Vlastní čísla a vlastní vektory

Doplnění vlastního čísla

U matice

$ \begin{pmatrix} 10 & 0 & 7 & -7 \\ 4 & 5 & 2 & -2 \\ 16 & 4 & 15 & -8 \\ 30 & 4 & 26 & -19 \\ \end{pmatrix} $

známe tři vlastní čísla a to $3, -4$ a $5$. Dopočítejte zbylé vlastní číslo.

Mezi možnými postupy hledejte ten nejjednodušší.

Nápověda:

Charakteristický polynom lze získat A.charpoly() a jeho kořeny .roots().

Pro zjednodušení racionálního výrazu lze použít metodu .simplify_full()

matrix([
     [ 10 , 0 ,  7 , -7 ],
     [  4 , 5 ,  2 , -2 ],
     [ 16 , 4 , 15 , -8 ],
     [ 30 , 4 , 26 , -19]])

Volební preference

Ve městě Pupákově jsou tři strany: Asketičtí, Bohatí a Chudí. Podrobným výzkumem se zjistilo, že 75 % z těch voličů co volilo Askety, je bude volit opět, 5 % bude volit Bohaté a 20 % Chudé. Podobně z těch co volili Bohaté zvolí 60 % opět Bohaté, 20 % Askety a 20 % Chudé. 80 % voličů Chudých je bude volit i v následujícím období, o zbylé hlasy se podělí 10 % Asketi a 10 % Bohatí.

Jak bude vypadat limitní rozložení sil v místím (řekněme stočlenném) zastupitelstvu?

Spektrální rozklad

Rozložte následující matice na součin $\boldsymbol R\boldsymbol J\boldsymbol R^{-1}$, kde matice $\boldsymbol R$ je regulární a matice $\boldsymbol J$ je v Jordanově normálním tvaru.

matrix([
    [ -11 , 30 ],
    [ -10 , 24 ]])

matrix([
    [ 0 ,  2 , -2 ],
    [ 1 , -1 ,  5 ],
    [ 2 , -4 ,  8 ]])

matrix([
    [  2 , 0 , 0 ],
    [ -4 , 1 , 3 ],
    [ -4 , 0 , 4 ]])

matrix([
    [ 4 , -2 , 0 ],
    [ 0 ,  2 , 0 ],
    [ 6 , -5 , 1 ]])

Mocnina matice

S využitím Jordanova normálního tvaru spočtěte třetí mocninu a druhou odmocnimu matic z předchozí úlohy.

Odmocninou rozumějte takovou matici, jejíž druhá mocnina je daná matice.

Správnost výpočtu ověřte zkouškou.

Řešení

Pokud si nevíte rady, můžete zde kliknout a ukáže se vám řešení (nebo alespoň jeho podstatná část):

Doplnění vlastního čísla

0. způsob - výpočet všech kořenů z polynomu, to ale není cílem úlohy

A.charpoly().roots()

nebo přímo

A.eigenvalues()

1. způsob - vydělení charakteristického mnohočlenu polynomem jehož kořeny jsou známá vlastní čísla

(A.charpoly()/((x-3)*(x+4)*(x-5))).simplify_full()

2. a 3. způsob - využívají vlastnosti součinu a součtu vlastních čísel

Volební preference

Klíčem je správně sestavit matici tak, aby 1 byla její vlastní číslo. Limitní rozložení jí pak odpovídá coby vlastní vektor.

Spektrální rozklad

Seznam vlastních čísel vrací A.eigenvalues(), vlastní vektory pak A.eigenvectors_right(), z nichž by šlo sestavit hledané matice. Tato metoda vrací seznam trojic (vlastní číslo, vlastní vektory tvořící bázi pro daný vlastní prostor, algebraická násobnost vlastního prostoru).

Popřípadě lze využít přímo metodu .eigenmatrix_right() která vrací požadované matice, neboli

J=A.eigenmatrix_right()[0]
R=A.eigenmatrix_right()[1]

Dané matice jsou diagonalizovatelné, proto lze vystačit pouze s vlastními vektory. Obecně by byl výpočet složitější. V sage je implementován pomocí .jordan_form(transformation=True). Tato metoda opět vrací obě matice $\boldsymbol J$ a $\boldsymbol R$. Bez parametru transformation=True jen první z nich.

Mocnina matice

Mocnina přímo:

R * J^3 * R.inverse()

Odmocnina podobně s použitím odmocniny z $\boldsymbol J$.