Teorie čísel DMI045

Přednáška se konala v pátek v 8:30-10:00 ve 2. patře malostranské budovy na chodbě KAM.

Zkouška. Terminy po domluvě (emailem, osobněm, ...). Témata 1-3 vyžaduji jen přehledově - umět popsat celkovou strukturu důkazu hlavní věty. Témata 4 a 5 detailně.

12.3.2004 1. Dirichletova věta o prvočíslech (z r. 1837). DV říká: Pro každá dvě nesoudělná přir. čísla a, b existuje prvočíslo p kongruentní a modulo b(ekvivalentně: ... existuje nekonečně mnoho prvočísel p kongruentních a modulo b). Připomenutí Euklidova a Eulerova důkazu nekonečnosti počtu prvočísel. Nekonečnost počtu prvočísel tvaru 4n-1 (Euklidovým důkazem) a tvaru 4n+1 (pomocí kvadratických zbytků). Jiný důkaz téhož analyticky pomocí funkcí L(s, chi₁) a L(s, chi₃) - speciální případ Dirichletovy metody. Charaktery konečných Abelových grup a jejich vlastnosti. L1:G cyklická řádu n -> grupa charakterů ch(G) též cyklická řádu n.

19.3.2004 Další vlastnosti charakterů. L2: Každý charakter podgrupy lze rozšířit na charakter celé grupy. L3: Je-li H podgrupa G, je podgrupa (grupy ch(G)) charakterů identicky rovných 1 na H izomorfní grupě ch(G/H). T4: Pro každou (konečnou Abelovu) grupu G platí |G| = |ch(G)|. L5: Evaluační zobrazení g |-> (chi |-> chi(g)) je izomorfismus grup G a ch(ch(G)). L6: Má-li a z G řád f a g=|G|/f, platí identita Součin (1 - chi(a)x) = (1 - x^f)^g(násobíme přes všechny charaktery chi z ch(G)). T7 (ortogonalita): součet chi(a) přes všechny prvky a z G je |G| pro hlavní charakter chi a je 0 pro ostatní chi, týž součet přes všechny charaktery chi z ch(G) je |G| pro a=1_Ga je 0 pro ostatní prvky grupy. L8: Jsou-li 0<a<b dvě reálná čísla a z=x+iy, x>0, je komplexní číslo, platí nerovnost |exp(-az) - exp(-bz)| <= |z/x|.(exp(-ax) - exp(-bx)). L(s, chi) pro komplexní s a charakter chi grupy G(m) (= multiplikativní grupa zbytkových tříd mod m nesoudělných s m) definujeme jako nekonečný součet chi(1).1^-s + chi(2).2^-s + ... T9: a) Pro hlavní chi řada L(s, chi) konverguje pro Re(s)>1 a b) pro nehlavní chi tato řada konverguje pro Re(s)>0. Důkaz části b) příště.

26.3.2004 Důkaz toho b). Připomenutí výsledků z komplexní analýzy (holomorfní funkce, mocninné řady, rozvoj holom. funkce do m. řady, rozšiřování holom. funkcí, singularita, lokálně stejnoměrná limita holom. funkcí je zase holom., definování holom. funkce integrací podle parametru). T10: zeta(s) = 1^-s+2^-s+... se do Re(s) > 0 dá rozšířit jako (s-1)^-1 + holom. funkce. T11: Nechť chi je charakter modulo m, potom v Re(s) > 0 (i) L(s, chi) je holom. pro nehlavní chi a (ii) L(s, chi₀) = c(s-1)^-1 + holom. funkce pro hlavní chi₀. Důkaz příště.,

2.4.2004 T12: Nechť a₁.1^-s + a₂.2^-s + ... je Dirichletova řada s reálnými a nezápornými koeficienty a_na t₀ je infimum reálných s=t, pro něž konverguje. Pak tato řada v Re(s) > t₀ definuje holomorfní funkci se singularitou t₀. T13: Součin_chi L(s, chi) = Součin_p(1 - p^-f(p)s)^-g(p) , kde f(p) je řád p modulo m a g(p) je fi(m)/p (první součin je přes všechny charaktery mod m a druhý je přes všechna prvočísla nedělící m). T14: Pro každý nehlavní charakter chi mod m je hodnota L(1, chi) nenulová. T15: Položíme-li f_chi(s) = suma_p chi(p)/p^s , je tato funkce pro s -> 1⁺ neomezená pro hlavní chi a omezená pro každý nehlavní chi (modulo m). Nyní už důkaz D. věty dostaneme úplně stejně jako jsme ho dostali pro modul m = 4 v první přednášce.
2. Prvočíselná věta (z r. 1896). PV říká: pi(x) (= počet prvočísel nepřesahujících x) ~ x/log(x). T1: zeta(s) - (s-1)^-1má holomorfní rozšíření do Re(s) > 0 (fakticky do celé C) - to už jsme si dokázali ve 3. přednášce (T10). T2: zeta(s) je nenulová pro Re(s) >= 1. Důkaz příště.

9.4.2004 Nenulovost zeta(s) pro Re(s) = 1 (pomocí funkce G(u+it) = zeta(u)³.zeta(u+it)⁴.zeta(u+2it)). T3: Funkce F(s) - (s-1)^-1má holomorfní rozšíření do Re(s) >= 1, přičemž F(s) = suma_p log p/p^s.T4: Prvočíselná věta je ekvivalentní asymptotice ce(x) ~ x , kde ce(x) = suma_{p
<= x} log p je Čebyševova funkce. T5: V Re(s) > 1 platí identita F(s) = s.integrál₀^ooce(e^t).e^-st dt.V6 (Wiener a Ikehara, 1932) Nechť f(t) je omezená reálná funkce definovaná pro t >= 0, která má integrál přes každý kompaktní interval, a g(z) = integrál₀^oof(t).e^-zt dt je její Laplaceova transformace (která definuje v Re(z) > 0 holomorfní funkci). Má-li g(z) holomorfní rozšíření do Re(z) >= 0, integrál₀^oof(t) dt konverguje (a rovná se g(0)). Důkaz až příště. T7: integrál₁^oo(ce(x) - x).x^-2 dx konverguje. Důkaz Prvočíselné věty: kdyby limita podílu ce(x)/x nebyla 1, dostáváme spor s T7.

16.4.2004 Rekapitulace: schéma důkazu Prvočíselné věty. Opakování komplexní analýzy (křivky a integrály přes křivky, Cauchyho věta a Cauchyho formule, rezidua, Morerova věta). Důkaz V6, ještě se podíváme podrobněji na odhad integrálu I₃.

23.4.2004 Dokončení a rekapitulace důkazu V6. Poznámky o dvou nedávných významných, průlomových a senzačních pokrocích v teorii prvočísel: "PRIMES is in P" (M. Agrawal, N. Kayal a N. Saxena, srpen 2002) a "The primes contain arbitrarily long arithmetic progessions" (B. Green a T. Tao, duben 2004). 3. Snirelmanova věta (z r. 1930). SV říká: Existuje konstanta h tak, že každé přirozené číslo větší než 1 je součet nejvýše h prvočísel. Snirelmanova hustota š(A). T1: Jednoduché vlastnosti š(A). T2: š(A + B) >= š(A) + š(A) - š(A)š(B), kde A a B jsou podmnožiny N₀= {0, 1, 2, ...} obsahující nulu. V3: Každá podmnožina A množiny N₀, která obsahuje 0 a splňuje š(A) > 0, je aditivní bazí. Nechť r(n) označuje počet vyjádření n jako součtu dvou prvočísel. T4: r(n) << (n/log²n).součin_p(1 + 1/p), kde násobíme přes všechna prvočísla dělící n - dokázat toto představuje nejnáročnější část důkazu S. věty, zatím to odložíme. Implikace: T4 -> L5: š({1} U (P + P)) > 0 (P je množina prvočísel); tuto implikaci dokážu příště. Díky V3 a po jednoduchém nahrazení jedniček v součtu dvojkami a trojkami máme dokázanou Snirelmanovu větu. Zbývá dokázat implikaci a hlavně T4.

30.4.2004 Důkaz implikace pomocí Cauchy-Schwarzovy nerovnosti a odhadu sum_{i <= n}(součin_p|i(1 + 1/p))²<< n. Pro důkaz T4 nejprve odvodíme různé pomocné výsledky. Möbiova funkce mu(n). L6: sum_d|nmu(d) = 0 pro n=1 a =0 pro n>1. T7: Möbiova inverzní formule. Nechť z>0 je reálné, D = {n je v N: n<z & n je bezčtvercové}, g: N -> (0, 1] je úplně multiplikativní funkce splňující g(1)=1 a 0<g(n)<1 pro n>1, f je multiplikativní funkce daná vztahem f(n) = sum_d|nmu(d)/g(n/d), alfa_d= sum_{dk je v D}1/f(k) a lambda_d^* = mu(d)alfa_d/ (f(d)g(d)alfa₁) (d je v D). L8: lambda₁^* = 1 a |lambda_d^*| <= 1 pro každé d z D.

7.5.2004 L9: Pro každé k z D platí, že sum g(d)lambda_d^* = mu(k)/(alfa₁.f(k)), kde sčítáme přes d z D dělitelné k. L10: G(lambda_d^* : d z D) = 1/alfa₁, kde G(lambda_d : d z D) je kvadratická forma sum_{d,e z D} g(d)lambda_d.g(e)lambda_e.g((d,e))^-1. L11: alfa₁ >= sum_k<z g(k). V12 (Selberg, 1947): Nechť A je konečná posloupnost přir. čísel, pro d z D je r_ddefinováno vztahem #(a z A: d dělí a) = g(d).|A| + r_da S(A, z) = #(a z A: (a,d)=1 pro každé d z D) (tj. S(A, z) je počet těch prvků z A, které nemají žádného prvočinitele <z). Potom S(A, z) <= |A|/sum_k<z g(k) + sum_d<z.z 3^omega(d).|r_d|. Aplikace V12: konečně důkaz T4, dokončení příště.

14.5.2004 Dokončení důkazu T4 (horní odhad počtu vyjádření n jako součtu dvou prvočísel) pomocí V12 (Selbergovo síto). 4. Další důkaz kvadratické reciprocity (S. Y. Kim, poznámka v AMM, leden 2004). Nechť p a q jsou různá lichá prvočísla. L1: Součin čísel od 1 do (pq - 1)/2 nesoudělných s pq je kongruentní (-1)^(q-1)/2 .(q/p) modulo p a (-1)^(p-1)/2 .(p/q) modulo q. L2: Tento součin je 1 nebo -1 modulo pq, právě když p i q jsou 1 modulo 4; důkaz příště. Z L1 a L2 už zákon reciprocity kvadratických zbytků bezprostředně plyne.

21.5.2004 Důkaz L2. 5. Kombinatorický důkaz věty o 2 čtvercích (Heath-Brown, 1984). Věta říká, že každé prvočíslo p kongruentní 1modulo 4 lze vyjádřit jako p = a² + b²pro přir. čísla a a b. Důkaz používá 3 zobrazení f, g, h : S -> S, kde S = {(x,y,z) v Z³: x,y>0 & 4xy + z² = p}, definovaná f: (x,y,z) |-> (y,x,-z), g: (x,y,z) |-> (x-y+z,y,2y-z) a h: (x,y,z) |-> (y,x,z). První z nich je involuce na S ukazující, že podmnožiny T (prvky z S s kladným z) a U (prvky z S s kladným x-y+z) mají stejný počet prvků. Druhé zobrazení g je involuce na U s jediným pevným bodem, tudíž má U (a tedy i T) lichý počet prvků. Třetí zobrazení h je involuce na T, která podle předchozího má nutně pevný bod. Ovšem pevnému bodu h odpovídá vyjádření p součtem dvou čtverců.

květen 2004