NMAI058 cvičení Lineární algebry 2; cvičí Mgr. Jiří Šejnoha; školní rok 2020/2021 letní semestr

cvičení se budou konat (do doby konce distační výuky; pak se uvidí) online přes zoom

cvičení lineární algebry

probrané učivo

úterý 10:40

  • 1. hodina - 02. 03. 2021: cvičení se přesouvá, konkrétní náhradní termín bude dohodnut na následujícícm cvičení, dle Vašich možností
  • 2. hodina - 09. 03. 2021: SKalární součin: rozšíření struktury vektorového prostoru o skalární součin, možnost měřit velikosti a vzájemnou pozici vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor? Definice skalárního součinu reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Jednotková kružnice podle různých (euklidovská, maximová a součtová) norem. Kolmost.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 3. hodina - 16. 03. 2021: Vylepšení báze vektorového prostoru: ortogonální a ortonormální báze a co tím získáme. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktivní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce "toho, co lze z nakolmonovaného vektoru vyjádřit již nakolmenými vektory") - výpočet dle „Zahradníka“ (z definice a geometricky) a výpočet dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. Souřadnice vektoru vůči ortonotmální bázi skalárním součinem (fourierův koeficient). Ortogonalice lineárně závislého vektoru. Vztah ortogonality a lineární nezávislosti vektorů, probrání důkazu. Kolmost.
  • 4. hodina - 23. 03. 2021: Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel).
    • Domácí úkol není zadán.
  • 5. hodina - 30. 03. 2021: Ortogonální projekce, definice. Vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortonormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b', co znamená nejlepší možné? - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 6. hodina - 06. 04. 2021: Test. Metoda nejmenších čtverců a její vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b'; co znamená nejlepší možné? Příklad na matici projekce. Ortogonální matice: definice, součin ortogonálích matice je ortogonální matice - uzavřenost ortogálních matic na operaci maticového násobení, zobrazení ortogonální maticí "zachovává" úhly a délky, řádky i sloupce ortogonálních matic tvoří ortonomální báze.
  • 7. hodina - 13. 04. 2021: Test. Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice, interpretace determinantu jako charakterizace matice. Výpočty determinantů z definice. Metody výpočtu pro malé matice (typu 2x2 a 3x3) a speciální matice např. diagonální či trojúhelníkové matice. Výpočet determinantu matice převodem na REF tvar matice a vliv elementárních řádkových úprav na hodnotu determinantu. Hodnota determinantu a regularita matice.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 8. hodina - 20. 04. 2021: Pokračování determinantu - příklady a vysvětlení: determinant transponované a inverzní matice. Řádková linearita determinantu. Multiplikativnost determinantu. Rozvoj podle řádku/sloupce. Úvod k vlastním číslům, diskuze nad látkou probranou na přednášce.
    Domácí úkol typ článek
    • Vyberte si jedno ze zadaných témat, které zpracujte formou: a) úvahy, b) (preferuji) poučení.
    • Termín odevzdání do 18. 05. 2021.
    • Domácí úkol typ článek: text napsal Henri Poincaré a je z knihy: Číslo prostor čas.
      Podle zájmu, je možno si přečíst si celou kapitolu.
    • Domácí úkol typ článek: text „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
    • TEDxBrno video „Ještě že děti neučí mluvit škola!“ od Oldřicha Botlíka (mimochodem matfyzák)
  • 9. hodina - 27. 04. 2021: Pokračování determinantu - La Placeho rozvoj determinátu podle řádku a sloupce. Adjungovaná matice a výpočet inverzní matice - důkaz: multi la place; celočiselný inverz a determinant. Cramerovo pravidlo a jeho důkaz včetně geometrické intuice.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 10. hodina - 04. 05. 2021: Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi škálováním v tělese reálných a komplexních čísel. Způsob výpočtu vlastních čísel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Výpočty vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů, charakteristický polynom, určení algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Způsob výpočtu vlastních čisel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Matice společnice.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 11. hodina - 11. 05. 2021: Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a gemetrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ). Vlastní čísla a jim příšlené vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi tělesem reálných a kompelxních čísel. Jordanův tvar matice - existence a jordanovy bloky. Příklady.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 12. hodina - 18. 05. 2021: Příklady na vlastní čísla - dokončení. Dokončení kapitoly vlastních čísel: symetrické matice - spektrální rozklady (definice a jejich rozklady) a reálná vlastní čísla. Výpočet vlastních čísel mocninou metodou (rozdíl mezi přímými a iterativními metodami výpočtu) deflace vlastních čísel matice. Geshgorinovi disky.
  • 13. hodina - 25. 05. 2021: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Motivace: reprezentace skalárních součinů; "energie systémů"; ... Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti. Cholského rozklad. Skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny; "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze" - rozebrání důkazu věty.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 14. hodina - 01. 06. 2021: Bude se psát poslední průběžný test na kapitolu Pozitivní definitnost (zopakujte si všechny metody testování pozitivní (semi)definitnosti - včetně rekuretního vzorečku). Bilineární a kvadratické formy: definice, maticové vyjádření, převody z analytického vyjádření do maticové formy a zpět. Sylvestrův zákon setrvačnosti a charakterizace kvadratických forem v R^2. Řešení domácích úkolů.

počty získaných bodů

podmínky udělení zápočtu

hlavní princip získání zápočtu

  • zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á mě přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky
  • standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován

podmínky standardního získání zápočtu

  1. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly
  2. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za dvě cvičení
  3. splnit domácí úkol typu strukturální diagram
  4. splnit domácí úkol typu článek

pokyny pro vypracování průběžného testu

  • zaslaný soubor musí být pojmenovaný ve formátu "NMAI058_LA2_2020_2021_Test_<identifikace testu>_<příjmení studenta>_<jméno studenta>"; např. "NMAI058_LA2_2020_2021_Test_2.0_Novák_Jan.pdf"
  • a ve formátu *.pdf

pokyny pro vypracování domácích úkolů

  • získat alespoň 60% bodů ze zadaných domácích úkolů
  • za každou série domácích úkolů je možno získat maximálně 7 bodů, i když bude zadáno více příkladů; aby byl konkrétní příklad započítán, musí být splněn alespoň z poloviny
  • domácí úkol odevzdaný po termínu nebude akceptován
  • termín odevzdání domácích úkolů je specifikován při zadání domácího úkolu
  • odevzdaný domácí úkol musí být (jinak nebude akceptován):
    • čitelný
    • rozumně strukturovaný
    • uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
    • každý domácí úkol musí být vypracovaný a odevzdaný na separátní bílý papír formátu A4; (špatné skeny, typicky telefonem: velký kontrast, zašuměné pozadí apod. neakceptuji)
  • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - primárním cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad; primárním cílem je se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
  • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady
  • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených a „jednoznačně“ argumentovaných či úvah otázek na dané téma, (nikoliv plné řešení problému či plky); neboť problém může být značně komplexní a i dobré dílčí řešení je dobrý výsledek
  • odevzdávejte emailem ve formátu pdf
  • soubor musí být pojmenované ve formátu "NMAI058_LA2_2020_2021_DU_<identifikace domácího úkolu>_<příjmení studenta>_<jméno studenta>"; např. "NMAI058_LA2_2020_2021_DU_1.1_Novák_Jan.pdf"

pokyny pro vypracování domácího úkolu typu strukturální diagram

  • formou strukturálního diagramu zpracujete jednu z kapitol: a) skalární součin a blízké či b) vlastní čísla a blízké
  • termín odevzdání diagramu je, až budete chtít zápočet, ale ne déle, nežli do začátku letního semestru (v rozumných případech je po předchozí domluvě možno odevzdat i déle)
  • podrobnosti při zadání během semestru

pokyny pro vypracování domácího úkolu typu článek

  • v průběhu semestru bude na cvičení odkázán a stránce cvičení zveřejněn článek/video na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude napsat na článek poučení (preferuji) (rozmyslete si, jak se liší poučení od úvahy, eseje apod.) či úvahy (když poučení nepůjde)
  • článek odevzdejte v digitální formě; v jednom z formátů: docx, odt
  • Váš text musí mít v textu uvedenou rozumnou hlavičku (identifikací studenta, domácího úkolu, slohového útvaru a data vypracování
  • soubor musí být pojmenovan ve formátu "NMAI058_LA2_2020_2021_DU_článek_<příjmení studenta>_<jméno studenta>-<název článku>"; např. "NMAI058_LA2_2020_2021_DU_článek_Novák-Jan_Botlík.odt"

při nedostatku bodů ze cvičení

za přůběžné písemné práce

  • je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
  • v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena
  • nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém období (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)

jiné případy

  • pokud i tak budete mít nedostatek bodů (za písemky či za domácí úkoly); dostanete náhradní domácí úkoly, které však budete muset osobně předvést/vysvětlit a to včetně teorie; takto získané body budou obtížněji získatelné, nežli standardním způsobem; berte prosím v potaz, že cvičící nemusí být vždy přítomen; rozumně rychlou odezvu čekejte pouze ve zkouškovém období

literatura

minulá cvičení

kontakt

  • Email: jiri.sejnoha@mff.cuni.cz
  • Konzultace: po domluvě, na cvičení či emailem (vzhledem k času a místu cvičení mohu zpravidla před i po cvičení).
  • Podílím se semináři Filosofických problémů informatiky