Pozitivně definitní matice a kvadratické formy
Test pozitivní definitnosti a Choleského rozklad
Rozhodněte, zdali je následující matice pozitivně definitní pomocí Gaussovy eliminace a determinantů. Pokud ano, nalezněte její Choleského rozklad.
Nápověda:
Část prvního řádku matice $\boldsymbol A$ počínaje druhým sloupcem lze zapsat jako A[0,1:], podobně výběr podmatice lze provést A[1:,1:], atd.
matrix([
[1 , 2 , 1 , 0 ],
[2 , 8 , 4 , 2 ],
[1 , 4 , 11 , 1 ],
[0 , 2 , 1 , 2 ]])
matrix([
[4 , 2 , 2 , 0 ],
[2 , 2 , 4 , 1 ],
[2 , 4 , 10 , 3 ],
[0 , 1 , 3 , 6 ]])
matrix([
[4 , 0 , 0 , 2 ],
[0 , 1 , 3 , 0 ],
[0 , 3 , 10 , 1 ],
[2 , 0 , 1 , 3 ]])
matrix([
[1 , -2 , 1 , 1 , -1],
[-2 , 8 , -2 , -4 , 8],
[1 , -2 , 2 , 3 , -1],
[1 , -4 , 3 , 15 , -1],
[-1 , 8 , -1 , -1 , 15]])
Součin pozitivně definitních matic
Dokažte nebo vyvraťte: Součin pozitivně definitních matic je pozitivně definitní.
Soustava s pozitivně definitní maticí
Spočtěte Choleského rozklad následující matice $\boldsymbol A$.
Choleského rozklad použijte k řešení soustavy $\boldsymbol A\boldsymbol x = (10, 21, -32, 26, 23)^{\mathrm T}$.
Nápověda:
Choleského rozklad lze získat A.cholesky().
A = matrix([
[ 1 , 2 , -3 , 2 , 1],
[ 2 , 5 , -6 , 3 , 2],
[-3 , -6 , 10 , -5 , -3],
[ 2 , 3 , -5 , 15 , 11],
[ 1 , 2 , -3 , 11 , 14]])
vector([10, 21, -32, 26, 23])
Změna báze formy
Kvadratická forma $g$ na vektorovém prostoru $\mathbb R^4$ má vzhledem ke standardní bázi $E$ analytické vyjádření $g(\boldsymbol u)=2x^2-2xy+y^2-2yt+t^2$, kde $\boldsymbol u=(x,y,z,t)^{\mathrm T}$.
Najděte její analytické vyjádření $g(u)_B$ vzhledem k bázi: $B=\{(1, 1, 1, 1)^{\mathrm T},(0, 1, 1, 1)^{\mathrm T},(0, 0, 1, 1)^{\mathrm T},(0, 0, 0, 1)^{\mathrm T}\}$.
Určete $g(\boldsymbol u)$ pro vektor $\boldsymbol u$, který má vůči bázi $B$ souřadnice $[\boldsymbol u]_B = (3, 1, 0, 0)^{\mathrm T}$.
Řešení
Pokud si nevíte rady, můžete zde kliknout a ukáže se vám řešení (nebo alespoň jeho podstatná část):
Test pozitivní definitnosti - pomocí Gaussovy eliminace
Nejprve si výchozí matici pojmenujeme:
A = matrix([
[1 , 2 , 1 , 0 ],
[2 , 8 , 4 , 2],
[1 , 4 , 11 , 1 ],
[0 , 2 , 1 , 2 ]])
print('A - původní')
print(A)
Eliminace prvního sloupce pomocí Gaussovy eliminace odpovídá výpočtu matice $\boldsymbol B=\boldsymbol{A}'-\frac{1}{a_{1,1}}\boldsymbol a\boldsymbol a^\mathrm{T}$.
Zde $\boldsymbol{A}'$ vznikne odebráním prvního řádku a sloupce, neboli A[1:,1:], a $\boldsymbol{a}$ je odovídající zbytek prvního řádku, čili A[0,1:].
B = A[1:,1:] - 1/A[0,0] * A[0,1:].transpose() * A[0,1:]
print('B - podmatice po eliminaci')
print(B)
Podobně lze pokračovat eliminací matice $\boldsymbol{B}$, atd.
Test pozitivní definitnosti - pomocí determinantů
Determinant výchozí matice je:
print(A)
print(A.determinant())
a poté lze pokračovat zmenšováním matice od levého horního rohu:
print(A[1:,1:])
print(A[1:,1:].determinant())
print(A[2:,2:])
print(A[2:,2:].determinant())
nebo od pravého dolního.
print(A[:3,:3])
print(A[:3,:3].determinant())
print(A[:2,:2])
print(A[:2,:2].determinant())
Poslední determinant podmatice řádu 1 je vidět rovnou.
Choleského rozklad
Postup lze odkrokovat
A = matrix(SR, [
[0, 3, 4, 0],
[0, 0, 5, 0],
[2, 1, 0, 2]])
U = matrix(4)
U[0,0] = sqrt( A[0,0] )
U[0,1] = A[0,1] / U[0,0]
U[0,2] = A[0,2] / U[0,0]
U[0,3] = A[0,3] / U[0,0]
U[1,1] = sqrt( A[1,1] - vector(U[:1,1]) * vector(U[:1,1]) )
U[1,2] = ( A[1,2] - vector(U[:1,1]) * vector(U[:1,2]) ) / U[1,1]
U[1,3] = ( A[1,3] - vector(U[:1,1]) * vector(U[:1,3]) ) / U[1,1]
U[2,2] = sqrt( A[2,2] - vector(U[:2,2]) * vector(U[:2,2]) )
U[2,3] = ( A[2,3] - vector(U[:2,2]) * vector(U[:2,3]) ) / U[2,2]
U[3,3] = sqrt( A[3,3] - vector(U[:3,3]) * vector(U[:3,3]) )
print(U)nebo přímo napsat celý algoritmus (tento je pro jednoduchost bez testování na nulu na diagonále)
U = matrix(4)
for i in range(A.nrows()) :
if i == 0 :
U[0,0] = sqrt( A[0,0] )
else :
U[i,i] = sqrt( A[i,i] - vector(U[:i,i]) * vector(U[:i,i]) )
for j in range(i,A.nrows()) :
if j == 0 :
U[0,j] = A[0,j] / U[0,0]
else :
U[i,j] = ( A[i,j] - vector(U[:i,i]) * vector(U[:i,j]) ) / U[i,i]
print(U);Součin pozitivně definitních matic
Součin symetrických matic nemusí být symetrický, stačí tedy najít dvě pozitivně definitní matice,
jejichž součin není symetrický, např.
(
matrix([
[2 , 1 , 0],
[1 , 2 , 0],
[0 , 0 , 4]])
*
matrix([
[3 , 1 , 0],
[1 , 3 , 1],
[0 , 1 , 3]])
)
(Pozn.: vnější oblé závorky umožňují rozepsat výraz na více řádků.)
Pozitivně definitní matice lze získat součinem $\boldsymbol{R}^{\mathrm H}\boldsymbol{R}$ z regulárních matic $\boldsymbol R$, např. z matic v odstupňovaném tvaru.
Soustava s pozitivně definitní maticí
Choleského rozklad se získá:
L = A.cholesky()Protože matice obou soustav jsou v odstupňovaném tvaru, stačí provést jen dvakrát zpětnou substituci.
b = vector([10, 21, -32, 26, 23])
y = L.solve_right(b)
L.transpose().solve_right(y)Poslední řádek lze alternatině zapsat bez transpozice
L.solve_left(y)Změna báze formy
Matici $\boldsymbol A_E$ formy $g$ vůči standardní bázi vynásobíme z obou stran maticí přechodu od báze $B$ k $E$ a dostaneme její matici $\boldsymbol A_B$ vůči bázi $B$.
$\boldsymbol A_B=[id]_{B,E}^{\mathrm T}\cdot \boldsymbol A_E \cdot [id]_{B,E}$
Klíčové je správné sestavení matic.
A_E = matrix([
[2 , -1 , 0 , 0],
[-1, 1 , 0 , -1],
[0 , 0 , 0 , 0],
[0 , -1 , 0 , 1]])
u_B = vector([3, 1, 0, 0])
id_B_E = matrix([
[1 , 0 , 0 , 0],
[1 , 1 , 0 , 0],
[1 , 1 , 1 , 0],
[1 , 1 , 1 , 1]])
A_B = id_B_E.transpose() * A_E * id_B_E
u = id_B_E * u_B
V obou případech vyjde výsledek stejně:
print (u * A_E * u)
print (u_B * A_B * u_B)