lambda_i$. Poté platí $ \sum_{i=1}^n \lambda'_i = \sum_{i=1}^{n+1} = 1 $. Z toho vyplývá, že $ x'n $ leží mezi $x_n$ a $x_{n+1} \Rightarrow x'_n \in [a,b]$

Indukční předpoklad:

$$ f( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i) = f( \sum_{i=1}^n \lambda'_i x'_i) \leq \sum_{i=1}^n \lambda'_i f(x'_i) = $$
$$ = \sum_{i=1}^{n-1} (\lambda_i x_i) + (\lambda_n + \lambda_{n+1})f(\frac{\lambda_n x_n + \lambda_{n+1} x_{n+1}}{\lambda_{n}+\lambda_{n+1}}) \leq $$
$$ \leq \frac{\lambda_n}{\lambda_{n}+\lambda_{n+1}}f(x_n) + \frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}+\lambda_{n+1}}f(x_{n+1}) $$

Nyní si zavedeme $x''_1 = x_n, x''_2 = x_{n+1}$ a $\lambda''_1 = \frac{\lambda_n}{\lambda_{n}+\lambda_{n+1}}, \lambda''_2 = \frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_{n}+\lambda_{n+1}} $. Ze~speciálního případu pro $n=2$ vychází $\lambda''_1 + \lambda''_2 = 1$.

\end{proof}

\begin{ds}[AG-nerovnost]
\label{ds_agn}
Pro $x_1,\dotsc,x_n \geq 0$ platí:
$$ \sqrt[n]{x_1 \dotsm x_n} \leq \frac{x_1+\dotsb+x_n}{n} $$
K této nerovnosti je ekvivalentní pro $ \lambda_1 = \dotso = \lambda_n = \frac{1}{n} $:
$$ \frac{1}{n}(\log x_1 + \dotsb + \log x_n) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i \log (x_i) $$
\end{ds}

\begin{veta}[Rolleova]
\label{v_rolle}
Za předpokladů, že $f(a) = f(b) = 0$ a $f$ je spojitá a má vlastní derivace na $[a,b]$, potom existuje $\xi \in (a,b): f'(\xi) = 0$.
\end{veta}

\begin{proof}
Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá maxima $M$ a minima $m$, proto $\forall x \in [a,b]: m \leq f(x) \leq M$.

Když $m=M=0 \Rightarrow f$ je konstantní \dots $\xi$ lze zvolit libovolné.

BÚNO pro $M>0$ platí: $\exists \xi \in (a,b): f(\xi) = M$ \dots $f$ nabývá v $\xi$ maxima. Využitím Fermatovy věty získáme $f'(\xi) = 0$ pro $\xi \neq a,b$.
\end{proof}

\begin{veta}[Lagrangeova věta o střední hodnotě]
\label{v_lange}
Za předpokladů, že $f$ má vlastní derivaci na intervalu $[a,b] \Rightarrow \exists \xi \in (a,b):
f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Nebo-li na nějakém bodu funkce $f$ nabývá stejné derivace jako je směrnice úsečky z bodu $a$ do $b$.
\end{veta}

\begin{proof}
Zavedeme si velice magickou a speciální funkci $L(x)$, která je přímka procházející body $f(a)$ a $f(b)$. Pro~tu platí $ L(x) = f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, $L(a) = f(a), L(b) = f(b)$.

Funkce $f$ má vlastní derivace na intervalu $a$, $b$ a z toho plyne, že $f$ je na $[a,b]$ spojitá.

Dále si zavedeme funkci $g(x) = f(x) - L(x)$. Poté platí, že $g(a) = g(b) = 0$. Nyní můžeme využít Rolleovy věty (\ref{v_rolle}). Takže $\exists \xi \in (a,b), g'(\xi) = 0$. Dostaneme že $f(\xi) - L(\xi) = 0$. A tedy $f'(\xi) = L'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 
\end{proof}

\begin{ds}
Pokud $f'(x) > 0\ \forall x \in (a,b)$, pak je $f$ na intervalu $J$ rostoucí.
\end{ds}

\begin{proof}
Sporem: $f' > 0$ na $J$ a zároveň $f$ není rostoucí. Z toho plyne, že $\exists a<b \in J: f(a) \geq f(b)$ Využijeme Lagrangeovu větu (\ref{v_lange}), ze které plyne: $\exists \xi \in (a,b): f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq 0$ a to je spor. 
\end{proof}

\subsection{Taylorův polynom}

Chceme aproximovat hodnotu $f(a+h)$, pokud známe funkční hodnotu i derivaci v bodě $a$. Tu můžeme aproximovat tímto způsobem: $f(a+h) \doteq f(a) + f'(a)h$. Jenže tato aproximace není příliš přesná. Jak se toto dá vylepšit?

\begin{df}[n-tá derivace]
Značíme $f\der n$ a je definovaná takto: $ f\der 0 = f$, $f\der{n+1} = (f\der n )'$.
\end{df}

Pro speciální případy, tedy první, druhou a třetí derivaci můžeme použít zápis $f', f'', f'''$.

S využitím této definice nyní můžeme vytvořit aproximační vzorec, který se nazývá Taylorův polynom.

\begin{df}[Taylorův polynom]
Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$ a řádu $n$ je definován jako:
$$\TP[n]f,a(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)\frac{(x-a)^2}{2}+\dotsb+f\der n(a)\frac{(x-a)^n}{n!}$$
\end{df}

Další možnost, jak napsat TP je: $\TP[n]f,a(a+h) = \sum_{k=0}^n f\der k(a)\frac{h^k}{k!}$.

\begin{pr}
TP prvního stupně je $\TP[1]f,a(x) = f(a)+f'(a)(x-a)$.

Taylorův polynom pro logaritmus je:

$ \TP[n]{\log},1(1+h) = h-\frac{h^2}2+\frac{h^3}3-\frac{h^4}4+\dotsb+(-1)^{n-1}\frac{h^n}n$
\end{pr}

Také platí, že při derivaci TP n-tého stupně dostaneme: $ (\TP[n]f,a(x))' = \TP[n-1]f',a(x) $

\begin{proof} Derivací TP dostaneme:
$$ \sum_{k=0}^n\left(f\der k(a)\frac{(x-a)^k}{k!}\right)' = \sum_{k=1}^nf\der k(a)\frac{k(x-a)^{k-1}}{k(k-1)!} 
= \sum_{l=0}^{n-1}f\der {l+1}(a)\frac{(x-a)^l}{l!} $$
\end{proof}

\begin{ds} Pro každé $k\leq n$ platí: 
$\left(\TP[n]f,a\right)\der k(a) = f\der{k}(a)$.
\end{ds}

\begin{proof}
MI podle k:

1. $k=0$: triviální.

2. $k\Rightarrow k+1$:

$$ \left(\TP[n]f,a\right)\der{k+1} = \left(\left(\TP[n]f,a\right)'\right)\der{k} = \left(\TP[n]{f'},a\right)\der k = f\der{k+1}(a) $$

\end{proof}

\begin{veta}[Taylorův polynom s Peánovým tvarem zbytku]
Pokud platí, že $a \in \R, f^{(n)}(a)$ existuje a je vlastní, potom:
$$ f(x) = \TP[n]f,a(x) + o((x-a)^n) $$

Pokud platí, že $f\der n$ je spojitá v $a$, tak platí:

$$ \lim_{x\to a} \frac{f(x) - \TP[n]f,a(x)}{(x-a)^n}=0$$
\end{veta}

\begin{proof}
Z limity vyplývá, že podle spojitosti dostaneme $f(a) = T(a)$. Proto dostaneme limitu $\frac00$. Můžeme použít L'Hospitalovo pravidlo:
$$ \lim_{x\to a} \frac{f(x) - \TP[n]f,a(x)}{(x-a)^n} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x) - (\TP[n]f,a(x))'}{n(x-a)^{n-1}} = \frac1n \lim_{x\to a} \frac{f'(x) - \TP[n-1]{f'},a(x)}{n(x-a)^{n-1}} \mathrm{(IP)} $$

Nyní budeme postupovat matematickou indukcí podle $n$:

$n=0$: Dostaneme $ \lim \frac{f(x)-\TP[0]f,a(x)}{(x-a)^0} $, protože $f=f\der0$ a je spojitá v $a$.

$n\Rightarrow n-1$ Využijeme limity, které jsme dostali v L'Hospitalově pravidle a všimneme si, že dostaneme úplně to samé. Proto můžeme toto opakovat až do $n=0$.
\end{proof}

\begin{veta}[T.p. s Lagrangeovým tvarem zbytku]
\label{v_tp_lang}
Nechť $f$ má vlastní $(n+1)$-ní derivaci na intervalu $I$ a platí BÚNO, že $a<x \in I$. Potom $\exists \xi \in (a,x)$:
$$ f(x) = \TP[n]f,a(x) + f\der{n+1}(\xi)\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} $$
\end{veta}

\begin{pr}
Mějme funkci $f(x) = \sin x$ a Taylorův polynom $\TP[2]f,0(x) = x+0 \cdot x^2$. Potom platí, že:
$$ \sin(x) = x - \cos \xi \frac{x^3}{3!}. $$ Víme, že $|\cos \xi| \leq 1$.

Vezměme si $\sin 0.1 \doteq 0.1$. Dostaneme tedy, že $|\sin 0.1 - 0.1| \leq 1\cdot\frac{0.1^3}{6}$, tedy chyba je nejvýše $\frac{0.001}{6}$.
\end{pr}

\begin{vetka}[Zobecněná Rolleova]
\label{v_rolle2}
Nechť platí $f(a) = f'(a) = \dotso = f\der n(a) = f(b) = 0$ a $f\der{n+1}(x)$ je na~intervalu $[a,b]$ definovaná. Potom existuje takové $\xi \in (a,b): f\der{n+1}(\xi) = 0$.
\end{vetka}

\begin{proof}
Matematickou indukcí podle $n$:

$n = 0$ je v podstatě Rolleova věta \ref{v_rolle}.

$n>0$ dostaneme dle Rolleovy věty $\exists b' \in (a,b): f'(b') = 0$. Podle znění věty víme, že platí $ f'(a) = (f')'(a) = \dots = (f')\der{n-1}(a) = 0 = f'(b') $.

Vezměme si $ (f')\der n = f\der{n+1} $. Potom víme, že tato derivace existuje na $[a,b] \supseteq [a,b']$.
Podle indukčního předpokladu pro $f', n-1, a,b'$ existuje takové $\xi: (f')\der n(\xi) = 0 = f\der{n+1}(\xi)$.
\end{proof}

Nyní již máme vše potřebné na to, abychom dokazali větu \ref{v_tp_lang}.

\begin{proof}[Důkaz věty \ref{v_tp_lang}]
Nadefinujeme si funkci $g(y) = f(y) - \TP[n]f,a(y)-c(y-a)^{n+1}$.

Prvním pozorováním zjistíme, že $g(a) = 0$ a po derivaci funkce $g$ dostaneme rovnost $g'(a) = f'(a) - (\TP[n]f,a)'(a)-c(n+1)(y-a)^n = 0$ pro $y=a$.

Zopakujme tuto derivaci $n$ krát, potom pro $y=a$ získáváme rovnost $g\der n(a) = f\der n(a) - T\der n(a) - c{(n+1)(n)(n-1)} \dotsm 2(y-a) = 0$. Nyní máme předpoklady pro Rolleovu větu. Proto zvolme konstantu $c$ tak, aby $g(x) = 0$.

Dle zobecněné Rolleovy věty (\ref{v_rolle2}) pro $g,a,x$ existuje $\xi \in (a,x): g\der{n+1}(\xi)=0$. Po derivaci dostaneme $g\der{n+1}(y) = f\der{n+1}(y)-0-c(n+1)n(n-1)\dotsm1$, protože Taylorův polynom je nejvýše stupně $n$, Z toho vyplývá, že naše hledané $c=\frac{f\der{n+1}(\xi)}{(n+1)!}$, čímž máme, co potřebujeme.
\end{proof}

\setcounter{section}{4}
\section{Primitivní funkce {\small (neurčitý integrál)}}

Mějme funkci $f(t)$, která se rovná množství vyteklé tekutiny z nádoby v čase $t$. Víme, že $f(t+h)-f(t)$ je příbytek tohoto množství v čase od $t$ do $t+h$. Z~toho nám vyplývá díky definice derivace funkce, že $f'(t) = \lim_{t\to0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$ je průtok v čase $t$.

\begin{df}
Nechť $f$ je definovaná na otevřeném intervalu $I$. Potom $F$ je \emph{primitivní funkce} k $f$ na $I$, pokud $F'(x) = f(x) \forall x \in I$.
\end{df}

\begin{pr}
Mějme $(\sin x)' = \cos x$ na $\R$. Potom primitivní funkce ke $\cos x$ je funkce $\sin x$.
\end{pr}

\begin{veta}[Jednoznačnost primitivní funkce]
\label{v_prim_j}
Necht $F,G$ jsou primitivní funkce k $f$ na otevřeném intervalu $I$. Pak existuje $c \in \R: F(x)=G(x)+c$.
\end{veta}

\begin{proof}
Víme, že $F' = G' = f$. Tudíž musí platit, že $(F-G)' = F'-G' = 0$. Tedy rozdíl těchto funkcí musí být nějaká konstanta $c$.
\end{proof}

Množina všech primitivních funkcí k funkci $f$ je množina $\mnz{F(x) + c: c \in \R}$, kde $F(x)$ je jedna primitivní funkce. Značíme:
$$ \int f(x)\:dx = F(x) + c $$

\begin{veta}[Linearita primitivní funkce]
\label{v_pf_lin}
Máme funkce $f,g$, které mají primitivní funkce $F,G$ na otevřeném intervalu $I$ a $\alpha,\beta \in \R$. Potom $\alpha f + \beta g$ má primitivní funkci $\alpha F + \beta G$.
\end{veta}

\begin{proof}
Triviální: $ (\alpha F + \beta G)' = \alpha F' + \beta G' = \alpha f + \beta g $
\end{proof}

\begin{veta}[Per-partes]
Mějme funkce $f,g$ spojité na intervalu $I$. Potom platí $ \int gF = GF - \int Gf $ MLPSS.
\end{veta}

\begin{proof}
Chceme ukázat, že $(GF-H)' = gF$, kde $H = \int Gf$. Využitím věty o~aritmetice derivací dostaneme:
$ (GF-H)' = (GF)' - H' = G'F+GF'-Gf = gF+Gf-Gf = gF $.
\end{proof}

\begin{pr}
$ \int x e^x = x e^x - \int e^x x' = (x-1)e^x + c $. Pro kontrolu $((x-1)e^x)' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$
\end{pr}

\begin{veta}[1. O substituci pro primitivní funkci]
\label{v_subst1}
Mějme $F'=f$ na $(a,b)$ a $\varphi: (\alpha,\beta) \to (a,b))$, existuje vlastní derivace $\varphi$ na $(\alpha,\beta)$. Potom platí:
$$ \int f(\varphi(t))\varphi'(t)\:dt = F(\varphi(t))+c\ \mathrm{na}\ (\alpha,\beta) $$
\end{veta}

\begin{proof}
Triviální. Chceme získat, že $F(\varphi(t))'=f(\varphi(t))\varphi'(t)$. To platí díky větě o derivaci složené funkce.
\end{proof}

\begin{veta}[2. O substituci]
\label{v_subst2}
Mějme $\varphi: (\alpha, \beta) \to (a,b)$, která je na a $\varphi' \neq 0$. Pokud $\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\:dt=G(t)$ na $(\alpha,\beta)$, potom platí:
$$ \int f(x)\:dx = G(\varphi^{-1}(x))\text{ na }(a,b) $$
\end{veta}

\begin{proof}
Ukážeme, že $\varphi$ je monotónní. Nechť SÚNO je $\varphi'$ spojitá. Potom na $(\alpha,\beta)$ bude $\varphi' > 0 \vee \varphi' < 0$. Kdyby tomu tak nebylo, $\varphi'(t) = 0$ pro nějaké $t \in (\alpha,\beta)$, což by byl spor. Tudíž může $\varphi$ na $(\alpha,\beta)$ být pouze rostoucí nebo klesající.

Protože je $\varphi$ na a je monotónní, určitě má inverzi $\varphi^{-1}: (a,b) \to (\alpha,\beta)$.

Užijme první větu o substituci (\ref{v_subst1}), dostaneme $f_1 = f(\varphi(t))\varphi'(t), F_1 = G, \varphi_1 = \varphi^{-1}$. Derivace $\varphi_1'(x) = (\varphi^{-1}(x))'=\frac1{\varphi'(\varphi^{-1}(x))} \neq 0$ existuje vlastní. Dosadíme tedy a máme:

$ \int f_1(\varphi_1(t))\varphi_1'\:dt=F_1(\varphi_1(t)) $ 

$ \int f(\varphi(\varphi_1(t)))\varphi'(\varphi_1(t))\varphi_1'(t)\:dt  $

$ \int f(\varphi(\varphi^{-1}(t)))\frac{\varphi'(\varphi^{-1}(t))}{\varphi'(\varphi^{-1}(t))}\:dt $

Z tohoto již dostaneme požadovanou rovnici a věta je dokázaná.
\end{proof}

\begin{pr}
Mějme $\int \sin (2t) dt$. Vezmeme si $f(x) = \sin x$ a $\varphi(t) = 2t$. Intervaly $(a,b) = (\alpha,\beta) = (-\infty,\infty)$. Primitivní funkce je $F(x) = -\cos x$. Výraz upravíme a dostaneme $\frac 12 \int \sin(2t)\cdot 2\:dt = \frac 12 F(\varphi(t)) + c = -\frac 12 \cos(2t) + c$.
\end{pr}

\begin{pr}
Mějme $\int t e^{-t^2}\:dt$. Vyjádříme si $x = x(t) = t^2$, derivací dostaneme $x'(t) = \frac{2x}{2t} = 2t$. Z toho máme $dx = 2t dt$.

Dosadíme a dostaneme:
$$\int t e^{-t^2}\:dt = \frac 12 \int e^{-t^2}\cdot2t\:dt \stackrel{\int f(x)}= \frac 12 \int e^{-x} dx \stackrel{F(x)}= -\frac 12 e^{-x}+ c \stackrel{F(\varphi(t)))}= -\frac 12 e^{-t^2} + c$$
\end{pr}

\begin{pr}
Mějme $\int \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\:dx$, počítáme na $(-1,1)=(a,b)$. Vytvoříme substituce $x = \sin t, dx = \cos t dt$. Z toho máme $\sin = \varphi: (-\frac\pi2,\frac\pi2)\to(-1,1)$. Ověříme, že $\varphi' \neq 0$. Substituce aplikujeme a dostaneme:
$$ \int \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\:dx = \int \frac {\cos t}{\sqrt{1-\sin^2t}}\:dt = \int \frac{\cos t}{|\cos t|}\:dt = \int 1\:dt \stackrel{G(t)}= t + C \stackrel{G(\varphi^{-1}{x})}= $$
$$ = \arcsin x + c $$
\end{pr}

\subsection{Integrace racionálních funkcí}

\begin{df}
\emph{Racionální funkce} je $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, kde $P,Q$ jsou polynomy a $Q$ není identicky 0.
\end{df}

Fakta o polynomech:
\begin{enumerate}
\item $P$ je polynom, $a \in \R$, potom:
$$ P(a) = 0 \Leftrightarrow \exists\text{polynom }Q: P(x)=(x-a)Q(x) $$

Určitě existuje takový $Q,r$ takový, že pro $x=a$ platí rovnost $0=P(x)={(a-a)}Q(a)+r\Rightarrow r=0$

\item (\emph{Základní věta algebry}). Polynom $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_0$, kde pro každé $a_j \in \mathbb{C}, a_n \neq 0$, pak existují takové $x_1,\dotsc,x_n \in \mathbb{C}$, pro které platí $P(x)=a_n(x-x_1)\dotsm(x-x_n)$.

\item Předchozí věta nemusí platit v $\R$.

\item Polynom $P$ má reálné koeficienty, poté platí $P(z) = 0 \Rightarrow P(\bar{z}) = 0$.

\item (\emph{Důsledek předchozího faktu}). Polynom $P$ s reálnými koeficienty lze napsat jako součin lineárních výrazů $(x-x_i)$ a kvadratických výrazů $(x^2+a_jx+b_j)$.
\end{enumerate}

\begin{veta}[Rozklad na parciální zlomky]
\label{v_parcial}
Necht $P,Q$ jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že
\begin{enumerate}
\item $\deg p < \deg Q$

\item $Q(x) = \prod_{i=1}^k(x-x_i)^{p_i} \prod_{j=1}^l(x^2+a_jx+b_j)^{q_j}$, kde $p_i, q_j \in \mathbb{N}, x_i,a_j,b_j \in \R$, $\sum_{i=1}^k p_i + 2\sum_{j=1}^l q_j = \deg Q$, $x_i \neq x_j (t \neq j)$, $(a_j,b_j) \neq (a,b) (i \neq q)$
\end{enumerate}

Potom platí:
$$ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^k \sum_{t=1}^{p_i} \frac{A_{i,t}}{(x-x_i)^t} + \sum_{j=1}^l \sum_{t=1}^{q_j} \frac{B_{j,t}x+C_{j,t}}{(x^2+a_jx+b_j)^t} $$
\end{veta}

\begin{pr}
$$ \frac{17x-1}{(x-1)^3(x+2)^2(x^2-1)^3} = \frac{A}{(x-1)^3}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)}+$$
$$+\frac{D}{(x+2)^2}+\frac{E}{(x+2)}+\frac{Fx+G}{(x^2-1)^3}+\frac{Hx+I}{(x^2-1)^2}+\frac{Jx+K}{(x^2-1)} $$
\end{pr}

\null

No jo, to vypadá dost šíleně, jak se mají takové zlomky proboha hledat?

První možnost je \uv{tupé} hledání, kde dosadíme za $x$ mnoho různých hodnot, tím dostaneme soustavu $S<R$ pro $A,B,\dots$.

Další možnost je roznásobení jiným polynomem, v našem příkladu polynomy $(x-1)^3, x=1; (x+2)^2, x=-2$.

Třetí možnost je roznásobením polynomem $Q(x)$, dostanu rovnost polynomů a porovnám koeficienty.

\begin{proof}
Vezmeme si jen případ, kde $Q(x) = \prod_{i=1}^n(x-x_i)$. Chceme $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-x_n}+\dots$.

Využijeme metodu roznásobení. Tedy $A = \frac{P(x_n)}{\prod_{i=1}^{n-1} (x_n-x_i)} = \frac{P(x_n)}{Q_1(x_n)}$. Z toho dostaneme
$$ \frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{AQ_1}{(x-x_n)(Q_1)}=\frac{P(x)-Q_1(x)\frac{P(x_n)}{Q_1(x_n)}}{Q(x)} $$

Vytvořme si z čitatele funkci $C(x_n) = P(x_n) - Q_1(x_n)\frac{P(x_n)}{Q_1(x_n)} = 0$. Z toho dostaneme, že $C(x) = (x-x_n) C_1(x)$. Z toho dostaneme, že rozdíl je $\frac{C_1(x)}{Q_1(x)}$.

Budeme pokračovat matematickou indukcí podle $n$.

Pro $n=1$ máme $\deg P < \deg Q = 1$. Tedy $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\text{Číslo}}{x-x_1}$, tedy jsme hotovi.

Pro $n>1$ máme $\frac{P(x)}{Q(x)}-\frac{A}{x-x_n} = \frac{C_1(x)}{Q_1(x)}$. Stupeň $Q_1$ je menší, než $\deg Q$, tedy dle indukčního předpokladu lze rozložit.
\end{proof}

Jak tuto funkci integrovat:
$ \frac{P(x)}{Q(x)} = R(x) + \frac{P_1(x)}{Q(x)} $, kde $\deg P_1 < \deg Q$. Potom $Q(x)$ rozložíme na parciální zlomky, ale potřebujeme znát kořeny $Q$. Nakonec zintegrujeme každý sčítanec zvlášť:
\begin{enumerate}
\item$\int R(x)\:dx$ triviální, $R(x)$ je polynom, pro každou složku $\int \alpha x^k =  \frac{\alpha x^{k+1}}{k+1}+C$.

\item$\int \frac 1{x-a}\:dx = \log |x-a|+C$, toto nefunguje v $a$.

\item$\int \frac 1{(x-a)^k}\:dx = \int (x-a)^{-k}\:dx = \frac 1{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C$

\item$\int \frac{2x+p}{x^2+px+q}\:dx = \log |x^2+px+Q|+C$

\item$\int \frac{2x+p}{(x^2+px+q)^k}\:dx$ pro $k>1$ je $\frac 1{(1-k)(x^2+px+q)^{k-1}}+C$

\item$\int \frac 1{x^2+1}\:dx = \arctan x + C$

\item$I_k = \int \frac 1{(x^2+1)^k}\:dx = \frac{x}{(x^2+1)^k}+2k\int\frac{x^2}{(x^2+1)^{k+1}} = \frac{x}{(x^2+1)^k}+2k(I_k-I_{k+1})$ pro $k>1$ je tedy rekurentní formule

$ I_{k+1} = \frac{1}{2k}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^k}+\left(1-\frac{1}{2k}\right)I_k $

\item$\int \frac 1{(x^2+px+q)^k}$ převedeme úpravou na čtverec na předchozí případ, tedy pro $x+\frac{p}{2}^2+C$, $y = x+\frac{p}{2}$
\end{enumerate}

\begin{pr}
Typické příklady řešené substitucemi:
\begin{itemize}

\item $\int R(\log x)\frac{1}{x}\:dx = \int R(t)\:dt$, kde $t=\log x$ a $dt = \frac{1}{x}\:dx$

\item $\int R(e^{ax})\:dx = \int \frac{R(e^{ax})}{ae^{ax}}ae^{ax}\:dx = \int \frac{R(t)}{at}\:dt$, kde $t=e^{ax}$ a $dt = ae^{ax}\:dx$

\item $\int R(\sin x, \cos x)\:dx$ existují 4 substituce: 
\begin{itemize}
\item$t=\sin x$ pro $R(\sin x,-\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$
\item$t=\cos x$ pro $R(-\sin x,\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$
\item$t=\tan x$ pro $R(-\sin x,-\cos x) = R(\sin x, \cos x)$
\item$t=\tan \frac{x}{2}\dots$ univerzální.
\end{itemize}
Pokud máme integrál nějaké periodické funkce, která je navíc spojitá, tak ji můžeme vyřešit takovou substitucí na každé periodě zvlášť a potom na každém intervalu periody zvolit konstantu tak, aby výsledný integrál byl také spojitý (\uv{lepení}).

\item $\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac{1}{q}\right) = \int R(\varphi(t),t)\varphi'(t)\:dt$ pro $t = \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac{1}{q}$ a $x = \frac{dt^q-b}{a-ct^q}=\varphi(t)$

\item Eulerovy substituce --  $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$

Existuje tzv. Rischův algoritmus, který umí zintegrovat, co se dá.
\end{itemize}
\end{pr}

Nyní se podívejme na jiný druh integrálů.

\begin{df}[Určitý integrál]
Nechť $f$ je funkce $(a,b) \to \R$, $F$ je primitivní funkce k $f$ na $(a,b)$, $F(b_-) = \lim_{x \to b_-} F(x)$ a $F(a_+) = \lim_{x \to a_+} F(x)$. Poté výraz

$$ (N)\int_a^b f(x)\:dx = F(b_-) - F(a_+) = \left[ F(x) \right]_a^b $$

je určitý (Newtonův) integrál.
\end{df}

Pozor, určitý integrál $\int_a^b f$ \emph{nemusí} existovat, protože nemusí existovat primitivní funkce nebo limita v krajních bodech. Další možnost je, že dostaneme nedefinovaný výraz. Ale pokud tento integrál existuje, je jednoznačný.

Proč nás zajímají jednostranné limity místo funkčních hodnot? Ono se totiž může stát to, že funkce nebude v krajních bodech spojitá nebo definovaná. Pro příklad $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}=\left[2\sqrt{x}\right]_0^1 = 2\cdot1 - 2\cdot0 = 2$, přestože pro $x=0$ není funkce definovaná.

Pokud pro určitý integrál $\int_a^b f(x)$ platí, že $a>b$, potom se tento určitý integrál rovná: $-\int_b^a f(x)$

Ukážeme, že pro určité integrály platí podobné vlastnosti jako pro neurčité integrály.

\begin{veta}[per partes pro určitý integrál]
Nechť $f,g$ mají vlastní derivaci na~$(a,b)$. Potom
$$ \int_a^b f(x)g'(x)\:dx = \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\:dx \text{ MLPSS} $$
\end{veta}

\begin{veta}[1. substituční pro uřčitý integrál]
Mějme funkci $\varphi: (\alpha,\beta) \to I$, která má vlastní derivaci a funkci $f: I \to \R$. Potom platí:
$$ \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\:dt = \int_{\varphi(\alpha_+)}^{\varphi(\beta_-)} f(x)\:dx \text{ MLPSS}$$
\end{veta}

\begin{veta}[2. substituční pro uřčitý integrál]
Mějme funkci $\varphi: (\alpha,\beta) \to (a,b)$, která je NA a má vlastní derivaci a funkci $f: (a,b) \to \R$. Potom platí:
$$ \int_a^b f(x)\:dx = \int_{\varphi^{-1}(a_+)}^{\varphi^{-1}(b-)} f(\varphi(t))\varphi'(t)\:dt \text{ MLPSS}$$
\end{veta}

Určité integrály nám umožňují definovat nové funkce, například chybová funkce $\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}\:dt$, což je normální rozdělení (též Gaussova křivka) velmi využívané ve statistice. Derivace chybové funkce je $\text{erf}'(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2}$.

\section{Riemannův integrál}

Zatím jsme si zavedli Newtonův integrál, který funguje pomocí primitivních funkcí, což je inverzní operace k~derivaci.

Integrál ale může také fungovat jako plocha pod funkční křivkou. Ta se historicky počítala tak, že se křivka aproximovala nějakými geometrickými tvary, u kterých obsah umíme spočítat, a tyto útvary postupně přibližujeme do nekonečna ke křivce funkce.

\begin{df}
\emph{Dělení intervalu $[a,b]$} je $D=\mnz{x_j: j=0,\dotsc,n}$ takových, že $a=x_0<x_1<x_2<\dotso<x_n=b$. Také říkáme, že dělení $D'$ je \emph{zjemnění} $D$, pokud platí $D' \supseteq D$.
\end{df}

\begin{df}
Mějme omezenou funkci $f$ na intervalu $[a,b]$ a dělení $D$. Potom horní a dolní součty se definují následovně:

$$ S(f,D)= \sum_{j=1}^n |x_j-x_{j-1}| \sup\mnz{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]} $$
$$ s(f,D)= \sum_{j=1}^n |x_j-x_{j-1}| \inf\mnz{f(x): x \in [x_{j-1},x_j]} $$
\end{df}

\begin{df}
Riemannův integrál funkce $f$ s dělením na intervalu $[a,b]$ se definuje následovně:

$$ (R)\overline{\int_a^b} f(x)\:dx = \inf\mnz{S(f,D):\ D\dots\text{dělení }[a,b]} \dots \text{horní integrál} $$
$$ (R)\underline{\int_a^b} f(x)\:dx = \sup\mnz{s(f,D):\ D\dots\text{dělení }[a,b]} \dots \text{dolní integrál} $$
\end{df}

\begin{df}
Pokud platí, že $\overline{\int_a^b}f = \underline{\int_a^b}f$, tak řekneme, že $f$ je na $[a,b]$ Riemannovsky integrovatelná, tedy $f \in R[a,b]$ a definuje se jako
$$ (R)\int_a^b f(x)\:dx = (R)\overline{\int_a^b} f(x)\:dx $$
\end{df}

\begin{veta}[O zjemnění dělení]
\label{v_zjemneni}
Mějme $f$ omezenou na $[a,b]$ a $D' \supseteq D$ dělení $[a,b]$. Potom platí následující:

$$ s(f,D) \leq s(f,D') \leq S(f,D') \leq S(f,D) $$
\end{veta}

\begin{proof}
Druhá nerovnost platí triviálně jelikož platí, že $\inf(\dots) \leq \sup(\dots)$.

Ukážeme si, jak na první nerovnost. Definujeme si $D' = D \cup \mnz N$, nechť $N \in [x_{i-1},x_i]$. 

Tato nerovnost platí, protože infimum intervalu $[x_{i-1},x_i]$ je nejvýše tak velké, jako infima na intervalech $[x_{i-1},N]$ a $[N,x_i]$.

Budeme tedy postupovat matematickou indukcí. Nyní si dělení $D'$ rozložíme na $D_0=D \subseteq D_1 \subseteq D_2 \subseteq \dots \subseteq D_k = D'$ tak, aby platilo $|D_i\setminus D_{i-1}|=1$. Již víme, že $s(f,D_{i-1}) \leq s(f,D_i)$. Takto se postupuje přes všechny $D_i$ až po $D'$.

Poslední nerovnost analogicky.
\end{proof}

\begin{veta}[O dvou děleních]

Mějme $f$ omezenou na $[a,b]$ a $D_1, D_2$ dělení $[a,b]$. Potom platí následující:
$$ s(f,D_1) \leq S(f,D_2) $$
\end{veta}

\begin{proof}
Zavedeme si \uv{Společné} zjemnění $D = D_1 \cup D_2$. Podle věty \ref{v_zjemneni} dostaneme, že
$ s(f,D_1) \leq s(f,D) \leq S(f,D) \leq S(f,D_2) $.
\end{proof}

\begin{df}
\emph{Norma dělení $D$} je $\nu(D) = \max\mnz{|x_j-x_{j-1}|: j=1,\dotsc,n}$
\end{df}

\begin{veta}[O aproximaci R. integrálu]

Mějme $f$ omezenou na $[a,b]$ a $D_n$ dělení $[a,b]$ takové, že $\nu(D_n) \to 0$. Pak

$$ (R)\underline{\int_a^b}f = \sup\mnz{S(f,D_n): n \in \mathbb N} $$
$$ (R)\overline{\int_a^b}f = \inf\mnz{S(f,D_n): n \in \mathbb N} $$

Speciálně, pokud $\lim_{n\to\infty} S(f,D_n) =\lim_{n\to\infty} s(f,D_n) = A $, potom je funkce R. integrovatelná a $(R)\int_a^b f = A$.
\end{veta}

\begin{pr}
Vezměme si $f(x) = x^2$ a interval $[a,b] = [0,1]$. Dělení $D_n$ bude uniformní s krokem $\frac 1 n$, tedy $\nu(D_n) = \frac 1 n$. Potom $x_j = \frac j n (j=0,\dotsc,n)$.

Potom horní součet je $S(f,D_n) = \sum_{j=1}^n |x_j - x_{j-1}| \sup(f) = \sum \frac 1 n f(\frac j n) = \frac 1{n^3} \sum_{j=1}^n j^2 = \frac 1{n^3} \frac{n(n+\frac 1 2)(n+1)}3 \to \frac 1 3$. Dolní součet vyjde analogicky stejně, tedy $\int_0^1 x^2 = \frac 1 3$.
\end{pr}

\begin{veta}[Kritérium R. integrovatelnosti]
Mějme $f$ omezenou na $[a,b]$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item $f \in R[a,b]$
\item $\forall \varepsilon > 0 \exists D\dots$ dělení $[a,b]$ takové, že $S(f,D)-s(f,D) < \varepsilon$.
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof}
Nejprve $1 \Rightarrow 2$. Víme, že $A = \int f = \underline{\int} f = \overline{\int} f$. Poté $\exists D_1: s(f,D_1) > A-\frac\varepsilon 2$ a $\exists D_2: S(f,D_2) < A+\frac\varepsilon 2$.

Dále si vezmeme $D = D_1 \cup D_2$. Pro něj poté platí $A-\frac\varepsilon 2 < s(f,D_1) \leq s(f,D) \leq S(f,D) \leq S(f,D_2) < A+\frac\varepsilon 2$. Z toho nakonec dostaneme $S(f,D)-s(f,D) < (A+\frac\varepsilon 2) - A-\frac\varepsilon 2 = \varepsilon$, čímž máme implikovanou 2.

Nyní ukážeme $\neg 1 \Rightarrow \neg 2$. Aby 1 neplatila, musí platit $B = \rintd f > \rinth f = C$ nebo $B = \rintd f < \rinth f = C$.

Vezměme si první případ. Dostáváme následující tvrzení: $\exists D_1: s(F,d_1) > B - \alpha$ a $\exists D_2: S(F,d_1) < C + \alpha$. Pokud si vezmeme $\alpha=\frac{B-C}2$, dostaneme $S(f,D_2) < s(f,D_1)$, spor.

Nyní druhý případ. Víme, že $\forall D$ platí výrazy $\sup(s(f,D)) \geq s(f,D)$ a $\inf(S(f,D)) \leq S(f,D)$. Zvolme si $\varepsilon = \rinth f - \rintd f$. Pak dostaneme $S(f,D)-s(f,D) \geq \rinth f - \rintd f = \varepsilon$. A toto již implikuje negaci 2.
\end{proof}

\begin{veta}[Monotonie a R. integrovatelnost]
Mějme $f$ omezenou a monotónní na $[a,b]$. Potom $f \in R[a,b]$.
\end{veta}

\begin{proof}
Užijeme předchozí větu, tedy $\forall \varepsilon > 0 \exists D \dots$. Zvolíme si $D_n = \mnz{x_j = a + \frac{b-a}{n}j: j = 0,\dotsc,n}$. Potom dostaneme $ S(f,D_n) - s(f,D_n) = \sum_{j=1}^n |x_j - x_{j-1}|(\sup_j f - \inf_j f) $.

Nechť je $f$ BÚNO neklesající. Po dosazení $D_n$ máme rovnost $\frac{b-a}{n} \sum_{j=1}^n (f(x_j) - f(x_{j-1})) = \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}$. Tedy $\forall \varepsilon > 0 \exists n: \frac{\text{const.}}{n} < \varepsilon$. Proto monotónní funkce je R. integrovatelná.
\end{proof}

\begin{df}
Mějme funkci $f$, pro kterou platí: $\forall \varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x,y \in [a,b]\ |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$, kde $\delta$ závisí pouze na $\varepsilon$. Potom $f$ je \emph{stejnoměrně spojitá} na $[a,b]$.
\end{df}

Každá stejnoměrně spojitá funkce je také spojitá. Obecně to ale platí naopak, pokud interval $[a,b]$ je uzavřený.

\begin{veta}[Vztah spojitosti a R. integrálu]
\label{v_r_int_vztah_spoj}
Pokud funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$, potom $f \in R[a,b]$.
\end{veta}

\begin{proof}
Víme, že $\forall y \in [a,b]\ \forall \varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x \in [a,b]\ |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$, tedy $f$ je na $[a,b]$ spojitá.

Užijeme definici stejnoměrné spojitosti na intervalu $[a,b]$. Dostaneme $\varepsilon > 0$, hledáme dělení $D$. Zavedeme si $\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{b-a}$. Poté najdeme $\delta > 0$ takové, že $\forall x,y \in [a,b]:\ |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon'$. D je libovolné dělení, kde $\nu(D) < \delta, D = \mnz{x_0,x_1,\dotsc,x_n}$

Funkce $f$ na intervalech $[x_{j-1},x_j]$ nabývá extrémů, tedy minimum v bodě $d_j$ a maximum v $h_j$. Nyní se~podíváme, jak vypadá rozdíl horního a dolního součtu.

$ S(f,D)- s(f,D) = \sum_{j=1}^n f(h_j)(x_j-x_{j-1}) - \sum_{j=1}^n f(d_j)(x_j-x_{j-1}) = \sum_{j=1}^n (f(h_j)-f(d_j))(x_j-x_{j-1}) $. První člen je menší, než $\varepsilon'$, neboť $h_j-d_j \leq x_j-x_{j-1} \leq \nu(D) \leq \delta$.

Proto platí: $ S(f,D)- s(f,D) < \varepsilon' \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1}) = \varepsilon' (b-a) = \varepsilon$.
\end{proof}

\begin{veta}[Vlastnosti R. integrálu]
Následující vlastnosti platí:

\begin{description}
\item{Linearita.} $f,g \in R[a,b], \alpha \in \R$. Potom $\rint_a^b(f+g) = \rint_a^b f + \rint_a^b g$ a $\rint_a^b \alpha f = \alpha \rint_a^b f$.

\item{Monotonie.} $f \leq g, f,g \in R[a,b]$. Potom $\rint_a^b f \leq \rint_a^b g$.

\item{Aditivita vzhledem k intervalu.} $a<b<c$. Potom $\rint_a^c = \rint_a^b + \rint_b^c$
\end{description}
\end{veta}

Podívejme se, jak se hodnota integrálu, tedy plocha pod křivkou, změní, pokud spojitě budeme měnit $b$.

\begin{veta}[Derivace R. integrálu podle horní meze]
\label{v_r_int_der}
Mějme neprázdný otevřený interval $J$, a funkci $f: J \to \R$. Dále nechť platí pro $\forall \alpha < \beta \in J:\ f \in R[\alpha,\beta]$ a $c \in J$. Dále ještě platí, že pro $\forall x \in J$
$$
F(x) = \begin{cases}
\rint_c^x f & (x \geq c) \\
-\rint_x^c f & (x \leq c)
\end{cases}
$$

Potom platí následující:
\begin{enumerate}
\item $F$ je spojitá na $J$

\item $f$ je spojitá v $x_0 \in J \Rightarrow F'(x_0) = f(x_0)$
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{pr}
Mějme interval $J=(0,1), f(x) = \frac 1 x$. Poté platí $\forall \alpha < \beta \in (0,1) f \in R[\alpha,\beta]$, avšak neplatí integrovatelnost v okrajích $J$, tedy $f \notin R[0,1]$
\end{pr}

\begin{proof}
Vezměme si bod $x_0 \in J$. Chceme ukázat, že $F$ je v bodě $x_0$ spojitá. BÚNO předpokládejme $x_0>c$.

Zvolme nějaké $\alpha < x_0 < \beta$, kde $\alpha,\beta \in J$. Potom $f \in R[\alpha,\beta] \Rightarrow f$ je omezená na $[\alpha,\beta]$. Tedy $\exists M \in \R^+$ takové, že $-M \leq f(x) \leq M$.

Chceme pro $\varepsilon > 0$ najít $\delta > 0$ tak, aby $|x-x_0| \leq \delta \Rightarrow |F(x)-F(x_0)| \leq \varepsilon$. Pro $x_0 < x$ platí $|F(x)-F(x_0)| = |\rint_{x_0}^x f| \leq M(x-x_0)$. Stačí volit $\delta = \frac \varepsilon M$. Potom je rozdíl menší, než $M\delta = \varepsilon$.

Nyní chceme dokázat druhou vlastnost. Víme $\forall \eps > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in J |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \eps$. Nebo také jinak $f(x_0)-\eps < f(x_0) < f(x_0)+\eps$

Chceme, aby platilo $F'_+(x_0) = \lim_{x\to x_{0+}} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_{0+}} \frac{\rint_{x_0}^x f}{x-x_0}$. Pro $\varepsilon > 0$ najdeme $\delta > 0$ tak, že pro $x \in (x_0,x_0-\delta)$ platí nerovnost $f(x_0) - \varepsilon < \frac{\rint_{x_0}^x f}{x-x_0} < f(x_0) + \varepsilon$.

Tím jsme přímo z definice ověřili to, že naše hledaná limita se rovná $f(x_0)$.
\end{proof}

\begin{ds}
\begin{veta}[Vztah spojitosti a existence primitivní funkce]
Mějme $J$ neprázdný otevřený interval, a $f$ spojitá na $J$. Potom $f$ má na $J$ primitivní funkcí.
\end{veta}
\end{ds}

\begin{proof}
Užijeme větu \ref{v_r_int_der}:

$ \forall \alpha < \beta \in J: f$ je spojitá na $[a,b]$, tedy podle věty \ref{v_r_int_vztah_spoj} je $f \in R[\alpha,\beta]$. Definujme $F: J \to \R$ stejně, jako ve~větě \ref{v_r_int_der}. Nahlédneme, že podmínky této věty platí.
\end{proof}

\begin{ds}
\begin{veta}
Mějme $f$ spojitou na $[\alpha,\beta]$, $\alpha,\beta \in \R$. Potom:

$$ \rint_\alpha^\beta f = [F]_\alpha^\beta = F(\beta_-) - F(\alpha_+) $$

kde $F$ je \emph{primitivní funkce} k $f$ na $(\alpha,\beta)$.
\end{veta}
\end{ds}

\subsection{Aplikace integrálu}

\begin{enumerate}
\item Vypočítání plochy pod křivkou. Tedy máme $f: [a,b] \to \R_0^+$ a plochou křivky se myslí obsah množiny $\mnz{(x,y) \in \R^2: 0 \leq y \leq f(x)}$ je $\rint_a^b f = \text{\scriptsize (N)}\int_a^b f$.

\item Vypočítání délky křivky danou funkcí.
\begin{df}
Mějme spojitou funkci $f: [a,b] \to \R$ a dělení $D[a,b]$. Potom
$$L(f,D) = \sum_{j=1}^n \sqrt{(x_j-x_{j-1})^2+(f(x_j) - f(x_{j-1}))^2}$$
je délka lomené čáry aproximující křivku $f$ a $L(f) = \sup\mnz{L(f,D)}$ je délka křivky.
\end{df}

\begin{veta}[Délka křivky]
Nechť $f$ má na $[a,b]$ spojitou první derivaci. Potom
$$L(f,[a,b]) = \int_a^b\sqrt{1+f'^2} $$
\end{veta}

\begin{veta}[Délka křivky v $\R^n$]
Mějme spojitou funkci $\varphi: [a,b] \to \R^n$ se spojitou první derivací. Délka křivky $\mnz{\varphi(x): x \in [a,b]}$ je potom
$$ \int_a^b \sqrt{\varphi_1'(x)^2+\varphi_2'(x)^2+\dotsb+\varphi_n'(x)^2}\:dx $$
\end{veta}

\item Výpočet objemu a povrchu rotačního tělesa daného křivkou.

\begin{veta}
Mějme $f: [a,b] \to R$ spojitou a nezápornou a množinu
$ T = \mnz{(x,y,z) \in \R^3: x \in [a,b], \sqrt{y^2+z^2} \leq f(x)} $
všech bodů rotačního tělesa daného křivkou $f(x)$. Pak platí:

Objem $T = \pi \int_a^b f^2 $

Povrch $T = 2\pi \int_a^b f\sqrt{1+f'^2}$ bez podstavy, pokud je $f'$ spojitá.
\end{veta}

\item Možnost odhadování součtu funkčních hodnot pomocí integrálů.

\begin{veta}[aproximace součtů pomoci integrálů]
Mějme $f$ nerostoucí na intervalu $[a-1,b]$ (respektive $[a,b+1]$) a na tomto intervalu existuje R. integrál. Potom
$$ \int_a^{b+1} f \leq \sum_{k=a}^b f(k) \leq \int_{a-1}^b f $$
Pokud je $f$ neklesající, platí opačná nerovnost.
\end{veta}

\begin{proof}
Integrál $\rint_a^{b+1} f$ má horní součet pro dělení $D=\mnz{a,a+1,\dotsc,b+1}$ rovný $S(f,D) = \sum_{k=a}^b f(k)$. Z toho tedy vyplývá $S(f,D) \leq \int_a^{b+1} f$.

Opačná nerovnost analogicky.
\end{proof}
\end{enumerate}

Nyní si ukážeme souvislost konvergencí řad a integrálů.

\begin{veta}[Integrální kritérium konvergence řady]
Mějme $f$ nerostoucí, nezápornou a spojitou na intervalu $[n_0-1,\infty]$, potom
$$ \sum_{n=1}^\infty f(n) \text{ konverguje} \Leftrightarrow \exists n_0 \int_{n_0-1}^\infty f(x)\:dx < \infty $$
\end{veta}

\emph{Bez důkazu.}

Tato suma je vlastně spodní součet funkce $f(n)$ pro rovnoměrné dělení $D={n_0-1,n_0,n_0+1,\dotsc,\infty}$.

\begin{pr}
Mějme sumu $\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^\alpha}$ a chceme vědět, kdy konverguje. K tomu využijeme integrály. Dostáváme integrál $\int_0^\infty \frac 1 {n^\alpha}$. Primitivní funkce pro $\alpha=1$ je $[\log x]_0^\infty=\infty$, tedy řada nekonverguje. Pro $\alpha \neq 1$ dostáváme primitivní funkci $[\frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}]=\lim_{x\to\infty} \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}-\frac 1 {1-\alpha}$. Tato limita je rovná 0 pro $\alpha>1$, $\infty$ pro $\alpha<1$.

Tedy tato suma konverguje právě pro $\alpha>1$.
\end{pr}

\begin{pr}
Mějme funkci $I_n = \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x\:dx$. Potom:

$I_0 = \int_0^{\frac \pi 2} 1 = \frac \pi 2$

$I_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x = [-\cos x]_0^{\frac \pi 2} = 1$

$I_n = \int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n-1} x - \sin x\:dx = [sin^{n-1}x (-\cos x)]_0^{\frac \pi 2}-
\int_0^{\frac \pi 2} (n-1)\sin^{n-2} x - \cos x\:dx = \dots = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$

Po vyřešení této rekurence dostaneme zajímavý vztah:

$I_{2n} = \frac{(2n-1)!!}{2n!!} \frac{\pi}2, I_{2n+1} = \dots \in \mathbb Q$

Wallisova formule: $\frac{\pi}2 = \prod_{n=1}^\infty \frac{4n^2}{4n^2-1}$
\end{pr}

\section{Funkce více proměnných}

Podívejme se na vektorové prostory a také na normy, tedy zobrazení z VP do $\R$, které splňuje trojúhelníkovou nerovnost. Vektorový prostor s normou se také nazývá \emph{normovaný lineární prostor}.

Vezměme si normy na $\R^n$: maximová norma $\|x\|_\infty$ a eukleidovská norma $\|x\|_2$

\begin{df}
\emph{Úplné okolí} $U(a,\eps)$ definujeme jako $\mnz{x \in V: \|x-a\| < \eps}$.

\emph{Prstencové okolí} $P(a,\eps)$ definujeme jako $U(a,\eps)\setminus\mnz{a}$ 
\end{df}

\begin{eye}
$\forall x \in \R^n: \|x\|_\infty \leq \|x\|_p \leq \sqrt[p]{n}\|x\|$
\end{eye}

\begin{proof}
$|x_j| = \sqrt[p]{|x_j|^p} \leq \sqrt[p]{\sum|x_i|^p} \leq \sqrt[P]{n\cdot(\|x\|_\infty)^p} = \sqrt[p]n \|x\|_\infty$
\end{proof}

\begin{df}
Mějme $x_n$ posloupnost bodů ve VP $(V,\|\cdot\|)$, potom posloupnost $(x_n)$ má limitu $x \in V$, pokud $ \lim_{n\to\infty} \|x_n-x\| = 0 $. Píšeme $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ nebo $x_n\to x$
\end{df}

\begin{ds}
Pro každou posloupnost $(x_n)$ v $\R^d$ pro $\forall x \in \R^d$ platí:

$ x_n \to x $ v $(\R^d,\|\cdot\|_\infty) \Leftrightarrow x_n \to x $ v $(\R^d,\|\cdot\|_p)$
\end{ds}

\begin{proof}
Ukážeme na implikacích:

$0 \leq \|x_n-x\|_\infty \leq \|x_n-x\|_p \to 0$

$0 \leq \|x_n-x\|_p \leq \sqrt[p]d \|x_n-x\|_p (\to 0)$, podle věty o strážnicích konverguje.

\end{proof}

\begin{df}
Posloupnost $(v_n)$ je \emph{omezená} právě, když posloupnost $\|v_n\|$ je omezená.
\end{df}

\begin{veta}[Vlastnosti konvergence v $\R^d$] \rule{0pt}{0pt}

\begin{enumerate}
\item Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu

\item $v_n \to v \Rightarrow \|v_n\| \to \|v\|$

\item $v_n \to v \Rightarrow (v_n)$ je omezená

\item Pokud $v_n = \sum_{i=1}^d v_n^i b_i$ (pro libovolnou bázi) $b_1, \dotsc, b_d)$ a $v=\sum v^i b_i$, pak $v_n \to v \Leftarrow \forall i: v_n^i \to v^i$
\end{enumerate}

\begin{proof} \rule{0pt}{0pt}

\begin{enumerate}
\item Sporem: Nechť $v_n \to v$ a $v_n \to u \neq v$. Zvolme si tedy $\eps = \frac{\|u-v\|}2$. Podle definice limity máme pro $\eps: \exists n_1 \forall n>n_1: v_n \in U(v,\eps) \wedge \exists n_2 \forall n>n_2: v_n \in U(u,\eps) \Rightarrow \exists z \in U(u,\eps) \cap U(v,\eps)$. Toto ale je spor s~trojúhelníkovou nerovností, tedy $\|u-v\|\leq\|u-z\|+\|z-v\| < 2\eps < \|u-v\|$ a máme spor.

\item Podle trojúhelníkové nerovnosti máme $0 \leq \big| \|v\|-\|v_n\| \big| \leq \|v-v_n\| \to 0$ dle předpokladu, tudíž $\big| \|v\|-\|v_n\| \big| \to 0$, z toho $\|v_n\| \to \|v\|$.

\item Víme, že $v_n \to v$. Podle předchozího bodu platí $\|v_n\| \to \|v\|$, což podle věty ze zimního semestru implikuje, že posloupnost $(\|v_n\|)$ je omezená.

\item Pro jednoduchost jen pro kanonickou bázi. $v_n \to v$ odpovídá tomu, že $\|v_n-v\|_\infty \to 0$, což je $\max\mnz{|v_n^i-v^i|: i=1,\dotsc,n}$, tedy $i$-tá souřadnice. Z toho víme, že $|v_n^i-v^i| \to 0$ a proto $v_n^i \to v^i$. $v_n$ můžeme zapsat lineární kombinací $v^i$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\end{veta}

Nyní se podívejme na zobrazení z vektorového prostoru do jiného.

\begin{df}
Mějme zobrazení $f: D \subseteq \R^m \to \R^n$ (pro $n=1$ nazýváme \emph{funkcí $m$ proměnných}), dále $a \in \R^m, A \in \R^m$ s maximovou normou. Potom definujme limitu $f(x)$ v $a$ jako:

$$\lim_{x \to a} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \eps > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in P(a,\delta): f(x) \in U(A,\eps)$$
Také definujeme limitu $f(x)$ v $a$ vzhledem k množině $D$:
$$\lim_{(x \in D) \to a} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \eps > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in P(a,\delta) \cap D: f(x) \in U(A,\eps)$$
\end{df}

\begin{pr}
Vezměme si funkci $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$. Tato funkce má $D = \R^2 \setminus\mnz{(0,0)}$ a velikosti prostorů $m=2, n=1$. Podívejme se na $\lim_{x \to (0,0)} f(x)$.

Všimneme si, že v daném bodě bude existovat nejvýše jedna limita.

Také si všimneme, že $\lim_{(x \in D) \to a} f(x) = A \Rightarrow \lim_{(x \in D' \subseteq D) \to a} f(x) = A$, pokud pro $D' \subseteq D$ platí $\forall \delta>0 P(a,\delta) \cap D' \neq \emptyset$

Zvolme si tedy $D' = \mnz{(x,y): x=y}$, potom $\lim_{(x,y) \to 0} \frac{x^2}{2x^2}=\frac 12$.

Nyní si zvolme $D'' = \mnz{(x,y): x=-y}$. Tím získáváme $\lim_{(x,y) \to 0} \frac{-x^2}{2x^2}=-\frac 12$.

Toto ale znamená, že limita pro danou funkci $f$ neexistuje.
\end{pr}

% Vezměme si zobrazení $f(a) = (f^1(a),f^2(a),\dotsc,f^n(a))$. Potom z toho můžeme zpozorovat, že zobrazení $f: D \subseteq \R^m \to \R^n$ a pro limitu platí $\lim_{x \to a} f = A \Leftrightarrow lim_{x \to a}$

Pro limity zobrazení platí obdoby vět o limitách funkcí z $\R \to \R$, a to konkrétně věty o aritmetice limit, věta o strážnicích, Heineho věta a věta o limitě složené funkce.

\subsection{Derivace}

\begin{df}
Mějme zobrazení $f: D \subseteq \R^m \to \R^n$ a $a \in D$. Potom \emph{Parciální derivace} $f$ v bodě $a$ podle $i$-té proměnné je
$$ \frac{\partial f(a)}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f_i(a+h)-f(a)}{h} = f_i'(a) = ({f^1}'_i(a),\dotsc,{f^n}'_i(a)), $$
kde $f_i(t) = f(a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1},t,a_{i+1},\dotsc,a_m)$, tedy nahradíme $i$-tou složku.
\end{df}

V podstatě si můžeme představit, že $f_i$ je řezem daného zobrazení podle $i$-té souřadnice a tato derivace funguje právě na tomto řezu.

\begin{pr}
Mějme funkci $f(x,y) = xy^2$. Potom parciální derivace vypadají následovně: $\frac{\partial f}{\partial x} = f_x' = y^2$, $\frac{\partial f}{\partial y} f_y' = 2xy$. V tomto případě je $a = (x,y)$.
\end{pr}

\begin{pr}
Mějme zobrazení $g: \R \to \R^3$, které nám zobrazí $t \to (t,t^2,t^3)$. Potom zobrazení $g = (g^1,g^2,g^3)$. V~tomto případě máme, že $g^j(t) = t^j$. Potom dostaneme derivaci $(g^j)' = jt^{j-1}$. Tedy derivace tohoto zobrazení je $g'(t) = (1,2t,3t^2)$.
\end{pr}

\begin{df}
Mějme funkci $f: D \subseteq \R^m \to \R, a \in D$. Potom $f$ má v $a$ \emph{lokální minimum}, právě když
$$ \exists \delta > 0: \forall x \in D \cap P(a,\delta): f(x) \geq f(a) $$

\emph{Lokální maximum} analogicky.
\end{df}

\begin{veta}[Nutná podmínka pro lokální extrém]
\label{v_extremy}
Pokud má funkce $f$ má v $a$ lokální extrém, potom platí jedna z podmínek:
\begin{enumerate}
\item $\forall i = 1,\dotsc,m: \frac{\partial f(a)}{\partial x_i} = 0$ nebo neexistuje

\item bod $a$ je na okraji $D$, to znamená $\forall \delta > 0: D \nsupseteq U(a,\delta)$.
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof}
Pokud platí, že $a$ je na okraji, je vše v pořádku. Pokud ne, potom $\exists \delta > 0: D \supseteq U(a,\delta)$. Tak zafixujeme $\delta$. (Předpokládáme, že toto okolí existuje.)

Máme $a \in D$. Podíváme se na okolí pro maximovou normu: Na $D \cap \prod_{i=1}^m (a_i-\delta,a_i+\delta)$ má $f$ v $a$ extrém, potom na $(a_i-\delta,a_i+\delta)$ má $f_i$ extrém v $a_i$.

Potom podle nutné podmínky pro lokální extrém funkce jedné proměnné dostaneme, že $f_i'(a_i) = 0$ nebo neexistuje, nebo $a_i$ je na kraji definičního oboru (toto nelze, jelikož $D_{f_i} \subseteq U(a_i,\delta)$).
\end{proof}

\begin{pr}
Mějme funkci $f(x,y) = xy^2$, kde $D = [-1,1]^2$. Podívejme se na lokální extrémy.

Podle první podmínky musí platit $f_x' = f_y' = 0$. To platí, když $y=0$. Podle druhé podmínky jsou lokální extrémy na okrajích, tedy $|x| = 1 \vee |y| = 1$.

Naopak, v bodě $(0,\frac 12)$ není extrém, jelikož $f_x' \neq 0$. Stejně tak bod $(0,0)$ není extrém.
\end{pr}

Jsou tu ale takové potíže věty \ref{v_extremy}. Tím, jak se díváme pouze na parciální derivace, pozorujeme pouze $m$~\uv{paprsků}, mimo tyto derivace se může funkce chovat všelijak divoce. Tim pádem vždy ten extrém nemůžeme určit jednoduše.

\begin{df}
Mějme $f: D \subseteq \R^m \to \R$ a $a \in D$. Potom \emph{Druhá parciální derivace} je parciální derivace nějaké parciální derivace, konkrétně:

$$ \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) $$
\end{df}

\begin{pr}
Mějme funkci $f(x,y)$ a pro $|x|<|y|: f(x,y)=0$, pro $|x| \geq |y| = xy$. Potom parciální derivace
${\parcder{f}{y}(0,0) = 0}$, $\parcder{f}{y}(x,0) = x$. Druhá parciální derivace $\parcder{}{x}\parcder{f}{y}(0,0) = \parcder{}{x}(x) = 1$. Ale kdybychom to udělali v jiném pořadí, dostaneme $\parcder{}{y}\parcder{f}{x}(0,0)=0$.
\end{pr}

Pokud $\parcdder f{x_i}{x_j}$ i $\parcdder f{x_j}{x_i}$ jsou spojité v bodě $a$, tak $\parcdder{f(a)}{x_i}{x_j}=\parcdder{f(a)}{x_j}{x_i}$. Pokud $i \neq j$, potom se tato derivace nazývá smíšená.

\begin{df}
$D^2 f(a)$ je matice z $\R^{m \times m}$ taková, že
$$ (D^2 f(a))_{i,j} = \parcdder{f(a)}{x_i}{x_j}. $$
\end{df}

\begin{df} Matice $A$ je \emph{pozitivně definitní} právě, když jsou její vlastní čísla kladná. Podobně je $A$ \emph{negativně definitní} právě, když jsou její vlastní čísla záporná. Nebo matice $A$ je \emph{indefinitní} právě, když existuje dvojice vlastních čísel, kde je jedno kladné a jiné záporné.
\end{df}

\begin{veta}[Postačující podmínka pro extrém]
Mějme $f: D \subseteq \R^m \to \R$, $a$~je uvnitř $D$ ($\exists \delta>0 : U(a,\delta) \subseteq D$ a dále platí, že $\parcdder{f}{x_i}{x_j}$ je spojité v $a$, a $\parcder{f(a)}{x_i} = 0$, ($a$ je podezřelý z extrému), potom:

\begin{enumerate}
\item Pokud $D^2 f(n)$ je pozitivně definitní, pak $f$ v $a$ nabývá lokálního minima.
\item Pokud $D^2 f(n)$ je negativně definitní, pak $f$ v $a$ nabývá lokálního maxima.
\item Pokud $D^2 f(n)$ je indefinitní, pak $f$ v $a$ není lokální extrém.
\end{enumerate}
\end{veta}

Tato matice $D^2$ se nazývá Hessova matice $H$.

\begin{pr}
Vezměme si funkci $f(x)=x_1, \R^n \to \R$. Na $\R^n$ nemá globální extrémy, na $(0,1)^n$ (otevřená krychle) taky nemá extrémy.
\end{pr}

\begin{veta*}
Mějme $f: D \subseteq \R^n \to \R$, která je na $D$ spojitá a $D$ je kompaktní. Potom $f$ nabývá na $D$ maxima a minima.
\end{veta*}

\begin{df}
\emph{Kompaktní množina} je taková, že je uzavřená a omezená.

Omezenost množiny $D$ se definuje tak, že $\exists M: D \subseteq [-M,M]^n$.

Uzavřenost množiny znamená, že pro každou posloupnost $x_i$ v $D$, která má $\lim_{n\to\infty} x_n = x$, potom $x \in D$.
\end{df}

\begin{pr}
Vezměme si uzavřený kvádr $[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \dots = \prod{i=1}^n[a_i,b_i]$. Ten je kompaktní.
\end{pr}

\begin{pr}
Pro $P \subseteq \R$ uzavřenou mějme $f: D \subseteq \R^m \to \R$ spojitou. Potom $f^{-1}(P)$ je uzavřená.

Mějme funkci $f(x_1,\dotsc,x_m) = \sum x_i^2$. Tato funkce je spojitá. Inverzní zobrazení $f^{-1}(\mnz{1})$ je jednotková sféra, inverze $f^{-1}([0,1])$ je jednotková koule. Obojí je kompaktní.
\end{pr}

\begin{df}
Mějme funkci $f: D \subseteq \R^m \to \R^n$. Bod $a$ je uvnitř $D$, tedy $\exists \delta > 0: U(a,\delta) \subseteq D$. Nechť $L: \R^m \to \R^n$ splňuje $f(a+h) \doteq f(a) + L(h)$, tedy:
$$ \lim_{(h \in \R^n) \to 0} \frac{\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|}{\|h\|} = 0 \Leftrightarrow f(a+h)-f(a)=L(h)+o(\|h\|) $$

Potom $L$ je \emph{totální diferenciál} $f$ v $a$ a píšeme $L = df(a) = Df(a)$.
\end{df}

Zatím jsme si ukázali, jak parciálně derivovat podle proměnné, tedy podle vektoru kanonické báze. Nyní si zobecníme derivaci podle jakéhokoliv vektoru.

\begin{df}
Mějme funkci $f: D \subseteq \R^m \to \R^n$, $a$ uvnitř $D$ a $v \in \R^m$. Potom derivace $f$ v $a$ ve směru $v$ je
$$ d_v f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t} = g'(0) $$
\end{df}

\begin{veta}[Souvislosti různých derivací]\rule{0pt}{0pt}

\begin{enumerate}
\item $d_{e_i} f(a) = \parcder{f}{x_i}(a)$.

\item $d_v f(a) = df(a)(v)$ MLPSS, kde $df$ je lineární zobrazení.

\item $df(a)(e_i) = \parcder{f(a)}{x_i} \dots df(a)$ je jednoznačně určeno, pokud $df(a)$ existuje.

\item $df(a)$ má matici $\left( \parcder{f^i}{x_j} \right)^{n,m}_{i=1,j=1}$
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof}Ukážeme jednotlivá tvrzení:

\begin{enumerate}
\item Z definice $f(a+te_i) = f(a_1,\dotsc,a_{i-1},a_i+t,a_{i+1},\dotsc,a_m) = \parcder{f}{x_i}$.

\item Nechť existuje $df(a)$. Potom $\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|}{\|h\|} = 0$.  Speciálně pro $h=tv$, kde $t \in \R, t \to 0$ dostaneme $\lim_{t \to 0}\frac{\|f(a+tv)-f(a)-tL(v)\|}{|t|\cdot\|v\|}$. Z té se dá zkrátit $|t|$ a máme $\lim_{t \to 0}\|\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-L(v)\|=0$. To je ekvivalentní s tím, že $\lim_{t \to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-L(v)=o$ a dozvíme se, že $d_v f(a) = L(v)$.

\item Plyne z předchozích dvou bodů pro $v = e_i$. Pokud $df(a)$ existuje, tak má dané hodnoty na kanonické bázi, tedy $df(a)$ je jednoznačná.

\item Z předchozího bodu, matice zobrazení vzhledem k bázím $e_i$, $e'_i$ má na pozici $(i,j)$ souřadnici $L(e_j)$ příslušející k $e'_i$.

Pro $L = df(a)$ víme, že $df(a)(e_j) = \parcder{f(a)}{x_j} = \left(\parcder{f^i(a)}{x_j}\right)_{i=1}^n$. Z toho vyplývá, že matice vypadá podle znění věty.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{pozn}
Díky této větě nyní víme, že $f(a+h) = f(a) + df(a)(h)$. Protože $df(a)$ je lineární zobrazení, můžeme jej nahradit jako $Jh$, kde $J$ je matice z věty.
\end{pozn}

\begin{df}
(Operátorová) norma lineárního zobrazení je definovaná jako $\norm{L} = \sup\mnz{\norm{L(u)} : \norm u \leq 1}$.

Je možno zavést více variant norem, například pro $p$-normy máme $\norm{L}_{p \to q} = \sup\mnz{\norm{L(u)}_q : \norm{u}_p \leq 1}$. Typicky bereme $p=q=2$.
\end{df}

\begin{eye}
$\norm{L(v)} \leq \norm L \cdot \norm v$.
\end{eye}

\begin{proof}
Vezměme si $u = \frac v{\norm v}$. Potom norma $\norm u = 1$. Z toho dostaneme, že $\norm{L(u)} \leq \norm L$. A tedy $L(u) = L\left( \frac v{\norm v} \right) = \frac{L(v)}{\norm v}$.
\end{proof}

\begin{eye}
Pro libovolné $L: \R^m \to \R^n$ lineární existuje $\norm L \in [0,\infty)$.
\end{eye}

\begin{proof}
Vezměme si vektor $u$ tak, že $\norm u \leq 1$. Potom $\forall j : |u_j| \leq 1$.

Dostaneme podle $i$-té složky: $|\sum_{j=1}^n L_{ij} u_j| \leq \sum |L_{ij}| |u_j| \leq \sum |u_j|$. Z toho dostaneme:

$ \norm{Lu} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^n |L_{ij}|)^2 } \in \R $.
\end{proof}

\begin{veta}[Totální diferenciál dává spojitost]
Nechť $f$ má v $a$ totální diferenciál. Pak je $f$ v $a$ spojitá.
\end{veta}

\begin{proof}
Ukážeme, že $\lim_{h \to 0} \fracnorm{f(a+h)-f(a)}{h} = 0$. Nadefinujeme si $L = df(a)$.

Máme výraz $0 \leq \norm{f(a+h)+f(a)-L(h)+L(h)} \leq \norm{f(a+h)+f(a)-L(h)} + \norm{L(h)}$. Z definice totálního diferenciálu ale víme, že $\fracnorm{f(a+h)+f(a)-L(h)}{h}\rightarrow 0$ pro $h\rightarrow 0$, a tedy pokud rozšíříme první sčítanec $\norm{h}$, tak i $\norm{h}\fracnorm{f(a+h)+f(a)-L(h)}{h}\rightarrow 0$. Také víme, že $\norm{L(h)} \leq \norm{L}\norm{h} \rightarrow 0$. Tedy $0 \leq \norm{f(a+h)-f(a)} \leq \norm h \cdot (\rightarrow 0) + \norm h \norm L$.

Podle věty o strážnících dostaneme, že se to celé rovná 0, tedy dokázáno.
\end{proof}

\begin{veta}[$C^1 \rightarrow$ totální diferenciál]
Pokud $f$ má parciální derivaci spojitou v $a$, tak $f$ má v $a$ totální diferenciál.
\end{veta}

\begin{pozn}
$C^n(D) = \mnz{f: D \to \R : n\text{-té parciální derivace spojité na }D}$

Speciálně, $C^0$ je množina spojitých funkcí na $D$.
\end{pozn}

Jak se dá totální diferenciál využít?

\begin{pr}
Spočtěme $1.1^{0.9}$.

Tento příklad si můžeme převést na funkci $f(x,y) = x^y$ a $f(1.1,0.9) = f(1,1) + L(0.1,-0.1) + \text{chyba}$, kde $L=df$.

Dostaneme, že $L(p,q) = \parcder{f(1,1)}{x} p + \parcder{f(1,1)}{y} q$. Pro konkrétní hodnoty dostaneme, že $L(1,1) = 1p + 0q$.

Získáváme přibližný výsledek $f(1,1) \doteq 1 + 0.1 \doteq 1.1 $. Kalkulačkou máme výsledek $\doteq 1.089$, tedy chyba je $\approx 0.01$.
\end{pr}

\begin{veta}[Aritmetika totálního diferenciálu]
Mějme $f,g: D \subseteq \R^m \to \R^n$, $a$ uvnitř $D$, $c \in \R$. Pak
\begin{enumerate}
\item $d(f+g)(a) = df(a) + dg(a)$ MLPSS
\item $d(cf)(a) = c \cdot df(a)$ MLPSS
\item $(n = 1): d(fg)(a) = g(a)\cdot df(a) + f(a)\cdot dg(a)$ MLPSS
\item $(n = 1, g(a) \neq 0): d(\frac fg)(a) = \frac{g(a)\cdot df(a) - f(a)\cdot dg(a)}{g^2(a)}$ MLPSS
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof}
Ukážeme pouze pro první bod.

Víme, že $f(a+h) = f(a) + L(h)_{=df(a)} + E(h)_{\to 0}$, stejně můžeme vyjádřit $g(a+h) = g(a) + M(h)_{=dg(a)} + F(h)_{\to 0}$.

Potom můžeme říct, že $(f+g)(a+h) = (f+g)(a) + (L+M)(h) + E(h) + F(h)$. Chceme, aby $d(f+g)(a) = L+M$. Naopak chceme, aby $E(h)+F(h)$ bylo dostatečně malé.

Z trojúhelníkové nerovnosti dostáváme $0 \leq \fracnorm{E(h)+F(h)}{h} \leq \fracnorm{E(h)}{h} + \fracnorm{F(h)}{h}$. Použitím věty o strážnících dostáváme, že $E(h)+F(h) \to 0$. Proto je opravdu $L+M(h) = d(f+g)(h)$.
\end{proof}

\begin{veta}[Totální diferenciál složeného zobrazení]
\label{v_df_slozena}
Mějme $\R^s \stackrel{g}{\to} \R^m \stackrel{f}{\to} \R^n$, $a$ uvnitř $\R^s$. Pak

$$ d(f \circ g)(a) = df(g(a)) \circ dg(a) $$
\end{veta}

Totální diferenciál odpovídá nějakému lineárnímu zobrazení, takže v tomto případě je složení pravé strany násobením matic.

\begin{proof}
Podle definice $g(a+h) = g(a) + M(h)_{=dg(a)} + F(h)_{\to 0}$.

Pro složenou funkci je $f(g(a)+k) = f(g(a))+L(k)_{=df(g(a))}+E(k)_{\to 0}$.

Nyní chceme, aby $f(g(a+h))_{= f \circ g(a+h)} = f(g(a))_{=f \circ g(a)} + LM(h)_{=d(f \circ g(a)} + G(h)_\text{malá chyba}$. Nyní si $f(g(a+h))$ aproximujeme podle definice: $f(g(a)+M(h)+F(h))$ a jako $k$ si vezmeme $k(h) = M(h)+F(h)$.

Všimneme si, že $\norm{M(h)+F(h)} \leq \norm{M(h)} + \norm{F(h)} \leq \norm M \cdot \norm h + \fracnorm{F(h)}{h} \cdot \norm h$. Z toho vyplývá, že $k \to 0$, když $h \to 0$.

Dostáváme, že $f(g(a)+M(h)+F(h)) = f(g(a)) + L \circ M(h) + [L(F(h)) + E(M(h) + F(h))]_{=G(h)}$. Zbývá ověřit, že $G(h)$ je malé:

$ 0 \leq \fracnorm{G(h)}{h} \leq \frac{\norm{L(F(h))}+\norm{E(M(h)+F(h))}}{\norm h} \leq \norm L \cdot \fracnorm{F(h)}{h} + \fracnorm{E(M(h)+F(h))}{M(h)+F(h)} \cdot \fracnorm{M(h)+F(h)}{h} = (\to 0) + (\to 0) \cdot \left(\frac{\norm M \cdot \norm h}{\norm h}_{=\text{const}.} + \fracnorm{F(h)}{h}_{\to 0}\right) $. Podle věty o strážnících to je tedy malé.
\end{proof}

Tento důkaz funguje jen v případě, že $g(a+h) \neq g(a) \forall h \in P(a,\delta)$, jinak je potřeba závěr udělat šíleněji.

\begin{veta}[Řetízkové pravidlo]
\label{v_retizky}
Pro funkci $f: \R^m \to \R$ platí:
$$ \parcder {f}{x_i}(g_1(x),\dotsc,g_m(x)) = \sum_{j=1}^m \parcder{f}{y_j}(g_1(x),\dotsc,g_m(x)) \cdot \parcder{g_j}{x_i}(x) \text{MLPSS} $$
\end{veta}

\begin{proof}
Víme, že $M = dg = \left( \parcder{g_j}{x_i} \right)_{j=1,i=1}^{m,s}$ a $L = df(g(x)) = \left( \parcder f{y_1},\dotsc, \parcder f{y_m} \right) $. Protože $LM$ je matice totálního diferenciálu $d(f \circ g)$, podle věty \ref{v_df_slozena} dostáváme, že $(LM)_{1,i} = \parcder{f}{x_i}(g_1(x),\dotsc,g_m(x))$ nebo můžeme roznásobit matice a dostaneme výraz na pravé straně z věty \ref{v_retizky}. 
\end{proof}

\begin{veta}[Přírůstek funkce více proměnných]
\label{v_prirustek_fvp}
Mějme $D \subseteq \R^m$ a úsečku $\overline{ab} \in D$. Potom

$$ \exists \psi \in \overline{ab} : f(b)-f(a) = df(\psi)(b-a) $$
\end{veta}

\begin{proof}
Zavedeme si funkci $g(t) = a + t(b-a)$, kde $a,b \in \R^m$. Potom $g:[0,1] \subseteq \R \to \overline{ab} \subseteq \R^m$.

Nyní si zavedeme $h(t) = f(g(t))$. Dostaneme, že $f(b)-f(a) = f(g(1))-f(g(0)) = h(1)-h(0) = h'(\nu)(1-0)$. Využijeme větu \ref{v_retizky} a máme $h(\nu) = (f\circ g)(\nu) = \parcder ht(\nu) = \sum_{j=1}^m \parcder{f}{x_j}(g(\nu))\cdot \parcder{g_j}{t}(\nu)$. Určíme si $\psi=g(\nu)$. Pokračujeme dále. $h(t) = \sum_{j=1}^m \parcder{f}{x_j}(\psi) (b_j-a_j) = df(\psi)(b-a)$.
\end{proof}

\begin{df}
\emph{Gradient} funkce $f: D \subseteq \R^m \to \R$ v $a \in D$ je $\nabla f(a) = $ vektor parciálních derivací $(\parcder f{x_1},\dotsc,\parcder f{x_m})^T$.
\end{df}

\begin{pozn}Platí, že:
\begin{enumerate}
\item $df(a)(h) = \langle \nabla F(a),h \rangle$, tedy skalární součin gradientu a vzoru.
\item Podle věty \ref{v_prirustek_fvp}: $f(b)-f(a) = \langle \nabla f(\psi),b-a \rangle$. Tedy gradient $f(a)$ míří směrem největšího růstu $f$.
\item Pro plochu $\mnz{(x,f(x)), x \in \R^m}$, kde $f: \R^m \to \R$ uvažme tečnou rovinu v bodě $(a,f(a))$. Normálový vektor této nadroviny je $n(a) = \left(\begin{smallmatrix} \nabla f(a)\\-1 \end{smallmatrix}\right) \in \R^{m+1} $.
\end{enumerate}
\end{pozn}

Gradient můžeme využít k tomu, abychom dokázali vypočítat minimum či maximum funkce numericky, a to tak, že se postupně pohybujeme proti/ve směru gradientu, dokud to je možné.

\subsection{Implicitně zadané funkce}

Vezměme si rovnici kružnice $x^2+y^2 - 1 = 0$. Potom grafem funkce je $\mnz{(x,y):f(x,y)=0}$.

Kdybychom tento graf chtěli zapsat funkcemi, museli bychom explicitně napsat rovnice grafu jako $y = \pm\sqrt{1-x^2}$ a speciální body $(\pm1,0)$.

\begin{df}
Mějme zobrazení $f: \R^m \times \R^n \to \R^n$. Potom zápis $\matparcder fy$ je matice $\matparcder{f_i}{y_j}_{i,j=1}^{n}$
\end{df}

\begin{veta}[O implicitní funkci]
\label{v_implicit_func}
Mějme $a \in \R^m, b \in \R^n$, úplné okolí $U = U((a,b),\eta)\ (\eta > 0)$ a zobrazení $f: U \to \R^n$ takové, že
\begin{enumerate}
\item $f(a,b) = 0$
\item $f \in C^k(U)$
\item $\det\left( \matparcder fy \right) \neq 0$
\end{enumerate}

Potom existuje $\delta,\Delta > 0$ taková, že
$$ \forall x \in U(a,\delta) \exists !y=g(x) \in U(b,\Delta): f(x,y) = 0 $$

Navíc funkce $g \in C^k(U(a,\delta))$ a speciálně $\parcder gx = -\matparcder fy^{-1}\cdot\matparcder fx$.

Speciálně pro $n=1$ dostáváme:

$$ \parcder g{x_i} = -\frac{\parcder{f}{x_i}}{\parcder fy} $$
\end{veta}

\begin{proof}
Ukážeme jen pro $n=1$.

Podmínka 3 platí, číslo $\parcder fy(a,b) \neq 0$, BÚNO nechť je kladné. Z podmínky 2 dostaneme, že $\exists V \dots \text{ okolí } (a,b) : \parcder fy > 0 \in V$.

Zavedeme si nyní $F(t) = f(a,b+t)$, tedy funkci proměnné $t$, potom $F'(t) > 0$. Z toho vyplývá, že $\exists \Delta > 0 : f(a,b-\Delta) < 0 = f(a,b) < f(a,b+\Delta)$ na ${ U \cap V}$.

Ze spojitosti funkce $f(x,b+\Delta)$ v okolí $x=a$ \\ $\exists \delta_+ > 0: \forall x \in U(a,\delta_+): f(x,b+\Delta) > 0$. Analogicky \\ $\exists \delta_- > 0: \forall x \in U(a,\delta_-): f(x,b-\Delta)<0$.

Nyní si zvolme $\delta = \min\mnz{\delta_-,\delta_+}$. Pro $x \in U(a,\delta)$ uvážíme $F(t) = f(x,b+t)$. O té víme, že je spojitá, rostoucí a $F(-\Delta)<0<F(\Delta)$. Využijeme větu o nabývání mezihodnot, proto $\exists t: F(t) = 0)$. Z monotónnosti funkce získáváme jednoznačně určené $t$ a $g(x)=y=b+t$.

Část věty, kde $g \in C^k$ vynecháme.

Nyní si vezmeme funkci $h(x) = f(x,g(x))$. Víme, že $h(x) = 0\; \forall x \in U(a,\delta)$. Potom podle řetízkového pravidla dostaneme $\forall i \in 1,\dotsc,m: 0 = \parcder h{x_i} = \parcder f{x_i} + \parcder fy \cdot \parcder g{x_i}$. Odečteme a vydělíme a dostaneme hledaný zlomek.
\end{proof}

\subsection{Vázané extrémy}

Naším cílem je hledat extrémy nějakého zobrazení $f(x)$ na nějaké omezené množině $\mnz{x : g(x) = 0}$.

\begin{pr}
Mějme $g(x_1,x_2) = x_1^2+x_2^2 - 1$. Šlo by zvolit $x_2 = \sqrt{1-x^2}$. Potom bychom hledali extrémy na funkci $f(x_1,\sqrt{1-x_1^2})$ a $f(x_1,-\sqrt{1-x_1^2})$. Na bodech $(\pm1,0)$ se ale nic nedozvíme.

Další možnost by bylo využití goniometrických funkcí: $x_1 = \cos t$, $x_2 = \sin t$. Potom bychom hledali extrémy na $f(\cos t, \sin t)$.
\end{pr}

\begin{veta}[Vázané extrémy / Lagrangeovy multiplikátory]\rule{0pt}{0pt}
\label{v_vazane_ex}

Mějme funkci $f: \R^n \to \R$, $a \in R^n$, $g: \R^n \to \R^k (k < n)$ taková, že $g \in C^1$ v okolí $a$, dále $\mathrm{rank} \matparcder gx = k$.

Pokud $a$ je lokální extrém na množině $\mnz{x \in \R^n : g(x) = o}$, potom platí:
\begin{enumerate}
\item $g(a) = o$
\item $\exists \lambda_1, \dotsc, \lambda_k : \nabla f(a) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \nabla g^i(a)$.

Speciálně pro $k=1$ dostáváme $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$.
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof}
Jen pro $k=1$.

Prozkoumáme $f$ na množině $\mnz{g(x) = 0}$. Vyjádřeme $x_n = h(x_1,\dotsc,x_{n-1})$ tak, že $g(x_1,\dotsc,x_{n-1},h) = 0$. Zkoumáme $f(x', h(x'))$ bez omezení.

Potom víme, že $\mathrm{rank \left( \parcder g{x_1}(a), \dotsc, \parcder g{x_n}(a) \right)} = 1$, tedy alespoň jedna derivace je nenulová. BÚNO $\parcder g{x_n}(a) \neq 0$.

Dále víme, že $g \in C^1, g(a) = 0, \parcder g{x_n}(a) \neq 0 \Rightarrow \exists \delta,\Delta: \exists h: U(a',\delta) \to U(a_n,\Delta)$.

Na $U(a) \cup \mnz{g(x) = 0}$ je $a$ lokální extrém právě, když $a'=(a_1,\dotsc,a_{n-1})$ je lokální extrém funkce $F(x') = f(x',h(x'))$. Víme, že tato funkce je určena jednoznačně. 

To je ekvivalentní s tím, že $\forall i = 1, \dotsc, n-1$ platí $0 = \parcder F{x_i} = \parcder f{x_i} + \parcder f{x_n} \cdot \parcder h{x_i} = \parcder f{x_i} + \parcder f{x_n}\left(-\frac{\parcder g{x_i}}{\parcder g{x_n}}\right) $. To znamená, že $\parcder f{x_i} = \frac{\parcder f{x_n}}{\parcder g{x_n}} \cdot \parcder g{x_i}$. Označme si $\lambda = $ druhý výraz.

Z toho tedy dostáváme, že $\nabla f = \lambda \nabla g$, tedy dokázáno.
\end{proof}

\subsection{Taylorův polynom více proměnných}

\begin{df}
\emph{Multiindex} je definován jako $\alpha \in \mathbb{N}^m$, kde $|\alpha| = \sum_{i=1}^m \alpha_i$ a $\alpha! = \alpha_1! \alpha_2! \dotsm \alpha_n!$.

Navíc, pokud máme $x \in \R^m$, potom $x^\alpha = \prod_{i=1}^m x_i^{\alpha_i}$

Navíc si definujme ještě parciální derivaci jako $\frac{\partial^\alpha f}{\partial x^\alpha} = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\prod_{i=1}^m \partial x_i^{\alpha_i}}$.
\end{df}

\begin{df}
Taylorův polynom pro funkci více proměnných definujme následovně:
$$ Tf_n = \TP[n]f,a(\alpha) = \sum_{k=0^n} \sum_{|\alpha| = k} \frac{1}{\alpha!}\parcder{^\alpha f(a)}{x^\alpha} (x-a)^\alpha $$
\end{df}

\begin{veta}[Taylorův polynom pro více proměnných]
Mějme funkci $f: D \to \R, D \supseteq U(a,\delta), f \in C^n(D)$.

Potom $f(x) = \TP[n]f,a(x)+o(\|x-a\|^n)$.

Dále existují speciální případy:

\begin{align*}
n=0 &\quad f(x) = f(a) + o(1), f\text{ spojitá v }a \\
n=1 &\quad f(x) = f(a) + \underbrace{\sum_{i_1}^m \parcder{f}{x_i}(a)}_{df(a)(x-a)}+o(\|x-a\|) \\
n=2 &\quad f(x) = f(a) + \sum_{i_1}^m \parcder{f}{x_i}(a) + \frac12 (x-a)^T \underbrace{\left(\parcdder f{x_i}{x_j}\right)}_{H=D^2f} (x-a) + o(\|x-a\|^2)
\end{align*}
\end{veta}

\begin{ds}[Postačující podmínka pro lokální extrémy]
Mějme $\parcder fx(a) = 0$, $H$ pozitivně definitní. Potom má $f$ v a lokální minimum. Tedy:

$$ f(x) \geq f(a) + \frac12 \lambda_{\min} \|x-a\|^2 + o(\|x-a\|^2) > f(a) $$

Lokální maximum analogicky.
\end{ds}

\begin{proof}[Náznak důkazu]
Definujme si funkci $g(f) = f(a+tv)$ pro $v \in \R^m \setminus \mnz0, t \in \R$. Podíváme se na Taylorův  polynom $g$, což je $\sum \frac{g\der k(0)}{k!}h^k \doteq g(h) = f(a+th)$.

Tedy zkoumáme, jak se v daném bodě chová $g$ a chceme se podívat na jeho derivace.

Platí, že $g\der k(t)=\parcder{}{v}^k f = \parcder{^\alpha f}{x^\alpha}(a)$. Pokračování nebude.
\end{proof}

\section{Metrické prostory}

Co je to vlastně vzdálenost? Ne, toto není filozofická otázka. No dobře, vzdálenost je relativní. Člověk by musel chodit městem přes pravoúhlé ulice, kde $d(x,y) = \sum_{i=1}^m |x_i-y_i|$, zatímco takový ptáček se proletí vzdušnou čarou, tedy $d(x,y) = \sum_{i=1}^m \sqrt{(x_i-y_i)^2}$.

\begin{df}
Zobrazení $d: X \times X \to \R$ je \emph{metrika}, pokud jsou splněny následující podmínky:
\begin{itemize}
\item $d(x,y) \geq 0$, tedy nezápornost
\item $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
\item $d(x,y) = d(y,x)$, tedy symetrie
\item $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$, tedy trojúhelníková nerovnost
\end{itemize}
\end{df}

\begin{pr}Různé metriky:

\begin{enumerate}
\item Metrika $d_p(x,y) = (\sum_{i=1}^m |x_i-y_i|^p )^\frac 1p$, existuje na $\R^m$ pro $p \geq 1$.

\item Grafová metrika v neorientovaných grafech

\item $X = C([0,1]), d_1(f,g) = \int_0^1|f(x)-g(x)|, d_\infty = \max |f(x)-g(x)|$
\end{enumerate}
\end{pr}

\begin{df}
Množinový systém $(X,d)$ je metrický prostor, právě když $X \neq \emptyset$ a $d$ je metrika.
\end{df}

\begin{df}\rule{0pt}{0pt}

\emph{Otevřená koule} je $B(x,r) = U(x,r) = \mnz{y \in X: d(x,y) < r}$.

\emph{Uzavřená koule} je $\bar B(x,r) = U(x,r) = \mnz{y \in X: d(x,y) \leq r}$.
\end{df}

\begin{df}\rule{0pt}{0pt}
Množina $G \subseteq X$ je \emph{otevřená}, právě když $\forall x \in G \exists \delta > 0 : B(x,\delta) \subseteq G$

Množina $F \subseteq X$ je \emph{uzavřená}, právě když $X \setminus F$ je otevřená.
\end{df}

\begin{pr}
Mějme $X = \R$ a $d=d_1$ a $a,b \in X$. Potom $(a,b)$, $(a,\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,\infty)$ jsou otevřené množiny, $[a,b]$ je uzavřená množina.
\end{pr}

\begin{veta}[Otevřené množiny]
\label{v_mnoziny_ot} Následující tvrzení jsou pravdivé:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset$ i $X$ jsou otevřené množiny

\item $G_1,\dotsc,G_n \subseteq X$ jsou otevřené, potom $\bigcap G_i$ je také otevřená.

\item $\forall \alpha \in A: G_\alpha$ je otevřená, potom $\bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha$ je také otevřená. (Umožňuje nekonečné $A$)
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{veta}[Uzavřené množiny]
\label{v_mnoziny_uz} Následující tvrzení jsou pravdivé:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset$ i $X$ jsou uzavřené množiny

\item $G_1,\dotsc,G_n \subseteq X$ jsou uzavřené, potom $\bigcup G_i$ je také uzavřená.

\item $\forall \alpha \in A: G_\alpha$ je uzavřená, potom $\bigcap_{\alpha \in A} G_\alpha$ je také uzavřená. (Umožňuje nekonečné $A$)
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof}Nejprve věta \ref{v_mnoziny_ot}.
\begin{enumerate}
\item $\emptyset \dots \forall x \in \emptyset \phi(x)$ je vždy pravdivé.

$X \dots \forall x \in X \exists \delta = 1: B(x,\delta) \subseteq X$.

\item $x \in \bigcap G_i \Rightarrow \forall i x \in G_i \Rightarrow \exists \delta_i > 0 B(x,\delta_i) \subseteq G_i$. Potom vezměme $\delta = \min\mnz{\delta_i} > 0$ a podle definice platí.

\item $x \in \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha \Rightarrow \exists  \alpha_0 : x \in G_{\alpha_0}$ otevřená $\Rightarrow \exists \delta > 0 : B(x,\delta) \subseteq G_{\alpha_0} \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha$.
\end{enumerate}

Věta \ref{v_mnoziny_uz} se dá dokázat pomocí použití $G' = X \setminus G$ ve větě \ref{v_mnoziny_ot}.
\end{proof}

\begin{df}
Pokud $(x_n)$ je posloupnost bodů v $(X,d)$, potom řekněme, že $(x_n)$ konverguje k $x \in X$, pokud $\lim_{n \to \infty} d(x_n,x) = 0$.

Píšeme, že $x = \lim_{n \to \infty} x_n$ nebo $x_n \to x$.
\end{df}

\begin{pozn}
Tato podmínka je ekvivalentní k tomu, že $\forall \eps > 0\ \exists n_0\ \forall n>n_0: d(x_n,x) < \eps$, nebo jinak také $x_n \in B(x,\eps)$.
\end{pozn}

\begin{veta}
\label{v_met_jedna_limita}
Pokud $\lim x_n = x \wedge \lim y_n = y$, potom $\lim d(x_n,y_n) = d(x,y)$.

Toto speciálně znamená, že posloupnost má nejvýše jednu limitu.
\end{veta}

\begin{proof}
Podle definice:

$\forall \eps > 0 \exists n_1: \forall n \geq n_1 : d(x_n,x) < \frac \eps2$

$\forall \eps > 0 \exists n_2: \forall n \geq n_2 : d(y_n,y) < \frac \eps2$

Z toho dostaneme: $\exists n \geq n_0: d(x_n,y_n) \leq d(x_n,x) + d(x,y) + d(y_n,y) < d(x,y)+\eps$. Z trojúhelníkové nerovnosti dostáváme $d(x,y) \leq d(x,x_n) + d(x_n,y_n) + d(y_n,y) < d(x_n,y_n)+\eps$.

Kombinujeme a dostaneme $d(x,y)-\eps < d(x_n,y_n) < d(x,y)+\eps$.
\end{proof}

\begin{df}
Mějme $A \subseteq X$, $(X,d)$ metrický prostor.

Potom $\text{int} A = \cup_{G \subseteq A, G \text{ ot.}} G$ je vnitřek $A$.

Potom $\overline A = \cap_{F \supset A, F \text{ uz.}} F$ je uzávěr $A$.

Dále, $\partial A = \text{bd}(A) = \overline A \cap \overline{(X \setminus A)}$ je hranice.
\end{df}

\begin{df}
Metriky $d_1,d_2$ na množině $X$ jsou \emph{ekvivalentní}. právě když $\exists a,b \in (0,\infty): \forall x,y \in X: a\:d_1(x,y) \leq d_2(x,y) \leq b\:d_1(x,y)$.
\end{df}

\begin{eye}
Pokud jsou $d_1$ a $d_2$ ekvivalentní, potom
\begin{enumerate}
\item $(X,d_1)$ a $(X,d_2)$ mají stejné otevřené množiny.

\item $(X,d_1)$ a $(X,d_2)$ mají stejné uzavřené množiny.

\item Pro libovolné $(x_n)$ v $X$ $x_n \to_{d_1} x \Leftrightarrow x_n \to_{d_2} x$
\end{enumerate}
\end{eye}

\begin{pozn}
Topologický prostor je $(X,\mathcal G)$, $\mathcal G \subseteq P(X)$, kde $X$ je libovolná množina a $\mathcal G$ je množina všech otevřených množin splňující vlastnosti \ref{v_mnoziny_ot}.
\end{pozn}

\begin{veta}[Charakterizace uzavřených množin]
\label{v_uz_mnoziny}
Nechť $(X,d)$ je metrický prostor a $F \subseteq X$. Potom $F$ je uzavřená, právě když každá posloupnost $(x_n)$ v $F$ konverguje do $x$, tak $x \in F$.
\end{veta}

\begin{proof}
Nejprve obrácená implikace, tedy $\neg \Rightarrow \neg$.

$X \setminus F$ není otevřená, potom $\exists x \in X \setminus F\ \forall \eps > 0: B(x,\eps) \nsubseteq X \setminus F$. Zvolme si $\eps = 1/n$, potom $x_n \in B(x,1/n) \cap F$. To znamená, že $x_n \to x$, tedy $d(x_n,x) \leq 1/n$, ale proto $x \notin F$.

Nyní obrácená zpětná implikace, tedy $\neg \Leftarrow \neg$.

Nechť existuje posloupnost $x_n$ v $F$ taková, že $x_n \to x \notin F$. Potom $x \in X \setminus F$, tedy $\forall \eps > 0 \exists n_0 \forall n \geq n_0 d(x_n,x) < \eps$, neboli $x_n \in B(x,\eps)$. To však znamená, že $x_{n_0} \in B(x,\eps) \cap F$, což porušuje otevřenost $X \setminus F$ a tedy i uzavřenost $F$.
\end{proof}

\subsection{Spojité zobrazení}

\begin{df}
Mějme metrické prostory $(X,d)$ a $(Y,\rho)$. Dále mějme zobrazení $f: X \to Y$, jinak také $((X,d) \to (Y,\rho))$.

Potom je toto zobrazení \emph{spojité v $x_0 \in X$} právě, když platí: 

$${\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0} : {\forall x \in B_d(x_0,\delta): f(x) \in B_\rho(f(x_0),\eps)} $$

Dále je toto zobrazení spojité, pokud je spojité v každém bodě, tedy $\forall {x \in X}: f$ je spojité v $x$.
\end{df}

\begin{veta}[Vztah spojitosti a konvergence posloupnosti]
Pokud $x_n \to x$ v $(X,d)$ a zobrazení $f:(X,d) \to (y,\rho)$ je spojité v $x$, potom $f(x_n) \to f(x)$ v $(Y,\rho)$.
\end{veta}

\begin{proof}
Chceme, aby $\rho(f(x), f(x_n)) \to 0$, takže musí platit $\forall {\eps > 0}\ \exists {n \geq n_0} : \rho(f(x),f(x_n)) < \eps$.

Z definice spojitosti $\exists {\delta > 0}$, proto $\exists n_0\ \forall{n \geq n_0} : d(x,x_n) < \delta$. Tedy $x_n \in B_d(x,\delta) \Rightarrow f(x_n) \in B_\rho(f(x),\eps)$.
\end{proof}

\begin{veta}[Charakterizace spojitosti]
Mějme zobrazení $f: (X,d) \to (Y,\rho)$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item $f$ je spojité

\item $\forall G \subseteq Y$ je $G$ otevřená v $(Y,\rho) \Rightarrow f^{-1}(G)$ je otevřená v $(X,d)$.

\item $\forall F \subseteq Y$ je $F$ uzavřená v $(Y,\rho) \Rightarrow f^{-1}(F)$ je uzavřená v $(X,d)$.
\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{proof}
Ukážeme pouze implikaci $1 \Rightarrow 2$:

$G$ otevřená v $(Y,\rho)$. Chceme, aby $f^{-1}(G)$ byla otevřená v $X$. Z definice otevřené množiny $\forall x \in f^{-1}(G)\ \exists \delta > 0: B_d(x,\delta) \subseteq f^{-1}(G)$, což je ekvivalentní s $f(B_d(x,\delta)) \subseteq G$.

Tedy $f(x) \in G$, z otevřenosti $G$ $\exists \eps > 0: B_\rho(f(x),\eps) \subseteq G$, ze spojitosti $f$ $\exists \delta > 0: f(B_d(x,\delta)) \subseteq B_\rho(f(x),\eps)$, což jsme chtěli ukázat.

\end{proof}

{\tiny Definice na odreagování YAY. Už bylo na čase.}

\begin{df}
Mějme $(X,d), (X',d')$ metrické prostory. Řekněme, že $(X',d')$ je \emph{podprostor} $(X,d)$ právě, když $X' \subseteq X$ a $d' = d|_{X' \times X'}$.
\end{df}

\begin{pozn}
$A \subseteq X'$ je otevřená v $(X',d')$ právě, když $\exists U \subseteq X$ otevřená v $(X,d)$ taková, že $A = U \cap X$.

Dále mějme spojité zobrazení $f$. Potom $f|_{X'}$ je také spojité.
\end{pozn}

\subsection{Kompaktnost}

\begin{df}
Mějme $A \subseteq X$. Potom $A$ je \emph{kompaktní} v $(X,d)$ právě, když $\forall (x_n) \in A\ \exists $ vybraná podposloupnost $(x_{n_k})$ taková, že $x_{x_k} \to x \in A$.
\end{df}

\begin{veta}[Spojité funkce na kompaktní množině]
Mějme $K \subseteq (X,d)$, která je kompaktní a spojitou funkci $f: X \to \R$. Potom $f$ na $K$ nabývá maxima a minima.
\end{veta}

\begin{proof}
Zavedeme si množinu $S=f(K)=\mnz{f(x):x \in K}$ a $s = \sup S$. Existuje posloupnost $s_n \to s$, kde $s_n \in S$. Víme, že $s_n = f(x_n)$ pro nějaké $x_n \in K$.

Protože $K$ je kompaktní, existuje vybraná podposloupnost $y_k = x_{n_k}$ taková, že $y_k \to y \in K$.

Využijeme konvergenci a spojitost, tedy $f(y_k) \to f(y) \wedge f(y_k) \to s$. Posloupnost má nejvýše jednu limitu, tudíž $f(y) = s$, naše tak dlouho hledané maximum.

Minimum analogicky.
\end{proof}

Máme tedy krásné vlastnosti kompaktní množiny. Jak ale poznat, zda je množina kompaktní?

\begin{veta}[Nutné podmínky pro kompaktnost]
\label{v_kompakt_podminky}
Nechť je množina $K$ kompaktní v $(X,d)$. Pak je $K$ uzavřená a omezená.
\end{veta}

\begin{proof}
Podle věty \ref{v_uz_mnoziny} stačí ověřit, že posloupnost $x_n \in K$, která má limitu $x$ platí $x \in K$. Podle kompaktnosti existuje $y_k = x_{n_k} \to y \in K$.

Dále si zvolme libovolný $s \in X$. Pokud $K$ není omezená, tak $\forall n \in \N \ \exists x_n \in K \setminus B(s,n)$, tedy $d(s,x_n) > n$. Ale díky tomu, že $K$ je kompaktní, existuje vybraná posloupnost $x_{n_k} \to x$. Podle věty \ref{v_met_jedna_limita} $d(x_{n_k},s) \to d(x,s)$. Jenže $n_k \to \infty$, máme spor.
\end{proof}

\begin{veta}
Množina $(X,d)$ metrický prostor, $K$ kompaktní, $A \subseteq K$ je uzavřená. Potom je $A$ kompaktní.
\end{veta}

\begin{veta}[Kompaktnost kvádru]
\label{v_kompakt_kvadr}
Množina $[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \dotsm \times [a_d,b_d]$ je kompaktní v $(\R^d,d_\infty)$.
\end{veta}

\begin{proof}
Mějme $x_n = (x_n^1,x_n^2,\dotsc,x_n^d)$. Užijeme Bolzano-Weierstrassovu(?) větu pro posloupnost $(x_n^1)_{n \in I_1} \subseteq [a_1,b_1]$. Potom existuje vybraná posloupnost s limitou $x^1$. Takto pokračujeme pro každou složku s malým rozdílem, že $(x_n^k)_{n \in I_{k-1}}$. Dostaneme posloupnost $\N \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots \supseteq I_d $. Kompaktnost tedy platí.
\end{proof}

\begin{ds}
Množina $A \subseteq \R^d$ je kompaktní právě, když $A$ je uzavřená a omezená.
\end{ds}

\begin{proof}
Z věty \ref{v_kompakt_podminky} a z toho, že tu množinu můžeme uzavřít kvádrem (\ref{v_kompakt_kvadr}).
\end{proof}

\end{document}
