NMAI058 cvičení Lineární algebry II. cvičí Mgr. Jiří Šejnoha

školní rok 2017/2018; cvičení se konají v pondělí v 17:20 a ve čtvrtek 15:40 v učebně S7 v budově na Malostranském náměstí

cvičení lineární algebry

probrané učivo

pondělí 17:20

  • 1. hodina - 19.2. 10. 2018: (cvičení se konalo ještě před první přednáškou) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky letního semestru. Opakování lineárního zobrazení a konstrukce matice lineárního zobrazení
    • Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
  • 2. hodina - TEST - 26. 2. 2018: Definice axiomaticky a konkrétní. Rozšíření struktury vektorového prostoru a možnost měřit velikosti vektorů, určovat vzájemné polohy vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor? Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Jednotková kružnice podle různých (euklidovská, maximová a součtová) norem. Kolmost.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 3. hodina - 5. 3. 2018: Alternativní důkaz Cauchy-Schwartzovy nerovnosti s využitím projekce. Proces vylepšování báze: ortogonální a ortonomální a co tím získáme. Fourierovy koeficienty. Vztah ortogonality a lineární nezávislosti vektorů. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktiní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce "toho, co lze vyjádřit již nakolmenými vektory" ) a výpočet podle Zahradníka (geometricky) a dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. (Ortg.) projekce vektoru na vektor a na podprostor.
  • 4. hodina - TEST - 12. 3. 2018: Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel)
    • Domácí úkol není zadán.
  • 5. hodina - 19. 3. 2018: Ortogonální projekce, definice. Vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortoznormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b nálží S(A), ale co když nemá? hledáme "nejlepší" možné, co to znamená nejlepší možné - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce. Ortogonální matice.
  • 6. hodina - TEST - 26. 3. 2018: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice a vypočty determinantů z definice. Determinant trojúhelníkové matice.
    • Domácí úkol není zadán.
  • dne 2. 4. 2018: výuka neprobíhá
  • 7. hodina - 9. 4. 2018:
  • 8. hodina - TEST - 16. 4. 2018: Pokračování determinantu - příklady a vysvětlení: rozvoj podle řádku/sloupce, Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace), determinant jako zobecněný objem.
    • článek „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
    • TEDxBrno video „Ještě že děti neučí mluvit škola!“ od Oldřicha Botlíka (mimochodem matfyzák)
    • TEDovské video „Jak velcí vůdci inspirují k akci“ od Simona Sinka - tuto 3. variantu berte jako záchranou, klidně si ji shlédněte, ale jako článek reději zpracujte jednu z dvou přechozích možností
    • kapitola „Intuice a Logika v Matematice“ z knihy Číslo – prostor – čas od Henriho Poincarého (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
    • článek „Filosofická logika?“ od Jardy Peregrína [1] [2] (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
  • 9. hodina - 23. 4. 2018: Vlastní čísla a jim příšlené vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi tělesem reálných a kompelxních čísel. Způsob výpočtu vlastních čisel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Matice společnice.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 10. hodina - TEST - 30. 4. 2018: Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a gemetrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
    • Domácí úkol není zadán.
  • 11. hodina - 7. 5. 2018: Dokončení kapitoly vlastních čísel: symetrické matice - spektrální rozklad a reálná vlastní čísla. Markovovské procesesy/matice. Výpočet vlastních čísel mocninou metodou (rozdíl mezi přímými a iterativními metodami výpočtu) a Geshgorinovi disky.
  • 12. hodina - TEST - 14. 5. 2018: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti. Cholského rozklad. Nestandardní skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny; "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze".
    • Domácí úkol není zadán.
  • 13. hodina - 21. 5. 2018: Bilineární a kvadratické formy: definice, maticové vyjádření, převody z analytického vyjádření do maticové formy a zpět. Sylvestrův zákon setrvačnosti a charakterizace kvadratických forem v R^2. Řešení domácích úkolů.
    • Domácí úkol není zadán.

čtvrtek 15:40

  • 1. hodina - TEST - 22.2. 10. 2018: (plán) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky letního semestru.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 2. hodina - 1. 3. 2018: 2. hodina - TEST - 26. 2. 2018: Definice axiomaticky a konkrétní. Rozšíření struktury vektorového prostoru a možnost měřit velikosti vektorů, určovat vzájemné polohy vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor? Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Jednotková kružnice podle různých (euklidovská, maximová a součtová) norem. Kolmost.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 3. hodina - 8. 3. 2018: Hodinu povede Jarda Horáček. G-S ortogonalizace a ortonormalizace.
  • 4. hodina - TEST- 15. 3. 2018: Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel)
    • Domácí úkol není zadán.
  • 5. hodina - 22. 3. 2018: (plán) Ortogonální projekce, definice. Vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortoznormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b nálží S(A), ale co když nemá? hledáme "nejlepší" možné, co to znamená nejlepší možné - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce. Ortogonální matice.
  • 6. hodina - 29. 3. 2018: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice a vypočty determinantů z definice. Determinant trojúhelníkové matice.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 7. hodina - TEST - 5. 4. 2018: Pokračování determinantu: výpočet determinantu převedením na RREF tvar, řádková/sloupcová linearita, elementární řákové úpravy a jejich vliv na determinant matice. Výpočty různých determinantů. Host.
  • 8. hodina - 12. 4. 2018: Pokračování determinantu - příklady a vysvětlení: rozvoj podle řádku/sloupce, Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace), determinant jako zobecněný objem.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 9. hodina - TEST - 19. 4. 2018: Vlastní čísla a jim příšlené vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi tělesem reálných a kompelxních čísel. Způsob výpočtu vlastních čisel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Matice společnice.
    • článek „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
    • TEDxBrno video „Ještě že děti neučí mluvit škola!“ od Oldřicha Botlíka (mimochodem matfyzák)
    • TEDovské video „Jak velcí vůdci inspirují k akci“ od Simona Sinka - tuto 3. variantu berte jako záchranou, klidně si ji shlédněte, ale jako článek reději zpracujte jednu z dvou přechozích možností
    • kapitola „Intuice a Logika v Matematice“ z knihy Číslo – prostor – čas od Henriho Poincarého (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
    • článek „Filosofická logika?“ od Jardy Peregrína [1] [2] (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
  • 10. hodina - 26. 4. 2018: Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a gemetrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
    • Domácí úkol není zadán.
  • 11. hodina - TEST - 3. 5. 2018: Dokončení kapitoly vlastních čísel: symetrické matice - spektrální rozklad a reálná vlastní čísla. Markovovské procesesy/matice. Výpočet vlastních čísel mocninou metodou (rozdíl mezi přímými a iterativními metodami výpočtu) a Geshgorinovi disky.
  • 12. hodina - 10. 5. 2018: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti. Cholského rozklad. Nestandardní skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny; "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze".
    • Domácí úkol není zadán.
  • 13. hodina - TEST - 17. 5. 2018: Bilineární a kvadratické formy: definice, maticové vyjádření, převody z analytického vyjádření do maticové formy a zpět. Sylvestrův zákon setrvačnosti a charakterizace kvadratických forem v R^2.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 14. hodina - 24. 5. 2018: Opakování a řešení domácích úkolů.
    • Domácí úkol není zadán.

počty získaných bodů

pondělí 17:20

čtvrtek 15:40

podmínky udělení zápočtu

zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky

standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován

podmínky standardního získání zápočtu:

  1. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za 2 cvičení.
    • písemná práce se skládá z:
      1. teoretické/teoretických otázky/otázek (typicky definice či věta) z odpřednesených přednášek (nemusí být probrány na cvičení)
      2. kombinace lehčích a středně těžkých příkladů (již procvičené či blízké odcvičeným na cvičení)
    • každá písemná práce je na maximálně 7 bodů
  2. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly
    • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady
    • termín odevzádní domácích úkolů je specifikován při zadání domácího úkolu (standardně 2 týdny od zadání a do začátku cvičení)
    • domácí úkoly lze odevzdávat průběžně a každém cvičení na papíře (preferuji)
      • v rozumných případech emailem - ve formátu: v případě scanu jpg, v případě textu docx, odt či pdf
      • případě strukturálního diagramu ve vhodném formátu programu - upřesním na hodině
    • odevzdaný domácí úkol musí být čitelný, rozumně strukturovaný, s uvedenou identifikací studenta a domácího úkolu (špatné skeny, typicky telefonem: velký kontrast, zašuměné pozadí, apod. vracím; doporučení: pokud budete domácí úkol fotit/skenovat pište na čístý bílý papír bez vzoru např. čtverečkování )
    • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad, primárně je cílem se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
    • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených úvah na dané téma, (nikoliv plné řešení problému či plky); neboť problém může být značně komplexní
    • každý domácí úkol je na maximálně 7 bodů, ale odevzdat můžeze domácí úkoly i za více bodů (aby jste si látku více procvičili; pro sichr, abyste měli body), pokud v součtu získaných bodů překročíte hranici 7 bodů získáte maximálně 7 bodů; v bodování budu preferovat řádně dopočítaný příklad oproti více rozpočítaným a nedopočítaným příkladům
  3. splnit dva povinné domácí úkoly:
    1. domácí úkol strukturální diagram
      • formou strukturálního diagramu zpracujete jednu z kapitol: a) skalární součin a blízké či b) vlastní čísla a vlastní vektory a blízké
      • termín odevzdání diagramu je do začátku letního zkouškového období (v rozumných případech je po předchozí domluvě možno odevzdat i déle)
      • diagram vypracujte v programu Orgpad (doporučení: nejprve si zkuste save/load, nežli začnete něco dělat a práci si často průběžně zálohujte a zkuste si zálohu obnovit)
      • pouze v případě, že byste si s programem zásadně nerozuměly - můžete po vzájmené domluvě diagram zpracovat i na papír - velikosti minimálně A3
    2. domácí úkol článek
      • v průběhu semestru bude na cvičení odkázán a stránce cvičení zveřejněn článek/video na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude napsat na článek poučení (preferuji) (rozmyslete si, jak se liší poučení od úvahy, eseje apod.) či úvahy (když poučení nepůjde).

při nedostatku bodů ze cvičení

  • je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
  • v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena
  • nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém období, výjimečně po vzájemné domluvě během semestru (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)
  • pokud i tak budete mít nedostatek bodů (za písemky i za domácí úkoly); dostanete náhradní domácí úkoly, které však budete muset osobně předvést/vysvětlit a to včetně teorie; takto získané body budou obtížněji získatelné, nežli standardním způsobem; berte prosím v potaz, že cvičící nemusí být přitomen

literatura

minulá cvičení

kontakt

  • Email: jiri.sejnoha@mff.cuni.cz
  • Konzultace: po domluvě, na cvičení či emailem (vzhledem k času a místu cvičení mohu zpravidla před i po cvičení).
  • K osobnímu zastižení bývám (nebo spíš nebývám) v doktorandské místnosti Katedry aplikované matematiky MFF UK, ve 3. patře Malostranské budovy, číslo místnosti 320 hned vedle S3.
  • Podílím se semináři Filosofických problémů informatiky
Vytvořil: Jiří Šejnoha, poslední změna: 29. 09. 2018