Informace k přednášce Matematika++, LS 2017/2018

Ida Kantorová, Robert Šámal, Martin Tancer

Rozsah

Dvě hodiny přednášky a dvě hodiny cvičení týdně (2/2). Zápočet, zkouška.

Termín

Přednáška čtvrtek od 12:20 v S4, cvičení občasná. Začínáme 1.3. !!! Cvičení budou v pátek 12:20 v S11. odrobnosti o cvičeních viz stránka cvičícího.

Náplň

V moderní informatice se často používají matematické nástroje, které překračují rozsah matematických přednášek v bakalářském programu informatiky. V této přednášce se posluchači seznámí s poněkud zhuštěnými základy některých matematických odvětví, které se pro informatiku a diskrétní matematiku ukázaly zvlášť významné. pro představu se podívejte na témata minulých přednášek.

Letos se zaměříme na topologii -- jak ve smyslu zkoumání otevřených množin, spojitých zobrazení, atd. (tzv. množinová, či obecná topologie), tak zkoumání homotopií, homologíí, atd. (algebraická topologie).

Předpoklady

Zájem o matematiku, matematické znalosti zhruba v rozsahu informatického bakalářského studia na MFF UK. Navazovat budeme hlavně na analýzu, pravděpodobnost a lineární algebru.

Cvičení

Podstatná část cvičení bude spočívat v samostatné domácí práci posluchačů. Zápočet bude za vyřešení dostatečného množství příkladů.

Zkouška

Bude ústní, z teorie i příkladů. Ozvěte se emailem, domluvíme se na čase. (Ve zkouškovém budu jen první a poslední týden, ale možno i poté.)

Literatura

Většina probíraných témat je v knize I. Kantor, J. Matoušek, R. Šámal: Mathematics++ (měla by být v knihovně v dostatečném počtu). Pokud ne, ozvěte se.
pracovní verze v pdf

Dále také:
R. Engelking: General Topology.
John Leroy Kelley: General Topology.
V.V. Prasolov: Intuitive Topology (Mathematical World, Vol 4).
Allen Hatcher: Algebraic Topology.
Rozšíření: Ukázka kombinatorického významu simpliciálních komplexů a jejich topol. parametrů

Probraná témata

DatumObsahZdroje
1. 3.[IK] Úvod do obecné topologie. Připomenutí metrických prostorů; otevřené množiny a spojitá zobrazení v metrickém prostoru. Definice topologického prostoru; spojitá zobrazení mezi topologickými prostory; homeomorfismus topologických prostorů. Další důležité pojmy: podprostor, okolí, báze, subbáze, uzavřená množina, uzávěr, hranice, vnitřek. Vlastnosti: souvislost, křivková souvislost, komponenty souvislosti (křivkové souvislosti). Příklad s Cantorovou množinou (každý bod je komponenta souvislosti). Separabilní topologický prostor. Kniha kap. 6.1 a 6.2.
8. 3.[IK] Standardní příklady topologických prostorů (indiskrétní, diskrétní, topologie konečných a spočetných doplňků, Zariského topologie, Sorgenfreyova přímka a rovina, dlouhý paprsek, reálná přímka se zdvojenou nulou). Separační axiomy T2, T3, T4. Tietzeho věta o rozšíření (bez důkazu), Urysohnova metrizační věta (s důkazem). Definice kompaktnosti, poznámka o sekvenciální kompaktnosti. Lemma: uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktní, kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená, spojitá funkce zobrazí kompaktní množinu na kompaktní. Kniha kap. 6.2 a 6.3.
15. 3.[IK] Důkaz posledního lemmatu z minula. Součinová topologie, poznámka o box topology. Příklady: reálná rovina, Sorgenfreyova rovina, Cantorova množina. Bez důkazu: Součin Hausdorffových prostorů je Hausdorffův, Tichonovova věta (zmíněno cvičení: dokázat ji pro dva prostory). Aplikace: barvení nekonečných grafů. Věta (důkaz každý sám): Podmnožina Euklidovského prostoru je kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a omezená. Motivace homotopické ekvivalence. Homotopie, homotopická zobrazení, příklady. Homotopicky ekvivalentní prostory. Kniha kap. 6.3 a 6.4.
22. 3.[IK] Borsuk Ulam? Kniha kap. 6.5?
29. 3.[RS] Operace s topologickými prostory (faktorprostor, join). Kategorický pohled: velmi jemný úvod do teorie kategorií, definice součinu jako limity diagramu. Kniha kap. 6.6
5. 4.[RS] Simpliciální komplexy: abstraktní a geometrické, vztahy mezi nimi. Simpliciální zobrazení (a pomocí něj definované zobrazení na geometrické realizaci, užijí se barycentrické souřadnice). Kniha kap. 6.7
12.4.[RS] Joiny pro simpliciální komplexy. Příklady simpliciálních komplexů. CW komplexy a simpliciální množiny. (Podrobnější vysvětlení s pěknými obrázky.) Nevnořitelnost: motivace, věta van Kampen-Flores, její důkaz pomocí mazaného součinu, resp. joinu a simpliciálního mazaného joinu. Učební text kap. 6.7 a 6.8.
19.4.Plán: Homotopie a homologie - obrázkový úvod. Definice pointed space (bodnuté prostory), atd. Definice fundamentální grupy. Funktor. Náznak důkazu, proč je "křivka okolo díry" homotopicky netriviální. Učební text kap. 9 (ne celá).