cvičení lineární algebry

pondělí 12:20 a 14:00

• 1. hodina - 05. 10. 2020: Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky zimního semestru.
  Soustavy reálných lineárních rovnic: motivace, definice rovnice a definice soustavy reálných lineárních rovnic. Co znamená lineární rovnice a kde se berou, co znamená řešit rovnici a co řešit soustavu rovnic. Příklady na řešení soustavy lineárních rovnic - (ne)jednoznačnost řešení či jeho neexistence. Geometrická řádková interpretace řešení SLR - řádková interpretace. Matice: definice, vektor, typ matice, matice vs. reálná matice. Maticový zápis (reprezentace) soustavy lineárních rovnic.
  
  • Domácí úkol není zadán.
• 2. hodina - 12. 10. 2020: Pohádka - vaření čaje. Gaussova eliminace = převod matice do odstupňovaného tvaru (dopředná eliminace) + zpětná substituce. Řádkové úpravy matice - včetně legálních a elementárních. Definice REF a RREF. Algoritmus Gaussovi eliminace a příklady SLR: s jedním řešením, nemající řešení a mnoho/nekonečno řešení (vyparametrizování). Hodnost matice. Vztah hodnosti matice a počtu řešení SLR - Frobeniova věta. Opakování řádkové interpretace řešení SLR a sloupcová interpretace řešení SLR. Dokončena kapitola skript - Soustavy lineárních rovnic. Příště se píše test.
  • Domácí úkol č. 1.0. termín odevzdání do začátku cvičení 19. 11. 2020
• 3. hodina -TEST - 19. 10. 2020: Řešení příkladů z domácího úkolu. Matice a operace s maticemi - idea: po prvcích. Maticové násobení - definice, výpočet, mnemotechnická pomůcka výpočet „křížem“. Vlastnosti maticového násobemí - zejména nekomutativita maticového násobení. Násobení matice vektorem z prava jako sloupcový selektor a násobení matice vektorem z leva jako řádkový selektor. Matice elementárních řákových úprav. Reprezentace SLR pomocí maticového násobení Ax=b a sloupcová interpretace řešení SLR při zápisu Ax=b.
  • Domácí úkol č. 2.0. termín odevzdání do začátku cvičení 26. 10. 2020
• 4. hodina - 26. 10. 2020: 4. hodina - TEST 2. - 4. 11. 2019: Homogenní reálná SLR a její řešení - právě jedno a to nulový vektor a nebo nekonečno včetně nulového vektoru. Regulární, singulární a kouzelná matice: definice, příklady, ověření regularity. Inverní matice: definice, jednotková matice, výpočet inverzních matic - Gauss-Jordanova elimanace, intuitivně inverzní matice jako inverzní rozbrazení (existuje-li) pro zobrazení: x -> Ax čili x -> b. Řešení SLR Ax=b pomocí inverzní matice - hledání vzoru. Vlastnosti inverzních matic.
  • Domácí úkol není zadán.
• 5. hodina - TEST - 02. 11. 2020: Test a náhradní test za 1. test (možnost opravit si první test). Matematické objekty zadané: a) konkrétně - konstrukcí, b) abstraktně - vlatnostmi. Grupy: rozebrání definice (relace vs. zobrazení vs. operace), axiomy. Příklad diherální grupy D3 - ověření axiomů, uzavřenosti, multiplikativní tabulka, nekomutativita operace grupy: "počítání s něčím jiným nežli s čísly". Pojetí: množina + struktura (co je to ta struktura na množině?).
  • Domácí úkol není zadán.
• 6. hodina - 09. 11. 2020: Pokračování grup: Grupa (Z_3,+) a (Z_3, *) a jejich (skoro) Cayleyho diagram; totožná množina a různé struktury dané různými operacemi. Intuivně pojem algebry. Úvaha o podobjektu a podalgebře a definice podgrupy. Podrupy dihedrální grupy D3. Homomorfismus algeber. Symetrická grupa vládne všem. Těleso: definice, těleso jako zobecnění reálních čísel s operacemi (+ a *) i jako příklad algebry. Konečné Zn těleso, těleso právě tehdy když n=p. Počítání v Zn řešení SLR pomocí GE a výpočtem inverzní matice. Malá Fermatova věta: znění a příklady: výpočet mocnin a inverzu.
  • Domácí úkol č. 3.0. termín odevzdání do začátku cvičení 16. 11. 2020
  • Domácí úkol č. 3.1. termín odevzdání do začátku cvičení 16. 11. 2020
• 7. hodina - TEST - 16. 11. 2020: Vektorové prostory: definice, příklady, konkrétní vektorový prostor aritmetických vektorů na tělesem reálných čísel vs. abstraktní definice. Vektorový podprostor a podstruktura. Věta: průnik VP je VP včetně důkazu - co ověřujeme u VP? Lineární kombinace, vektor jako: „bod“, „šipka“ a lineární kombinace. Lineární kombinace jako expandér přes operace VP a generátory. Lineární obal přes průnik podprostorů a ekvivalentní zavedení lineárního obalu přes lineární kombinace (u konenčně generovaných VP). Různé lineární obaly v závislosti na různých typech generátorů.

  Z domácích úkolů si vyberte jeden, který spracujete a jednu formu, kterou úkol spracujete. Přečíst či shlédnout (jedná se o krátké články či videa) můžete samozřejmě, které chcete. Díla pojednávají o zajímavých názorech zajímavých lidí. To však ale neznamená, že se s nimi „musí souhlasit“. Vaše zkušenosti či pohledy mohou být zcela jiné.

  • Domácí úkol typ článek: text napsal Henri Poincaré a je z knihy: Číslo prostor čas.
    Zpracujte formou: a) úvahy, b) (preferuji) poučení.
    Termín odevzdání do 7. 12. do začátku cvičení.
    Podle zájmu, je možno si přečíst si celou kapitolu.
  • Domácí úkol typ článek: TEDxPrague - Jana Nováčková - Jak se z touhy učit se stane sběratelství známek
    Zpracujte formou: a) buď zápisu, co autorka přízpěvků tvrdí, b) úvahy, c) (preferuji) poučení.
    Termín odevzdání do 7. 12. do začátku cvičení.
  • Domácí úkol typ článek: text „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
• 8. hodina - 23. 11. 2020: Lineární nezávislost a její testování. „Vylepšení“ generátorů na bázi. Báze: definice, příklady, dimenze, různé báze téhož VP, určení báze VP i vybrání báze VP, Steinitzova věta, rozšíření na bázi a příklady.
  • Domácí úkol není zadán.
• 9. hodina - TEST - 30. 11. 2020: Fundamentální podprostory matice: S(A) a R(A), Ker(A): definice, výpočet báze a dimenze. Vztah dim(S(A)) = dim(R(A))=rank(A)=rank(A^T) a n = rank(A) + dim(Ker(A)); kterým prostorů náleží x a b v SLR dáno Ax=b, elementární řádkové úpravy matice a (ne)změna S(A) a R(A), Ker(A).
  Domácí úkol č. 4.0. termín odevzdání do začátku cvičení 07. 12. 2020
• 10. hodina - 07. 12. 2020: Kernel matice a jadérko ořechu. Dimenze a báze jádra matice. Vztah dim(S(A)) = dim(R(A)) a n = rank(A) + dim(Ker(A)). Lineární zobrazení: definice, příklady co je a co není lineární zobrazení v rovině. Lineární zobrazení jako homomorfismus VP. Popis lineárního zobrazení obrazem báze. Matice lineárního zobrazení z definice. Vzájemná korespondece matice a lineárních zobrazení. Matice přechodu a matice transformace. Příklady.
  • Domácí úkol není zadán.
• 11. hodina - TEST - 14. 12. 2020: Skládání lineárních zobrazení, skládání lineárních zobrazení v maticové reprezentaci - maticové násobení. Příklady.
  • Domácí úkol není zadán.
• 12. hodina - 21. 12. 2020: Jádro a obraz lineárního zobrazení a souvislosti s maticovou reprezentací (jádro a obraz matice vs. jádro a obraz zobrazení). Inverzní lineární zobrazení a matice, prosté a na zobrazení (a různé podmínky prostoru a zobrazení na), izomorfismus a věta o izomorfismu (pro konečně generované VP na dim n nad tělesem T). Příklady.
  • Domácí úkol č. 5.0. termín odevzdání do začátku cvičení 04. 01. 2021
• 13. hodina - TEST - 04. 01. 2020: Afinní vektorové prostory: definice, vztah affiního vektorového prostoru a množiny řešení soustav lineárních rovnic. Affiní lineární závoislost a nezávislost.