Choleského rozklad

Rozhodněte, zdali je následující matice pozitivně definitní pomocí Gaussovy eliminace a determinantů. Pokud ano, nalezněte její Choleského rozklad.

In [ ]:
matrix([
    [1 , 2 , 1 , 0 ],
    [2 , 8 , 4 , 2],
    [1 , 4 , 11 , 1 ],
    [0 , 2 , 1 , 2 ]]);

matrix([
    [4 , 2 , 2 , 0 ],
    [2 , 2 , 4 , 1],
    [2 , 4 , 10 , 3 ],
    [0 , 1 , 3 , 6 ]]);

matrix([
    [4 , 0 , 0 , 2 ],
    [0 , 1 , 3 , 0],
    [0 , 3 , 10 , 1 ],
    [2 , 0 , 1 , 3 ]]);

matrix([
    [1  , -2 ,  1 ,  1 , -1], 
    [-2 ,  8 , -2 , -4 ,  8], 
    [1  , -2 ,  2 ,  3 , -1], 
    [1  , -4 ,  3 , 15 , -1], 
    [-1 ,  8 , -1 , -1 , 15]]);

Součin pozitivně definitních matic

Dokažte nebo vyvraťte: Součin pozitivně definitních matic je pozitivně definitní.

In [ ]:

Soustava s pozitivně definitní maticí

Spočtěte Choleského rozklad následující matice $\boldsymbol A$.

Choleského rozklad použijte k řešení soustavy $\boldsymbol A\boldsymbol x = (10, 21, -32, 26, 23)^{\mathrm T}$.

Nápověda:

Choleského rozklad lze získat A.cholesky().

In [2]:
A = matrix([
    [1 ,  2 , -3 ,  2 ,  1], 
    [ 2 ,  5 , -6 ,  3 ,  2], 
    [-3 , -6 , 10 , -5 , -3], 
    [ 2 ,  3 , -5 , 15 , 11], 
    [ 1 ,  2 , -3 , 11 , 14]]);

vector([10, 21, -32, 26, 23]);

Změna báze formy

Kvadratická forma $g$ na vektorovém prostoru $\mathbb R^4$ má vzhledem ke standardní bázi $E$ analytické vyjádření $g(\boldsymbol u)=2x^2+2xy-y^2-2yt-t^2$, kde $\boldsymbol u=(x,y,z,t)^{\mathrm T}$.

Najděte její analytické vyjádření vzhledem k bázi: $B=\{(1,1,1,1)^{\mathrm T},(1,1,1,0)^{\mathrm T},(1,1,0,0)^{\mathrm T},(1,0,0,0)^{\mathrm T}\}$.

Určete $g(\boldsymbol u)$ pro vektor $\boldsymbol u$, který má vůči bázi $B$ souřadnice $[\boldsymbol u]_B = (3, 1, 0, 0)^{\mathrm T}$.

In [ ]: