Doplnění vlastního čísla

U matice

$ \begin{pmatrix} 10 & 0 & 7 & -7 \\ 4 & 5 & 2 & -2 \\ 16 & 4 & 15 & -8 \\ 30 & 4 & 26 & -19 \\ \end{pmatrix} $

známe tři vlastní čísla a to $3, -4$ a $5$. Dopočítejte zbylé vlastní číslo.

Mezi možnými postupy hledejte ten nejjednodušší.

Nápověda:

Charakteristický polynom lze získat A.charpoly() a jeho kořeny .roots().

matrix([
     [10 , 0 ,  7 , -7 ],
     [ 4 , 5 ,  2 , -2 ],
     [16 , 4 , 15 , -8 ],
     [30 , 4 , 26 , -19]]);

Volební preference

Ve městě Pupákově jsou tři strany: Asketičtí, Bohatí a Chudí. Podrobným výzkumem se zjistilo, že 75 % z těch voličů co volilo Askety, je bude volit opět, 5 % bude volit Bohaté a 20 % Chudé. Podobně z těch co volili Bohaté zvolí 60 % opět Bohaté, 20 % Askety a 20 % Chudé. 80 % voličů Chudých je bude volit i v následujícím období, o zbylé hlasy se podělí 10 % Asketi a 10 % Bohatí.

Jak bude vypadat limitní rozložení sil v místím (řekněme stočlenném) zastupitelstvu?

Spektrální rozklad

Rozložte následující matice na součin $\boldsymbol R\boldsymbol J\boldsymbol R^{-1}$, kde matice $\boldsymbol R$ je regulární a matice $\boldsymbol J$ je v Jordanově normálním tvaru.

matrix([
    [-11 , 30 ],
    [-10 , 24 ]]);

matrix([
    [0 ,  2 , -2 ],
    [1 , -1 ,  5 ],
    [2 , -4 ,  8 ]]);

matrix([
    [ 2 , 0 , 0 ],
    [-4 , 1 , 3 ],
    [-4 , 0 , 4 ]]);

matrix([
    [4 , -2 , 0 ],
    [0 ,  2 , 0 ],
    [6 , -5 , 1 ]]);

Mocnina matice

S využitím Jordanova normálního tvaru spočtěte třetí mocninu a druhou odmocnimu matic z předchozí úlohy.

Odmocninou rozumějte takovou matici, jejíž druhá mocnina je daná matice.

Správnost výpočtu ověřte zkouškou.