<h2>Standardní skalární součin</h2>

Pro standardní skalární součin $\langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle=\sum\limits_{i=1}^n x_i \overline{y_i}$ nad $\mathbb C^n$, resp $\mathbb R^n$ 
určete u následujících vektorů $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$: 

- skalární součin vektorů $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$,
- euklidovské normy vektorů $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$,
- vzdálenost vektorů $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$, 
- zdali jsou vektory $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$ navzájem kolmé.

<b>Nápověda:</b>

Součiny <code>x*y</code> a <code>x.dot_product(y)</code> dávají $\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i$ - a to i nad komplexními čísly!

Komplexně sdružený vektor je možné získat metodou <code>.conjugate()</code>.


```python
x = vector([4, 2, 3]);       y = vector([1, 5, -2]);

x = vector([3, 1, -2]);      y = vector([1, -3, 2]);

x = vector([2, -1, 4]);      y = vector([5, 2, -2]);

x = vector([2, 1, 4, -1]);   y = vector([4, -1, 0, 2]);

x = vector([2+i, 0, 4-5*i]); y = vector([1+i, 2+i, -1]);

x = vector([1, 2, 1, -2*i]); y = vector([i, 2*i, i-1, 2]);
```

<h2>Nestandardní skalární součin</h2>

Pro skalární součin na $\mathbb C^3$ daný předpisem 
$\langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle= x_1\overline{y_1} + x_2\overline{y_2} + 2x_3\overline{y_3}  + x_3\overline{y_2}  + x_2\overline{y_3}$ 
určete u následujících vektorů $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$: 

- skalární součin vektorů $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$,
- normy vektorů $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$,
- zdali jsou vektory $\boldsymbol x$ a $\boldsymbol y$ navzájem kolmé.

<b>Nápověda:</b>

V sage (pythonu) je možné si nadefinovat vlastní součin pomocí konstrukce:

<code>def soucin(x,y):
    return(x[0]* ... )</code>


```python
x = vector([4, 2, 3]);       y = vector([1, 5, -2]);

x = vector([3, 1, -2]);      y = vector([1, -3, 2]);

x = vector([2, -1, 4]);      y = vector([5, 2, -2]);

x = vector([2+i, 0, 4-5*i]); y = vector([1+i, 2+i, -1]);

```

<h2>Gramova-Schmidtova ortonormalizace a kolmá projekce</h2>

V prostoru $\mathbb R^4$ se standardním skalárním součinem $\langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle=\sum\limits_{i=1}^4 x_iy_i$ 

určete podle Gramova-Schmidtova předpisu ortonormální bázi $Z=\{\boldsymbol z_1,\dots,\boldsymbol z_r\}$ řádkového prostoru následujících matic:

<b>Nápověda:</b>

Projekci vektoru $\boldsymbol u$ na vektor $\boldsymbol v$ jednotkové délky, čili $\langle \boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle\boldsymbol v$, lze pro reálné vektory získat výrazem <code>(u*v)*v</code>.

První řádek matice $\boldsymbol A$ je <code>A[0]</code>, atd.


```python
matrix([
    [0, 3, 4, 0],
    [0, 0, 5, 0],
    [2, 1, 0, 2]]);

matrix([
    [  2,  0, 1, 2],
    [  4,  3, 2, 4],
    [  6, -5, 3, 6],
    [ -4,  2, 4, 2]]);

matrix([
    [  2,  4,  2,  1],
    [ -1, -2, -2, -1],
    [  1,  2,  4,  2],
    [  1,  2,  3,  4]]);

```

Rozšiřte ortonormální báze z předchozí úlohy na ortonormální báze $\mathbb R^4$.

<b>Nápověda:</b>

Při výpočtu je možné využít odstupňovaný tvar matice <code>A.rref()</code>.


```python

```

Pro matice z předchozí úlohy určete ortogonální projekci $\boldsymbol p$ vektoru $\boldsymbol a=(2,2,1,5)^{\mathrm T}$ do řádkového prostoru příslušné matice
a souřadnice této projekce $[\boldsymbol p]_Z$ vzhledem k bázi $Z$.


```python
a = vector([2, 2, 1, 5]);
```

<h2>Přibližné řešení soustavy lineárních rovnic</h2>

Pomocí projekce najděte nejlepší přibližné řešení soustavy $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$. 

Všimněte si, že sloupce matice $\boldsymbol A$ jsou vzájemně kolmé.


```python
A = matrix([
    [2 ,  1 ,  0],
    [4 ,  2 ,  0],
    [2 , -4 , -1],
    [1 , -2 ,  2]]);

b = vector([10, 5, 13, 9]);
```

<h2>Báze prostorů souvisejících s maticí</h2>

Pro následující matici $\boldsymbol A$ najděte ortonormální bázi $\ker(\boldsymbol A)$ a poté ji rozšiřte na bázi $\mathbb R^5$.

Také najděte ortonormální bázi jejího řádkového prostoru $\boldsymbol A$ a poté ji rozšiřte na bázi $\mathbb R^5$.

Jak spolu nalezené báze souvisejí?


```python
A = matrix([
    [ 2, 0,   3,  -6,  0],
    [-5, 0,   3,   8,  0],
    [ 7, 4,   0, -14,  3],
    [-1, 1, -12,  10,  7],
    [ 5, 7,  -3,  -8, -1]]);

```

<h2>Matice isometrie</h2>

Rozhodněte, zdali následující matice jsou matice isometrií vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu na prostoru $\mathbb R^d$ odpovídající dimenze $d$.


```python
1/2*matrix([
    [ 1, 1, 1, 1],
    [ 1, 1,-1,-1],
    [ 1,-1, 0, 0],
    [ 0, 0,-1, 1]]);

1/2*matrix([
    [ 1, 1, 1, 1],
    [ 1, 1,-1,-1],
    [ 1,-1,-1, 1],
    [ 1,-1, 1,-1]]);

1/sqrt(2)*matrix([
    [ 1, 1, 0, 0],
    [ 1,-1, 0, 0],
    [ 0, 0,-1, 1],
    [ 0, 0,-1,-1]]);

1/7*matrix([
    [ 3, 2,-6],
    [-6, 3, 2],
    [ 2,-6, 3]]);

1/7*matrix([
    [ 3, 2, 6],
    [-6, 3, 2],
    [ 2, 6,-3]]);

```