Processing math: 100%

Informace k přednášce Matematika++, LS 2018/2019

Ida Kantorová, Robert Šámal, Martin Tancer

Náplň

V moderní informatice se často používají matematické nástroje, které překračují rozsah matematických přednášek v bakalářském programu informatiky. V této přednášce se posluchači seznámí s poněkud zhuštěnými základy některých matematických odvětví, které se pro informatiku a diskrétní matematiku ukázaly zvlášť významné. pro představu se podívejte na témata minulých přednášek.

Letos se zaměříme na teorii míry -- jako základ pro teorii pravděpodobnosti. Dále na geometrii ve vysoké dimenzi a také trochu funcionální analýzy.

Předpoklady

Zájem o matematiku, matematické znalosti zhruba v rozsahu informatického bakalářského studia na MFF UK. Navazovat budeme hlavně na analýzu, pravděpodobnost a lineární algebru.

Rozsah

Dvě hodiny přednášky a dvě hodiny cvičení týdně (2/2). Zápočet, zkouška.

Termín

Přednáška úterý 15:40 v S4. (Začínáme 26.2.2019.) Cvičení středa 15:40 v S9 (ne každý týden).

Cvičení

Podstatná část cvičení bude spočívat v samostatné domácí práci posluchačů. Zápočet bude za vyřešení dostatečného množství příkladů. Cvičení povede Radek Hušek a Martin Tancer. Podrobnosti o cvičeních

Zkouška

Bude ústní, z teorie i příkladů. Ozvěte se emailem, domluvíme se na čase.

Literature

[KMS] I. Kantor, J. Matoušek, R. Šámal: Mathematics++ (should be available in the library)
[W] T.B. Ward: Functional analysis lecture notes

Probraná témata

Datum	Obsah	Zdroje
26.2.	[IK] Motivace míry a L. integrálu. Vlastnosti, které by ideálně měla míra mít. Definice vnější míry. Vnější míra intervalu je rovna délce. Subaditivita. Aditivita selhává, Vitaliho množina. Měřitelné množiny, interval $(0,\infty)$ je měřitelný. Sigma algebra, měřitelné množiny jsou sigma algebra. Poznámka: Littlewoodovy principy (neformálně). Borelovské množiny, jejich měřitelnost. Definice L. míry jako zúžení vnější míry. Aditivita. Zmíněn příklad neměřitelné množiny.	Kniha kap. 1
5. 3.	[IK] Poznámka o tom, že neměřitelná množina se dá zkonstruovat jen s pomocí axiomu výběru. Nulová množina, pojem "skoro všude". Aplikace: hledání libovolně velké množiny v obecné poloze v rovině. Pojem míry, prostoru s mírou. Příklady měr (počítací, Diracova). Měřitelná funkce. Pro funkci $X \to Y$ je potřeba podmínku ověřit jen pro množiny, které generují sigma-algebru v Y. Měřitelnost součtů, součinů měřitelných funkcí, apod. Jednoduchá funkce, aproximace měřitelných pomocí jednoduchých. Definice L. integrálu. Různé vlastnosti (bez důkazu). Fatouovo lemma.	Kniha kap. 1
12. 3.	[IK] Věta o monotonní konvergenci. Linearita integrálu. Věta o omezené konvergenci. Jednoduchý příklad užití Fubiniho věty. Fubiniho věta. Definice pojmů ve F. větě. Pravděpodobnost: příklady (Monty-Hall, Bertrandův paradox). Definice základních pojmů. Kolmogorovovy axiomy. Pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, střední hodnota.	Kniha kap. 1
19. 3.	[RS] Two calculations: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} = \sqrt{2\pi}$ (Fubini, substitution). Stirling formula (substitution, dominated convergence).	Book 2.3, Stirling's formula by Keith Conrad
26.3.	[RS] Brief overview of probability (prob. density functions, cumulative distribution function). Normal distribution -- verifying properties, relation to binomial coefficients. Multidimensional normal distribution and its applications.	Book 2.3,
2.4.	[MT] Higher dimensional geometry: A few paradoxes about measure in higher dimensions. Brunn theorem. Minkowski sum. Brunn-Minkowski inequality. A proof that Brunn-Minkowski implies Brunn. Isoperimetry via Brunn-Minkowski. 1-dimensional Brunn-Minkowski for measurable sets. Dimension-independent Brunn-Minkowski (only statement at the moment).	Book 2.2.
9.4.	[MT] Proof that the Dimension-independent Brunn-Minkowski implies Brunn-Minkowski. Generalization to the Prékopa-Leindler theorem and a proof of it. Measure concentration on a sphere and other spaces (statement only).	Book 2.2, 2.4.
16.4.	[MT] Concentration of Lipshitz functions - Lévy's lemma. Gromov's sphere waist theorem (statement only). Johnson-Lindenstrauss flattening lemma. Implied by Gaussian projection lemma. (Started preparations for the proof.)	Book 2.4, 2.5.
30.4.	[MT] Concentration of the norm of a random vector chosen w.r.t. standard normal distribution on a spherical shell. Proof of the Gaussian projection lemma. Initial notions from functional analysis: normed space, Banach space, equivalent norms. All norms on finitely dimensional normed spaces are equivalent, therefore all such spaces are Banach. Examples: p-norms on finitely-dimensional normed spaces, maximum and integral norm on continuous functions on [0,1], or more generally on a compact set.	Book 2.5.
7.5.	[RS] Examples of Banach spaces ( $\ell_\infty$ , $\ell_p$ , $L_p$ ). Banach contraction theorem.	[W]
14.5.	[RS] PLAN: Linear operators -- continuity, norm, etc.