Determinanty

Ověření vztahů o součinu

Ověřte vztah o determinantu součinu $\det(\boldsymbol A\boldsymbol B)=\det \boldsymbol A \cdot \det \boldsymbol B$ a determinantu inverzní matice $\det(\boldsymbol A^{-1}) = (\det \boldsymbol A)^{-1}$ pro náhodné regulární čtvercové matice řádu 4.

Nápověda:

Pro výpočet hodnoty determinantu použijte funkci det(A) nebo metodu A.determinant().

Součin matic je jednoduše A*B, podobně i součet a rozdíl.

Inverzní matice je A^(-1) nebo A.inverse().

Matici $\boldsymbol B$ můžete zadat ručně nebo použít metodu random_matrix(ZZ,4,4). Tato náhodná matice ovšem nemusí být regulární.

A = matrix([
    [1, 2, 3, 4],
    [5, 6, 7, 8],
    [4, 3, 3, 1],
    [0, 1, 2,-5]])

Generování matice

Sestrojte celočíselnou matici řádu 5 se všemi prvky kladnými a determinantem 7.

Cramerovo pravidlo

Pomocí Cramerova pravidla vyřešte následující soustavu $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$.

Nápověda:

Pro náhradu sloupce v matici si nejprve vytvořte její kopii A1 = copy(A).

Teprve pak proveďte dosazení vektoru $\boldsymbol b$ do příslušného sloupce A1[:,0] = b.

Pozor, indexování v Sage (stejně jako v Pythonu) začíná od 0, nikoli od 1.

A = matrix(QQ, [
    [3, 4, 1, 2, 1, 1, 4], 
    [1, 6, 0, 1, 1, 6, 3], 
    [0, 1, 5, 2, 6, 2, 1], 
    [0, 1, 5, 4, 0, 1, 3], 
    [0, 4, 5, 3, 2, 6, 3], 
    [4, 5, 3, 2, 3, 2, 2], 
    [2, 3, 5, 0, 1, 3, 0]]);

b = vector(QQ, [35, 92, 7, 18, 78, 36, 41]);

Počet koster

Pomocí determinantu Laplaceovy podmatice určete počet koster Petersenova grafu a grafů krychle, osmistěnu, dvanáctistěnu a dvacetistěnu.

Nápověda:

Graf lze převzít z databáze grafů G = graphs.PetersenGraph() nebo graphs.DodecahedralGraph() apod., podle tohoto seznamu.

Graf lze znázornit pomocí G.show().

Laplaceovu matici lze spočítat z matice sousednosti G.adjacency_matrix() nebo použít přímo metodu laplacian_matrix().

Výběr podmatice dává metoda M.submatrix(row_from,col_from,nr_rows,nr_cols) nebo lze použít metody pro mazání M.delete_rows([list_deleted]) a M.delete_columns([list_deleted]).

Řešení

Pokud si nevíte rady, můžete zde kliknout a ukáže se vám řešení:

Ověření vztahů o součinu

Matici lze nastavit ručně nebo náhodně B=random_matrix(ZZ,4,4).

Poté stačí porovnat hodnoty determinantů A*B a B*A.

Například:

B = matrix([
   [1, 0, 3, 2],
   [9, 3, 4, 6],
   [0, 2, 3, 1],
   [0, 7, 5,-3]]);

nebo

B = random_matrix(ZZ,4,4);

a poté

det(A*B);
det(B*A);
det(A);
det(A.inverse());
det(B);
det(B.inverse());

Generování matice

Takovou matici lze získat například úpravami horní trojúhelníkové matice s deteminanetem 7. Výpočet lze zjednodušit, pokud si uvědomíme, že úpravy lze interpretvat jako dolní trojúhelníkovou matici determinantu 1.

Například:

A = matrix([
   [7, 1, 1, 1, 1],
   [0, 1, 1, 1, 1],
   [0, 0, 1, 1, 1],
   [0, 0, 0, 1, 1],
   [0, 0, 0, 0, 1]]);

B = matrix([
   [1, 0, 0, 0, 0], 
   [1, 1, 0, 0, 0], 
   [1, 1, 1, 0, 0], 
   [1, 1, 1, 1, 0], 
   [1, 1, 1, 1, 1]]);

B*A;

det(B*A);

Protože prvky nad, resp. pod diagonálou jsou kladná celá čísla, budou ve výsledném součinu všechny prvky také kladná celá čísla.

Cramerovo pravidlo

Například s použitím cyklu:

x = zero_vector(QQ, 7);
det_A = det(A);
for i in range(7) :
  A_copy = copy(A);
  A_copy[:,i] = b;
  x[i] = det(A_copy) / det_A;
print(x);

Výsledek lze srovnat s řešením A.solve_right(b) nebo provést zkoušku výpočtem A*x.

Počet koster

Výběrem $G$ lze provést výpočty pro různé grafy:

G = graphs.PetersenGraph();
graphs.TetrahedralGraph();
graphs.HexahedralGraph();
graphs.OctahedralGraph();
graphs.IcosahedralGraph();
graphs.DodecahedralGraph();
G.show();
L = G.laplacian_matrix();

nebo s použitím jednotkové matice a matice sousednosti (pro ostatní grafy třeba upravit řád a stupeň)

L = ( 3 * identity_matrix(10) - G.adjacency_matrix() );

a poté

L1 = L.delete_rows([0]).delete_columns([0]);
print(L1);
det(L1)