Uvod do teorie cisel MAI040
4. 10. 2000: 1. Diofanticke aproximace. Aproximace realnych
cisel zlomky p/q s presnosti <1/q^2, Dirichletova veta:
kazde irac. cislo ma nekonecne mnoho takovych aproximaci. Dukaz Eulerovy
vety (kazde prvocislo p=4n+1 je soucet dvou ctvercu) pomoci diof.
aproximaci. Fareyovy zlomky a Cauchyho veta (rozdil sousednich F. zlomku
je nejmensi mozny). DOM CV: Dokazte, ze pro tri sousedni F. zlomky
a/b<c/d<e/f plati c/d=(a+e)/(b+f).
11. 10. 2000: Prednaska odpadla. 4.10. byl nicmene rozdan studijni
text-Hurwitzova veta a jeji dukaz, definice retezovych zlomku.
18. 10. 2000: Shrnuti vlastnosti retezovych zlomku. Realne cislo
ma periodicky retezovy rozvoj, prave kdyz je kvadratickou iracionalitou
(Lagrange), bez dukazu. Poznamky o retezovych rozvojich cisel 2^{1/3},
e a pi. Definice algebraickych a transcendentnich cisel. Liouvilleova
veta: je-li a realne algebraicke cislo stupne n > 1, plati
pro kazdy zlomek p/q nerovnost |a-p/q| > c/q^n, kde c>0
zavisi jen na a. Takze cislo 0.11000100000000000000000100...
je transcendentni. Hermiteova veta: cislo e = 2.71828... je
transcendentni; zacatek Hilbertova dukazu.
25. 10. 2000: Dokonceni Hilbertova dukazu trancendence cisla
e. Lindemannova veta: i cislo pi = 3.14159... je transcendentni;
bez dukazu. 2. Diofanticke rovnice. Charakterizace pythagorejskych
trojic: reseni rovnice x^2 + y^2 = z^2 v prir. cislech se dostanou
ze vzorcu z = a^2+b^2, y = a^2-b^2, x = 2ab . Pellova rovnice x^2-dy^2
= 1 (d je prirozene a neni ctverec). Lagrangeova veta:
kazda Pellova rovnice ma netrivialni reseni (ruzne od +-1,0). Dukaz
pomoci diof. aproximaci. Reseni Pelliany, napr. x^2-2.y^2 = 1, se
dostanou umocnovanim jednoho reseni: (3+2^{1/2})^2 = 17+12.2^{1/2},
(3+2^{1/2})^3 = 99+70.2^{1/2}, ...
1. 11. 2000: Struktura reseni Pelliany x^2-dy^2=1:
mnozina {a+bd^{1/2}>0: a,b je celociselne reseni} je nekonecna multiplikativni
cyklicka grupa. Tvrzeni o zobecnene Pelliane: ma-li x^2-dy^2=m reseni,
ma nekonecne mnoho reseni. Tri aplikace Pelliany. 1. Cislo n nazveme
mocnym , ma-li kazde prvocislo v rozkladu n exponent alespon
2. Dokazte, ze existuje nekonecne mnoho dvojic n, n+1 mocnych cisel.
2. Desaty Hilbertuv problem z r. 1900. Existuje algoritmus, ktery by rozhodoval
resitelnost diofantickych rovnic? V r. 1970 Matijasevic dokazal, ze neexistuje.
V dukazech hraje Pelliana (specialniho tvaru x^2-(a^2-1)y^2=1) klicovou
roli. 3. Redukci na Pellianu jsme si dokazali, ze x^3+y^3+z^3+w^3=2
ma nekonecne mnoho reseni. Lagrangeova veta: kazde nezaporne cele cislo
je souctem ctyr ctvercu; aritmeticky dukaz.
8. 11. 2000: Jacobiho veta: pocet vyjadreni cisla n souctem
4 ctvercu je 8.(soucet lichych delitelu n) pro liche n a
24.(tyz soucet) pro sude n; bez dukazu. Thueho veta: F(x,y) =
m, kde F je ireducibilni celociselna forma stupne alespon 3
a m je cele, ma jen konecne mnoho reseni; bez dukazu. 3. Geometrie
cisel. Odvozeni vzorcu pro pythagorejske trojice pomoci racionalni
parametrizace kruznice X^2+Y^2=1. Mrizky v R^n, zakladni
rovnobeznik mrizky. Posuny z. rovnobezniku o prvky mrizky rozkladaji R^n.
Jeho objem je |det(matice baze)| ; bez dukazu. Objem z. rovnobezniku
nezavisi na volbe baze. Dukaz vety o Fareyeovych zlomcich (z 1. prednasky)
pomoci mrizky. Minkovskeho veta: je-li L mrizka v R^n a M
konvexni, omezene a stredove soumerne teleso s objemem > 2^n.Vol(L),
obsahuje M krome pocatku dalsi bod z L. DOM CV: uloha
o nemeckem lesiku.
15. 11. 2000: Dukaz Minkowskeho vety, druhy dukaz (Mordelluv).
Dukaz Lagrangeovy vety o 4 ctvercich pomoci M. vety. Gaussova veta: r_2(0)+r_2(1)+...+r_2(n)
= pi.n+O(n^{1/2}), kde r_2(n) je pocet vyjadreni n souctem
dvou celociselnych ctvercu. Lemma: 1/1+1/2+...+1/n=log n+g+O(1/n),
kde g=0.57221... je Eulerova-Mascheroniova konstanta. Dirichletova
veta: d(1)+d(2)+...+d(n)=n.log n+(2g-1)n+O(n^{1/2}), kde d(n)
je pocet delitelu n. P. Kalhous: reseni ulohy o nemeckem lesiku
pomoci Fareyovych zlomku.
22. 11. 2000: P. Klusacek: reseni ulohy o nemeckem lesiku pomoci
Minkowskiho vety. Dukaz lemmatu z predchozi prednasky. Poznamky o kruhovem
problemu a problemu delitelu. 4. Prvocisla. Ctyri dukazy nekonecnosti
poctu prvocisel: 1. Eukliduv (sporem), 2. Goldbachuv (z nesoudelnosti Fermatovych
cisel F_n=2^{2^n}+1), 3. Euleruv (z Eulerovy identity prod (1-p^{-s})^{-1}
= 1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+..., s>1) a 4. Erdosuv (z rozkladu m=k^l,
l je ctvercuproste). Lemma: log 1 + log 2 + ... + log n = n.log
n - n + (1/2)log n + c + O(n^{-1}). Formulace Cebysevovy vety.
Mangoldtova funkce a lemma pro ni.
29. 11. 2000: Dalsi lemma pro Mangoldtovu funkci a lemma pro
Cebysevovu funkci. Dukaz Cebysevovy vety: x/log x << pi(x) <<
x/log x. Abelova sumace. Mertensova veta: 1. soucet log p/p
pro p<x je log x + O(1), 2. soucet 1/p pro
p<x je log log x + c + O(1/log x) a 3. soucin 1-1/p
pro p<x je c/log x + O(log^{-2} x). Prumerny a normalni
rad funkce. Tvrzeni: funkce om(n) (pocet prvocinitelu) a
Om(n) (pocet prvocinitelu s nasobnostmi) maji prumerny rad log
log x.
6. 12. 2000: Dokonceni dukazu prum. radu funkce Om(n).
Hardyho-Ramanujanova veta: om(n) i Om(n) jsou skoro vzdy
log log n; Turanuv dukaz. Tvrzeni (dusledek Hardy-Ramanujanovy v.):
pocet delitelu d(n) skoro vzdy lezi mezi (log n)^{log 2 - eps}
a (log n)^{log 2 + eps}. Uloha o nasobilce: je pocet ruznych vysledku
soucinu ab pro cisla 1 < a, b < n radu o(n^2) nebo
je > cn^2? 5. Kongruence. Definice kvadratickeho zbytku a
nezbytku. Tvrzeni: modulo p>2 je (p-1)/2 kv. zbytku i kv.
nezbytku. Legendreuv symbol a jeho zakladni vlastnosti (Eulerovo kriterium,
multiplikativita). Formulace kvadratickeho zakona reciprocity a obou jeho
doplnku.
13. 12. 2000: Gaussovo lemma: (a/p) = -1^{m(a)}
= -1^{n(a)} , kde n(a) je pocet tech zbytku cisel 1.a,
2.a, ..., ((p-1)/2).a pri deleni p, ktere jsou vetsi nez (p-1)/2
a m(a) je definovano podobne. Dukaz druheho doplnku: (2/p)
= (-1)^{(p^2-1)/8}. Lemma o sume a dukaz kvadratickeho zakona reciprocity
(Gauss 1796): (p/q) = (q/p).(-1)^{(p-1)(q-1)/4}. Chevalley-Warningova
veta: ma-li polynomialni soustava nad kon. telesem GF(p^r) soucet
stupnu mensi nez pocet neznamych, je pocet jejich reseni delitelny p;
dukaz priste. Lemma o souctu m-tych mocnin v kon. telese. Formulace
Erdos-Ginzburg-Zivovy vety.
20. 12. 2000: Dukaz Chevalley-Warningovy vety. Dukaz Erdos-Ginzburg-Zivovy
vety. Dalsi pouziti Ch.-W. vety: kazdy multigraf vznikly ze 4-regularniho
multigrafu pridanim jedne hrany obsahuje 3-regularni podmultigraf. Dukaz
kvadraticke reciprocity pomoci komplexnich cisel; jedno lemma dokazeme
az v pristim tisicileti.
3. 1. 2001: Dukaz zbyvajiciho lemmatu (pro dk. kv. reciprocity).
6. Ciselne rozklady. Definice, znaceni, Ferreruv diagram, generujici
funkce. Eulerova veticka: pocet rozkladu n na ruzne casti = pocet
r. n na liche casti; dukaz generujicimi funkcemi a dukaz bijektivni.
Jednoduse z F. diagramu: pocet r. n na k casti = pocet r.
n na casti, z nich nejvetsi je rovna k. Dalsi Eulerova veta:
a) (1+x)(1+x^3)(1+x^5)... = 1 + x/(1-x^2) + x^4/((1-x^2)(1-x^4)) + x^9/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
+ ... b) (1+x^2)(1+x^4)(1+x^6)... = 1 + x^2/(1-x^2) + x^6/((1-x^2)(1-x^4))
+ x^{12}/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + ... ; dukaz pomoci gen. funkci a
dukaz a) pomoci rozkladu a bijekci.
10. 1. 2001: Jednoducha ale pekna identitka: pocet r. a-c
na b-1 casti velkych nejvyse c = pocet r. a-b na
c-1 casti velkych nejvyse b. Eulerova pentagonalni identita
ve trech formulacich, dukaz pomoci Ferrerovych diagramu. Odhad partitni
funkce: pro n>2 plati p(n) < (pi/(6(n-1))^{1/2}).exp(pi.(2n/3)^{1/2}).
Par zajimavosti o rozkladech bez dukazu: Rogers-Ramanujanovy identity,
presna asymptotika p(n), kongruencni vlastnosti p(n).
leden 2001