probrané učivo
pondělí 12:20
-
1. hodina - 18.2. 10. 2019:
(cvičení se konalo ještě před první přednáškou) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky letního semestru.
- Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
-
2. hodina - TEST - 25. 2. 2019:
Definice axiomaticky a konkrétní. Rozšíření struktury vektorového prostoru a možnost měřit velikosti vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor? Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Jednotková kružnice podle různých (euklidovská, maximová a součtová) norem. Kolmost. Důkaz Cauchy–Schwarzovy nerovnosti s využitím projekce.
- Domácí úkol č. 1.0. termín odevzdání do 26. 03. 2019 do začátku cvičení
-
3. hodina - 4. 3. 2019:
Vylepšení báze: ortogonální a ortonormální a co tím získáme. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktivní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce "toho, co lze vyjádřit již nakolmenými vektory") - výpočet z definice (geometricky).
-
4. hodina - TEST se nepsal - 11. 3. 2019:
Gram-Schmidtova ortogonalizace: výpočet dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. Fourierovy koeficienty. Ortogonalice lineárně závislého vektoru. Vztah ortogonality a lineární nezávislosti vektorů, probrání důkazu.
- Domácí úkol č. 2.0. termín odevzdání do 01. 04. 2019
-
5. hodina - 18. 3. 2019:
Ortogonální projekce, definice. Vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortonormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b', co znamená
nejlepší možné - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce.
-
6. hodina - TEST - 25. 3. 2019:
Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
- Domácí úkol č. 3.0. termín odevzdání do 16. 04. 2019
- Domácí úkol č. 3.1. termín odevzdání do 16. 04. 2019
- 7. hodina - 1. 4. 2019: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice, interpretace determinantu jako charakterizace matice. Výpočty determinantů z definice. Determinant transponované a inverzní matice. Řádková linearita determinantu. Metody výpočtu pro malé matice (typu 2x2 a 3x3) a speciální matice např. diagonílní či trojúhelníkové matice. Výpočet determinantu matice převodem na REF tvar matice a vliv elementárních řádkových úprav na hodnotu determinantu. Multiplikativnost determinantu. Hodnota determinantu a regularita matice.
-
8. hodina - 8. 4. 2019: Pokračování determinantu - příklady a vysvětlení: rozvoj podle řádku/sloupce, Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace), determinant jako zobecněný objem (roznoběžnostěnu i změna objemu lineárním rozbrazením). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
- Domácí úkol č. 4.0. termín odevzdání do 13. 05. 2019
- Domácí úkol č. 4.1. termín odevzdání do 13. 05. 2019
- Domácí úkol č. 4.2. termín odevzdání do 13. 05. 2019
-
9. hodina - TEST - 15. 4. 2019:
Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi škálováním v tělese reálných a komplexních čísel. Způsob výpočtu vlastních čísel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Výpočty vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů, charakteristický polynom, určení algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Matice společnice. Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a gemetrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
-
10. hodina - 22. 4. 2019: Hodina se nekonala - Velkonoční pondělí.
-
11. hodina - TEST - 29. 4. 2019: Dokončení kapitoly vlastních čísel: symetrické matice - spektrální rozklady (definice a jejich rozklady) a reálná vlastní čísla. Markovovské procesesy/matice. Výpočet vlastních čísel mocninou metodou (rozdíl mezi přímými a iterativními metodami výpočtu) a Geshgorinovi disky.
- poslední sada zadaných úkolů
- Domácí úkol č. 5.0. termín odevzdání do 13. 05. 2019
- Domácí úkol č. 5.1. termín odevzdání do 13. 05. 2019
- Domácí úkol typ článek:
- TEDxBrno video „Ještě že děti neučí mluvit škola!“ od Oldřicha Botlíka (mimochodem matfyzák)
- kapitola „Intuice a Logika v Matematice“ z knihy Číslo – prostor – čas od Henriho Poincarého (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
- TEDxPrague video „Jak se z touhy učit se stane sběratelství známek“ od Jany Nováčkové (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
- článek „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
-
12. hodina - 6. 5. 2019: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti. Cholského rozklad. Nestandardní skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny; "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze".
-
13. hodina - TEST - 13. 5. 2019:
-
14. hodina - 20. 5. 2019:
Bilineární a kvadratické formy: definice, maticové vyjádření, převody z analytického vyjádření do maticové formy a zpět. Sylvestrův zákon setrvačnosti a charakterizace kvadratických forem v R^2. Řešení domácích úkolů.
úterý 12:20
-
1. hodina - 19.2. 10. 2019:
(cvičení se konalo ještě před první přednáškou) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky letního semestru.
- Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
-
2. hodina - TEST - 26. 2. 2019:
Definice axiomaticky a konkrétní. Rozšíření struktury vektorového prostoru a možnost měřit velikosti vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor? Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Jednotková kružnice podle různých (euklidovská, maximová a součtová) norem. Kolmost. Důkaz Cauchy–Schwarzovy nerovnosti s využitím projekce.
- Domácí úkol č. 1.0. termín odevzdání do 25. 03. 2019 do začátku cvičení
-
3. hodina - 5. 3. 2019:
Hodina se nekonala pro neúčast studentů (měli laborka).
-
4. hodina - TEST se nepsal - 12. 3. 2019:
Vylepšení báze: ortogonální a ortonormální a co tím získáme. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktivní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce "toho, co lze vyjádřit již nakolmenými vektory") - výpočet z definice (geometricky).
Gram-Schmidtova ortogonalizace: výpočet dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. Fourierovy koeficienty. Ortogonalice lineárně závislého vektoru. Vztah ortogonality a lineární nezávislosti vektorů, probrání důkazu.
- Domácí úkol č. 2.0. termín odevzdání do 02. 04. 2019
-
5. hodina - 19. 3. 2019:
Ortogonální projekce, definice. Vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortonormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b', co znamená nejlepší možné - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce.
-
6. hodina - TEST - 26. 3. 2019:
Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
- Domácí úkol č. 3.0. termín odevzdání do 16. 04. 2019
- Domácí úkol č. 3.1. termín odevzdání do 16. 04. 2019
- 7. hodina - 2. 4. 2019: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice, interpretace determinantu jako charakterizace matice. Výpočty determinantů z definice. Determinant transponované a inverzní matice. Řádková linearita determinantu. Metody výpočtu pro malé matice (typu 2x2 a 3x3) a speciální matice např. diagonílní či trojúhelníkové matice. Výpočet determinantu matice převodem na REF tvar matice a vliv elementárních řádkových úprav na hodnotu determinantu. Multiplikativnost determinantu. Hodnota determinantu a regularita matice.
-
8. hodina - 9. 4. 2019: Hodina se z důvodů nemoci nekonala.
-
9. hodina - TEST - 16. 4. 2019:
Pokračování tereminantu - rozvoj podle řádku/sloupce, Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace), determinant jako zobecněný objem (roznoběžnostěnu i změna objemu lineárním rozbrazením). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
- Domácí úkol č. 4.0. termín odevzdání do 14. 05. 2019
- Domácí úkol č. 4.1. termín odevzdání do 14. 05. 2019
- Domácí úkol č. 4.2. termín odevzdání do 14. 05. 2019
-
10. hodina - 23. 4. 2019:
Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi škálováním v tělese reálných a komplexních čísel. Způsob výpočtu vlastních čísel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Výpočty vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů, charakteristický polynom, určení algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Matice společnice. Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a gemetrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
- Domácí úkol typ článek:
- TEDxBrno video „Ještě že děti neučí mluvit škola!“ od Oldřicha Botlíka (mimochodem matfyzák)
- kapitola „Intuice a Logika v Matematice“ z knihy Číslo – prostor – čas od Henriho Poincarého (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
- TEDxPrague video „Jak se z touhy učit se stane sběratelství známek“ od Jany Nováčkové (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
- článek „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
-
11. hodina - TEST - 30. 4. 2019: Dokončení kapitoly vlastních čísel: symetrické matice - spektrální rozklady (definice a jejich rozklady) a reálná vlastní čísla. Markovovské procesesy/matice. Výpočet vlastních čísel mocninou metodou (rozdíl mezi přímými a iterativními metodami výpočtu) a Geshgorinovi disky.
- poslední sada zadaných úkolů
- Domácí úkol č. 5.0. termín odevzdání do 14. 05. 2019
- Domácí úkol č. 5.1. termín odevzdání do 14. 05. 2019
-
12. hodina - 7. 5. 2019: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti. Cholského rozklad. Nestandardní skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny; "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze".
-
13. hodina - TEST - 14. 5. 2019: - se cvičení nekoná
-
14. hodina - 21. 5. 2019:
Bilineární a kvadratické formy: definice, maticové vyjádření, převody z analytického vyjádření do maticové formy a zpět. Sylvestrův zákon setrvačnosti a charakterizace kvadratických forem v R^2. Řešení domácích úkolů.
počty získaných bodů
pondělí 12:20
úterý 12:20
podmínky udělení zápočtu
hlavní princip - zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky
standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován
podmínky standardního získání zápočtu:
- získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za 2 cvičení.
začíná se na 2. cvičení a následně pravidelně ob jedno cvičení. Na posledním cvičení se test
nepíše
- písemná práce se skládá z:
- teoretické/teoretických otázky/otázek (typicky definice či věta) z odpřednesených přednášek (nemusí být probrány na cvičení)
- kombinace lehčích a středně těžkých příkladů (již procvičené či blízké odcvičeným na cvičení)
- každá písemná práce je na maximálně 7 bodů
- písemná práce se skládá z:
- získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly
- domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady
- termín odevzádní domácích úkolů je specifikován při zadání domácího úkolu
- domácí úkoly lze odevzdávat průběžně a každém cvičení na papíře (preferuji)
- v rozumných případech emailem:
- ve formátu:
- v případě scanu: jpg, png
- v případě textu: docx, odt či pdf
- soubory musí být pojmenované ve formátu "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_<identifikace domácího úkolu>_<příjmení studenta>_<jméno studenta>"; např. "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_1.1_Novák_Jan.jpg"
- odevzdaný domácí úkol musí být (jinak nebude akceptován):
- čitelný
- rozumně strukturovaný
- uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
- každý domácí úkol musí být vypracovaný a odevzdaný na separátní papír formátu A4; (špatné skeny, typicky telefonem: velký kontrast, zašuměné pozadí neakceptuji; doporučení: pokud budete domácí úkol fotit/skenovat pište na čístý bílý papír bez vzoru např. bez čtverečkování), jinak nebude akceptován - je to kvůli povinnému uchovávání materiálů, za zakladě kterých bylo provedeno hodnocení studenta
- svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad, primárně je cílem se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
- domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených úvah na dané téma, (nikoliv plné řešení problému či plky); neboť problém může být značně komplexní
- každý domácí úkol je na maximálně 7 bodů, ale odevzdat můžeze domácí úkoly i za více bodů (aby jste si látku více procvičili; pro sichr, abyste měli body), pokud v součtu získaných bodů překročíte hranici 7 bodů získáte maximálně 7 bodů; v bodování budu preferovat řádně dopočítaný příklad oproti více rozpočítaným a nedopočítaným příkladům
- splnit dva povinné domácí úkoly:
- domácí úkol strukturální diagram
- formou strukturálního diagramu zpracujete jednu z kapitol: a) skalární součin a blízké či b) vlastní čísla a blízké
- termín odevzdání diagramu je až budete chtít zápočet ale ne déle nežli do začátku letního zkouškového období (v rozumných případech je po předchozí domluvě možno odevzdat i déle)
- diagram vypracujte v programu Orgpad (doporučení: nejprve si zkuste save/load, nežli začnete něco dělat a práci si často průběžně zálohujte a zkuste si zálohu obnovit)
- pouze v případě, že byste si s programem zásadně nerozuměly - můžete po vzájmené domluvě se mnou diagram zpracovat i na papír - velikosti minimálně A3
- bez předchozí domluvy jiný formát či sw neakceptuji
- domácí úkol článek
- v průběhu semestru bude na cvičení odkázán a stránce cvičení zveřejněn článek/video na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude napsat na článek poučení (preferuji) (rozmyslete si, jak se liší poučení od úvahy, eseje apod.) či úvahy (když poučení nepůjde).
- článek odevzdejte v digitální formě; v jednom z formátů: docx, odt
- Váš text musí mít v textu uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
- soubor musí být pojmenovan ve formátu "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_článek_<příjmení studenta>_<jméno studenta>_<název článku>"; např. "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_článek_Novák_Jan_Botlík.odt"
- domácí úkol strukturální diagram
při nedostatku bodů ze cvičení
- je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
- v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena
- nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém období, výjimečně po vzájemné domluvě během semestru (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)
- pokud i tak budete mít nedostatek bodů (za písemky i za domácí úkoly); dostanete náhradní domácí úkoly, které však budete muset osobně předvést/vysvětlit a to včetně teorie; takto získané body budou obtížněji získatelné, nežli standardním způsobem; berte prosím v potaz, že cvičící nemusí být vždy přítomen; rozumně rychlou odezvu čekejte pouze ve zkouškovém období
literatura
- Stránka přednášejícího Pavla Hubáčka
- Skripa k lineární algebře od Milana Hladíka podle kterých se učilo poslední léta (oba semestry).
- Povídání o lineární algebře - téměř hotová skripta k přednášce.
- Legendární online přednášky Gilberta Stranga z MIT (doporučuji) a jeho kniha Introduction to Linear Algebra
- Essence of linear algebra na kanále 3Blue1Brown na YouTubu
minulá cvičení
- Lineární algebra I NMAI057 zimní semestr 2015-2016.
- Lineární algebra II NMAI058 letní semestr 2015-2016.
- Lineární algebra I NMAI057 zimní semestr 2016-2017.
- Lineární algebra II NMAI058 letní semestr 2016-2017.
- Lineární algebra I NMAI057 zimní semestr 2017-2018.
- Lineární algebra II NMAI058 letní semestr 2017-2018.
- Lineární algebra I NMAI057 zimní semestr 2018-2019.