Úvod do teorie čísel, NMAI040, ZS 2019/20

Pravidelná každoroční přednáška. Co jsem přednášel v předchozích letech lze nalézt zde. K přednášce jsem napsal učební text v angličtině, zde jsou k němu opravy a doplňky. Přednáška je v pátek v S6 ve 14:30-16:00. Literatura: skoro vše, co přednáším, lze nalézt v klasické knize G.H. Hardy & E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Další případná literatura bude uvedena během přednášky.
Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zkušební otázky (aktuální): 1a. Dirichletova věta o diof. aproximacích a její aplikace. 1b. Existence transcendentních čísel: Liouvilleova nerovnost. 1c. Důkaz transcendence čísla e. 2a. Teorie Pellovy rovnice. 2b. Lagrangeova věta o 4 čtvercích, aritmetický důkaz.   3a. Mřížky a jejich vlastnosti,  Fareovy zlomky pomocí mřížek. 3b. Geometrický důkaz Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích. 4a. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce pi(x). 4c. Podejte 5 (pět) důkazů nekonečnosti počtu prvočísel. 5. Teorie kvadratických zbytků včetně zákona reciprocity. 6a. Dokažte Eulerovu pentagonální identitu. 6b. Dokažte Eulerovu identitu ''různé části versus liché části'' pomocí GF a pomocí bijekce.
1. přednáška 11. 10. 2019. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta: |a - p/q| < q^{-2} má pro každé iracionální reálné číslo a nekonečně mnoho racionálních řešení p/q, důkaz pomocí holubníku. Lemma: -1 je kvadratický zbytek modulo každé prvočíslo p = 1 + 4n, důkaz rozkladem F_p^* na bloky tvaru {x, -x, 1/x, -1/x}. Důsledek je Fermatova-Eulerova věta o 2 čtvercích: každé prvočíslo p = 1 + 4n je tvaru x^2 + y^2, důkaz pomocí Lemmatu a Dirichletovy věty. Dirichletovu větu lze dokázat i řetězovými zlomky a Fareyovými zlomky, obojí jsme si definovali.
2. přednáška 18. 10. 2019. Základní vlastnost Fareyových zlomků: když a/b < c/d jsou dva sousední F. zlomky řádu n, pak c/d - a/b = 1/bd, důkaz. Fareyovy zlomky vlastně dokazují, že pro každé iracionální číslo a má trochu silnější nerovnost |a - p/q| < 1/2q^2 stále nekonečně mnoho racinálních řešení p/q. Nejlepší zesílení má místo 2 konstantu 5^{1/2}, což je obsahem tzv. Hurwitzovy věty, kterou jsme si nedokázali. Další aplikací Dirichletovy věty je Lagrangeova věta o existenci netriviálního řešení Pellovy rovnice: pro každé celé číslo d > 0, jež není čtverec, existují celá čísla a, b > 0, že a^2 - db^2 = 1, důkaz. Řekli jsme si tzv. Liouvilleovu nerovnost (a že implikuje transcendenci čísla a = 0.11000100000000000000000100...): je-li a iracionální algebraické (reálné) číslo stupně n, pak existuje kladná konstanta c=c(a), že pro každý zlomek p/q je |a - p/q| > c/q^n, důkaz příště.
3. přednáška 25. 10. 2019. Důkaz Liouvilleovy nerovnosti. Důsledek: je-li a takové iracionální reálné číslo, že pro každé n existuje zlomek p/q splňující q > 1 a |a - p/q| < 1/q^n, potom je a transcendentní. Zesílení Liouvilleovy nerovnosti: Thueho nerovnost z r. 1909 (exponent n se nahradí exponentem 1+e+n/2 pro lib. malé e>0) a Rothova věta z r. 1955 (... 2+e ...), bez důkazu. Thueho nerovnost implikuje konečnost počtu řešení Thueho rovnic v celých číslech, ale je neefektivní, nedává žádný odhad na velikost těchto řešení. Efektivně Thueho rovnice vyřešil až A. Baker v r. 1968. Hermiteova věta z r. 1873: číslo e=2.71828... je transcendentní, důkaz podle D. Hilberta (z r. 1893).
4. přednáška 1. 11. 2019. 2. Diofantické rovnice. Informativně o třech významných diofantických výsledcích: Matijasevičova věta (každá rekurzivně spočetná množina je diofantická, tudíž neexistuje algoritmus, který by pro polynomiální diofantické rovnice rozhodoval existenci celočíselného řešení), Wilesova--Taylorova věta (x^n + y^n = z^n nemá pro n > 2 řešení v celých číslech x, y, z > 0) a Mihailescuova věta (jediné řešení diof. rovnice x^a - y^b = 1 v celých číslech a, b, x, y > 1 je 3^2 - 2^3 = 1). Tvrzení (popis Pythagorejských trojic): Celá čísla x, y, z > 0 vyhovují vztahu x^2 + y^2 = z^2, právě když existují celá čísla u, v, w > 0, že x = 2uvw, y = (u^2 - v^2)w nebo naopak a z = (u^2 + v^2)w, důkaz. Tvrzení (P. de Fermat): Neexistují celá čísla x, y, z > 0 vyhovují vztahu x^4 + y^4 = z^2, důkaz.
5. přednáška 8. 11. 2019. Pro danou Pellovu rovnici x^2 - dy^2 = 1 (d je přirozené číslo, ale není čtverec) definujeme množiny jejích řešení A = {a + bd^{1/2} | a, b je řešení} a B = {a + bd^{1/2} > 0 | a, b je řešení}. Věta: (B,*) (* je násobení v R) je nekonečná cyklická grupa izomorfní (Z,+) a grupa (A,*) je izomorfní (Z,+) krát Z_2, důkaz. Lagrangeova věta o 4 čtvercích: n = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 má řešení v celých číslech x_i pro každé celé nezáporné číslo n, důkaz skoro celý, dokončení příště.
6. přednáška 15. 11. 2019. Lagrangeova věta o 4 čtvercích: dokončení důkazu. 3. Geometrie čísel. Gaussův kruhový problém: r_2(0) + r_2(1) + ... + r_2([x]) = pi*x + O(x^{1/2}), důkaz. Samotný problém je: jakými exponenty e < 1/2 lze v odhadu chyby nahradit 1/2 ? Mřížky v R^n a jejich báze, základní rovnoběžnostěn mřížky, jeho objem nezávisí na volbě báze a definuje tak objem mřížky.
7. přednáška 22. 11. 2019. Důkaz věty o Fareových zlomcích pomocí mřížky Z^2. Minkowskiho věta o konvexním tělese. Aplikace: druhý důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích, pomocí objemů čtyřrozměrné koule a mřížky v R^4.
8. přednáška 29. 11. 2019. Dokončení tohoto důkazu. Dirichletův problém dělitelů: průměrný počet dělitelů čísel 1, 2, ..., n je log n + 2g - 1 + O(n^{-1/2}), kde g = 0.577... je Eulerova konstanta, důkaz počítáním mřížových bodů pod hyperbolou xy=n. 4. Prvočísla. Euklidův důkaz nekonečnosti počtu prvočísel. "Topologický" důkaz téhož, ovšem v Cassově-Wildenbergově přeformulování pomocí periodických podmnožin celých čísel.
9. přednáška 6. 12. 2019. Goldbachův důkaz nekonečnosti počtu prvočísel. Vlastnosti Fermatových čísel F_n = 2^{2^n}+1. Úloha: F_5 není prvočíslo neb je dělitelné 641. Erdosův důkaz nekonečnosti počtu prvočísel. Věta (Čebyševovy odhady): pro x > 2 je prvočíselná funkce pi(x) (počet prvočísel nepřesahujících x) omezená zdola i shora konstantním násobkem funkce x/log(x), důkaz. Poznámka o tom, že skoro všechna čísla n mají cca (log(n))^{log 2} dělitelů.
10. přednáška 13. 12. 2019. Řešení úlohy o Fermatově čísle F_5. 5. Kongruence. Kvadratické zbytky a nezbytky modulo prvočíslo a jejich základní vlastnosti. Legendreův symbol (a/p). Eulerovo kritérium: a^{(p-1)/2} je (a/p) modulo p, důkaz. Klopotný výpočet hodnoty (30/73) Eulerovým kritériem. Kvadratický zákon reciprocity a dva doplňky k němu. Gaussovo lemma, důkaz. Důkaz zákona reciprocity příště.
11. přednáška 20. 12. 2019. Důkaz druhého doplňku zákona reciprocity a důkaz samotného zákona. 6. Číselné rozklady. Rozklady a kompozice přirozeného čísla n. Eulerova formule pro generující funkci počtů rozkladů p(n). Eulerova identita liché části versus různé části, dva důkazy (generujícími funkcemi a bijektivní).

prosinec 2019