Teorie cisel DMI045
Prednaska navazuje pokrocilejsimi partiemi na "Uvod do do teorie cisel"
ze zimniho semestru.
-
22. 2. 2001 Dukaz rozvoje cisla e do retezoveho zlomku: e
= 2.71828... = //2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,...//. Prednaska
pro nemoc prednasejiciho ukoncena drive.
-
1. 3. 2001 Eulerova-Riemannova funkce zeta(s), jeji hodnoty
v celych cislech. Euleruv "dukaz" identity zeta(2) = pi^2/6. Dukaz
Aperyho vety: zeta(3) je iracionalni. Dukaz dvou lemmat priste.
-
8. 3. 2001 Dukazy zbyvajicich dvou lemmat z dukazu Aperyho vety.
Zacatek dukazu Schnirelmanovy vety: kazde n>1 je soucet omezene
mnoha prvocisel. Schnirelmanova hustota, Sch.-ova nerovnost (s(A+B)
>= s(A)+s(B)-s(A)s(B), dukaz priste) a Sch.-ova veta (s(A)>0
-> A je bazi). Zbyva "jen " dokazat horni odhad pro pocet reseni
r(n) rovnice n = p+q.
-
15. 3. 2001 Dukaz Sch-ovy nerovnosti. Dukaz toho, ze odhad r(n)
(=pocet reseni n = p+q) << n.log(n)^{-2}.P(n),
kde P(n) je soucin (1+1/p) pres prvocinitele n, implikuje,
ze mnozina {1, p+q: p, q prvocisla} ma kladnou Sch-ovu
hustotu (a je tedy bazi a tedy plati Sch-ova veta). Zacatek dukazu odhadu
r(n): formulace jednoho komplikovaneho lemmatu.
-
22. 3. 2001 Dukaz lemmatu se 4 castmi. Selbergovo sito: A bud
kon. posloupnost prir. cisel, g uplne multiplikativni funkce splnujici
g(1)=1 a 0<g(n)<1 pro n>1 a r_d bud rozdil
(pocet n v A delitelnych d) - g(d).|A|. Potom
pocet n v A, ktere nemaji prvocinitele mensiho nez z,
je nejvyse |A|/(g(1)+g(2)+...+g(z)) + sum_{n<z^2} 3^{om(n)}.|r_n|,
kde om(n) je pocet prvocinitelu cisla n.
-
29. 3. 2001 Dokonceni dukazu Schnirelmanovy vety: dukaz odhadu r(n)
<< n.log(n)^{-2}.P(n) (definice viz vyse) pomoci Selbergova sita.
Zacatek dukazu Prvociselne vety (PV), ktera ve sve slabe formulaci rika,
ze pi(x) (= pocet prvocisel nepresahujicich x) se asymptoticky
chova jako x/log x. Ekvivalence s asymptotikou ceb(x) ~ x,
kde ceb(x) je Cebysevova funkce (soucet log p pro p nepresahujici
x) a definice zeta funkce zeta(s)=1^{-s}+2^{-s}+...
-
5. 4. 2001 Tvrzeni 1: zeta(s)-1/(s-1) ma holomorfni rozsireni
na polorovinu Re(s)>0. Tvrzeni 2: zeta(s) je nenulova v uzavrene
polorovine Re(s)>=1. Tvrzeni 3: Funkce F(s)-1/(s-1), kde
F(s)=sum_p log(p)/p^s, ma holomorfni rozsireni na uzavrenou polorovinu
Re(s)>=1. Tvrzeni 4: V Re(s)>1 plati identita F(s)=s.int_0^{nekon}
ceb(e^t).e^{-ts} dt (ceb(x) je Cebysevova funkce). Formulace
Vety 5 (Wienera a Ikehary), dukaz priste, a Tvrzeni 6: Integral od 1 do
nekonecna z (ceb(x)-x)/x^2 konverguje (aplikace Vety 5).
-
12. 4. 2001 Nejprve dukaz teto implikace: Integral od 1 do nekonecna
z (ceb(x)-x)/x^2 konverguje -> ceb(x) ~ x (tj. PV). Veta
Wienera a Ikehary: Necht f je omezena realna funkce, g(z) = integral
od 0 do nekonecna z f(t).exp(-zt).dt (g(z) je holomorfni
v Re(z)>0) a g(z) ma holomorfni rozsireni do uzavrene poloroviny
Re(z)>=0. Pak integral od 0 do nekonecna z f(t).dt konverguje
a rovna se g(0). Dukaz elementarni komplexni analyzou podle Newmana.
Tim je dukaz PV dokoncen. Informativne o abc domnence. Zadani referatku:
p. Dvorak: abc domnenka pro polynomy, p. Jelinek: asymptotika partitni
funkce pro rozklady na casti z konecne mnoziny A a sl. Spoustova:
kv. reciprocita pomoci konecnych teles.
-
19. 4. 2001 Prednaska odpadla kvuli Jarni kombinatoricke skole.
-
26. 4. 2001 Referatek p. Dvoraka (Masonova veta, tj. abc domnenka
pro polynomy plati, dusledek: p^n+q^n=r^n nema pro n>2 pro
nesoudelne polynomy p,q,r reseni).
-
3. 5. 2001 Referatek sl. Spoustove (dukaz zakona kvadraticke reciprocity
pomoci konecnych teles a Gaussovych sum) a zacatek referatku p. Jelinka
(p_A(n)=(a_1a_2...a_k)^{-1}.n^{k-1}/(k-1)! + O(n^{k-2}), kde p_A(n)
je pocet vyjadreni n pomoci scitancu z konecne mnoziny prir.
cisel A={a_1,a_2,...,a_k}, pricemz a_i jsou vesmes nesoudelna
cisla).
-
10. 5. 2001 dokonceni referatku p. Jelinka. Referatek p. Saturky
(konstrukce pravidelneho 17-ti uhelnika pomoci pravitka a kruzitka aneb
jak vypocitat cos(2.pi/17) pomoci druhych odmocnin).
-
17. 5. 2001 Dokonceni referatku p. Saturky (predvedeni konkretni
euklidovske konstrukce prav. 17-ti uhelnika). Referatek p. Stoly: Jacobiho
trojsoucinova identita (1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)... . (1+qt)(1+q^3t)(1+q^5t)...
. (1+q/t)(1+q^3/t)(1+q^5/t)... = 1+q.(t+1/t)+q^4.(t^2+1/t^2)+q^9.(t^3+1/t^3)+...
, jeji dukaz pomoci Ferrerovych diagramu a jeji dusledky, zejmena dukaz
kongruence p(5n+4) = 0 mod 5 (p(n) je klasicka rozkladova
funkce).
-
24. 5. 2001 Prednaska odpadla kvuli pobytu prednasejiciho na konferenci.
kveten 2001