Uvod do teorie cisel MAI040

Prednaska se konala v  pondeli v 15:40 - 17:10 v seminarni mistnosti KAM v malostranske budove. Zkouska je vzdy v patek od 9h, spolecne se zkouskou z Diskretni matematiky pro 1. rocnik. Prihlasujte se prosim emailem.

21. 10. 2002 1. Diofanticke aproximace. Dirichletova veta (|alfa - p/q| < 1/q^2 ma pro iracionalni alfa nekonecne mnoho reseni ve zlomcich p/q) a jeji aplikace: Kazde prvocislo p = 4n + 1 je souctem dvou ctvercu. Veta o Fareyovych zlomcich: Jsou-li a/b < c/d dva sousedni F. zlomky radu n, potom c/d - a/b = 1/bd. Hurwitzova veta (bez dukazu): zesileni Dirichletovy vety s pravou stranou 1/(5^{1/2}q^2), konstantu 5^{1/2} jiz nelze zvetsit.


28. 10. 2002 Prednaska se nekonala kvuli statnimu svatku. 

4. 11. 2002 Liouvilleova veta o aproximaci algebraickeho cisla a jeji dusledek: cislo 0.1100010000000000000000001000... je transcendentni. Hilbertuv dukaz transcendence Eulerova cisla e=2.71828... . 

11. 11. 2002 Poznamka o Thueho a Rothove vete o aproximovani algebraickych cisel. 2. Diofanticke rovnice. Aritmeticky dukaz Lagrangeovy vety o 4 ctvercich: Kazde nezaporne cele cislo je souctem 4 ctvercu. Poznamka o Jacobiho formuli pro pocet techto vyjadreni ( r_4(n) = 8.soucet tech delitelu cisla n, ktere nejsou nasobek  4). Pellova rovnice x^2 - d.y^2 = 1 a zacatek dukazu, ze ma vzdy (kdyz d > 0 neni ctverec) netrivialni reseni. Prednaska byla zkracena asi o 10 minut, protoze zhaslo svetlo - stavbari vypnuli elektrinu.

18. 11. 2002 Dokonceni dukazu z minula. Struktura reseni Pellovy rovnice: kladna reseni tvori nekonecnou cyklickou grupu vzhledem k nasobeni. Zobecnena Pellova rovnice. Aplikace: nekonecne mnoho celociselnych reseni rovnice x^3 + y^3 + z^3 + w^3 = 2, jejich vsechny slozky jdou v abs. hodnote do nekonecna. 3. Geometrie cisel. Racionalni parametrizace krivky  X^2 + Y^2 = 1 dava Pythagorejske trojice. 

25. 11. 2002 Dokonceni dukazu z minule. Mrizky v R^n, baze mrizek. Objem rovnobezniku (ci rovnobeznostenu) pomoci determinantu. Zakladni rovnobeznik mrizky - jeho objem nezavisi na volbe baze. Dukaz vety o Fareyovych zlomcich z 1. prednasky pomoci rovinnych mrizek. Minkowskiho veta: konvexni a stredove symetricke teleso v R^n, ktere ma objem vetsi nez 2^n krat objem mrizky, obsahuje prvek mrizky ruzny od pocatku. 

2. 12. 2002 Mordelluv dukaz Minkowskiho vety. Dukaz Lagrangeovy vety o 4 ctvercich pomoci Minkowskiho vety. Gaussuv kruhovy problem a Dirichletuv problem delitelu; dukaz asymptotiky d(1) + d(2) + ... d(N) = N.log N + (2g-1).N + O(N^{1/2}), kde d(n) je pocet delitelu n a g je Eulerova-Mascheroniova konstanta.

9. 12. 2002 4. Prvocisla. 4 dukazy nekonecnosti poctu prvocisel: Eukliduv (klasika, sporem), Euleruv (zeta(s)->oo pro s->1+), Erdosuv (kazde n<=x napiseme jako n=k^2.l, kde l je bezctvercove, pro k mame nejvyse x^{1/2} moznosti, pro l nejvyse 2^{pi(x)} atd.) a Golbachuv (polozime A_0=1 a A_{n+1}=A_0.A_1...A_n + 1, cisla A_n jsou po dvou nesoudelna a tedy je nekonecne mnoho prvocisel; klasicky G. dukaz ma rekurenci F_0=3 a F_{n+1}=F_0.F_1...F_n + 2, coz dava explicitne F_n=2^{2^n}+1). Dukaz Cebysevovskeho odhadu c_1.x/log x < pi(x) < c_2.x/log x. 

16. 12. 2002 5. Kongruence. Kvadraticke zbytky a nezbytky. Zakladni vlastnosti: modulo p>2 je presne (p-1)/2 kv. zb. a (p-1)/2 kv. nezb. Legendreuv symbol (a/p) a jeho vlastnosti: je multiplikativni a (a/p) je a^{(p-1)/2} modulo p. Gaussovo lemma. Reciprocita sumy S(a,b). Dukaz zakona reciprocity kvadratickych zbytku ((p/q)(q/p) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}) a jeho dvou doplnku ((-1/p) = (-1)^{(p-1)/2} a (2/p) = (-1)^{(p^2-1)/8}).

6. 1. 2003 6. Ciselne rozklady. Kompozice a rozklady. Formule pro pocty vsech kompozic cisla n, kompozic s k castmi, kompozic na casti 1 a 2 a kompozic na casti >1. Rozkladova funkce p(n) a soucinovy tvar jeji generujici funkce. Eulerova identita: pocet rozkladu n na liche casti je tyz jako pocet rozkladu n na ruzne casti. Eulerova pentagonalni identita: (1) (1-x)(1-x^2)(1-x^3) = ??? (2) # rozkladu n na lichy pocet ruznych casti = # ... sudy ... (s vyjimkou pentagonalnich n) (3) p(n) = p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-... . 

 

leden 2003