Pravidelná každoroční přednáška,
co bylo dříve lze nalézt
zde.
Sylabus
a anotace jsou v SISu. K
přednášce jsem napsal
učební text
v angličtině,
zde jsou k němu
opravy a doplňky.
Přednáška se koná ve čtvrtek od 12:20 v S11 (Malá Strana, 1. patro).
Literatura - skoro vše, co
přednáším, lze nalézt v klasické knize
G.
H. Hardy & E. M. Wright: An
Introduction to the Theory of Numbers.
Zkouška je ústní s
písemnou přípravou. Zkušební termíny: viz SIS (nebo po domluvě). Zkušební otázky: 1a.
Dirichletova věta o diof. aproximacích a její
aplikace.
1b. Existence transcendentních
čísel: Liouvilleova
nerovnost.
1c. Důkaz transcendence čísla e.
2a. Fermatova poslední věta pro n=2 a n=4.
2b. Teorie Pellovy
rovnice.
2c. Stothersova-Masonova věta a její důsledek: důkaz FPV v
okruhu polynomů.
3. Minkowského
věta a její aplikace (geometrický důkaz věty o čtyřech čtvercích).
4a. Čebyševovy odhady
prvočíselné funkce pi(x).
4b.
Spec. případ Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti
pro modul 4: dokažte, že sum_{p = 1 + 4n < x} (log p) / p =
(log x) / 2 +
O(1) i sum_{p = 3 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2 +
O(1);
důkaz je sepsán zde.
5. Teorie kvadratických
zbytků včetně zákona
reciprocity.
6a. Dokažte Eulerovu pentagonální identitu.
6b. Dokažte Schurovu asymptotiku pro p_A(n);
důkaz je sepsán zde.
1. přednáška 10. 10. 2013. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova
věta o aproximaci reálného čísla zlomkem (|a - p/q| < q^{-2} má pro
každé iracionální reálné číslo a nekonečně mnoho racionálních řešení
p/q), důkaz. Fareyovy zlomky. Dokázali
jsme, že dva sousední F. zlomky mají nejmenší možnou vzdálenost (a
znovu odtud odvodili D. větu). Zmínka o Hurwitzově větě (|a - p/q| <
5^{-1/2}q^{-2} má pro každé iracionální reálné číslo a nekonečně mnoho
racionálních řešení p/q; po libovolném zvětšení konstanty 5^{-1/2} to
už neplatí), bez důkazu. Věta o
dvou čtvercích jako důsledek D. věty, lemma v jejím důkazu dokážeme
příště.
2. přednáška 17. 10. 2013. Důkaz
lemmatu (-1 je kvadratický zbytek modulo prvočíslo p, pokud p = 4n +
1). Trochu o řetězových zlomcích - další metoda, jak dokázat
Dirichletovu větu. Algebraická a transcendentní čísla. Liouvilleova
nerovnost (|a - p/q| >> q^{-deg(a)} pro každý zlomek p/q a každé
iracionální algebraické číslo a), důkaz. Číslo 10^{-1!} + 10^{-2!} +
10^{-3!} + ... je transcendentní, důkaz jako cvičení. Začátek důkazu
Hermiteovy věty, že číso e = 2.71828... je transcendentní.
3. přednáška 24. 10. 2013. Důkaz
Hermiteovy věty o transcendenci čísla e. Poznámky o
Gelfondově-Schneiderově větě (a^b je transcendentní pro algebraická a,
b, kde a není 0, 1 a b je iracionální). 2. Diofantické rovnice. Pellova rovnice x^2 - dy^2 = 1, začátek důkazu, že má vždy nekonečně mnoho řešení.
4. přednáška 31. 10. 2013. Důkaz
Lagrangeovy věty, že Pellova rovnice má netriviální řešení a tedy
nekonečně mnoho řešení. Řešení Pellovy rovnice tvoří grupu izomorfní
(Z, +) krát Z_2. Zobecněná Pellova rovnice x^2 - dy^2 = m - má buď 0
řešení nebo právě jedno řešení x=y=0 pro m=0 nebo nekonečně mnoho
řešení. Thueho rovnice F(x, y) = m (F je celoč. ired. homog. polynom
stupně >2). Příště: kdyby měla nekonečně mnoho řešení, pak by
nerovnost |a - p/q| << q^{-d} měla pro nějaké algebraické číslo a
stupně d > 1nekonečně mnoho řešení ve zlomcích p/q.
5. přednáška 7. 11. 2013. Přednáška odpadla z důvodu neúčasti posluchačů.
Plánovaná témata: důkaz tvrzení z minula, pythagorejské trojice, FPV
pro exponent 4, Stothersova-Masonova věta a její důsledek: důkaz FPV v
okruhu polynomů, popř. poznámky o ABC domněnce.
6. přednáška 14. 11. 2013. Přednáška začala z technických důvodů o 15 minut později.
3. Geometrie čísel. Mřížky, základní rovnoběžník, jeho posuny vektory mřížky rozkládají R^n,
nezávislost jeho objemu na volbě báze. Minkowskiho věta o konvexním
tělese (středově souměrné konvexní těleso B s objemem > 2^n krát
objem mřížky L nutně obsahuje vektor z L různý od počátku). Slíbeno na příště: Minkowskiho věta o postupných minimech.
7. přednáška 21. 11. 2013. Zopakování
Minkowskiho věty a formulace Druhé Minkowskiho věty: Je-li K konvexní,
středově souměrné těleso v R^n, L je mřížka v R^n a k_i je infimum
nafouknutí k > 0, že kK obsahuje i lin. nezávislých prvků L, potom
k_1k_2...k_n.vol(K) <= 2^n.vol(L), bez důkazu. Důkaz Lagrangeovy
věty o 4 čtvercích pomocí (první) Minkowskiho věty.
4. Prvočísla. ZVA
(Základní věta aritmetiky): každé přirozené číslo má jednoznačný
prvočíselný rozklad, důkaz. Euklidova věta: prvočísel je
nekonečně mnoho. 1. důkaz: plyne z faktu, že pro každou pevnou k-tici
přir. čísel m_1, ..., m_k je jen O((log x)^k) přir. čísel n < x
tvaru n = m_1^{a_1}m_2^{a_2}...m_k^{a_k}, kde a_i jsou nezáporná celá
čísla.
8. přednáška 28. 11. 2013. Přednáška odpadla kvůli Dni otevřených dveří na MFF UK.
9. přednáška 5. 12. 2013. 2.
důkaz Euklidovy věty o nekonečnosti počtu prvočísel (Euler--Sylvester):
prod_{p < x}1/(1 - 1/p) > sum _{n < x} 1/n --> +oo pro x
--> +oo. 3. důkaz (Erdos): Když p^j dělí binom(2n, n), tak p^j je
nejvýše 2n, takže binom(2n, n) < (2n)^{pi(2n)}, takže pi(2n)
>> (2n)/log(2n). Čebyševovy odhady: ještě horní odhad pi(x)
<< x/log(x), důkaz. Von Mangoldtova funkce L(n) a její
vlastnosti: sum_{d dělí n} L(d) = log(n) a sum_{n < x} L(n) <<
x, důkaz. Tři Mertensovy asymptotiky, z nichž jsem dokázal jen tu
první: sum_{p < x}(log p)/p = log x + O(1). Příště: omezíme-li v
předchozí sumě prvočísla p podmínkou, že p je 1 (či 3) mod 4, bude v
obou případech asymptotika sumy poloviční, tj. (log x)/2 + O(1).
10. přednáška 12. 12. 2013. Důkaz, že obě sumy sum_{p<x, p je a mod 4} (log p)/p, kde a je 1 nebo 3, mají asymptotiku (log x)/2 + O(1),
viz tento text.
5. Kvadratické zbytky. Definice,
zbytků je jako nezbytků. Legengreův symbol a jeho vlastnosti, důkaz
Eulerova kritéria ( (a/p) je a^{(p-1)/2} mod p ) příště.
11. přednáška 19. 12. 2013. Důkaz
Eulerova kritéria. Gaussovo lemma: (-1)^{m(a)} = (-1)^{n(a)} = (a/p),
kde m(a) (resp. n(a)) je pro celé číslo a, jež je nesoudělné s
prvočíslem p>2, počet k z {1, 2, ..., (p - 1)/2}, pro něž je ka
kongruentní modulo p číslu z množiny {-(p - 1)/2, -(p - 1)/2 + 1, ...,
-1} (resp. {(p +1)/2, (p + 1)/2 + 1, ..., p - 1}). První a druhý
doplněk k zákonu reciprocity a zákon reciprocity: (-1/p) = (-1)^{(p -
1)/2}, (2/p) = (-1)^{(p^2 - 1)/8} a (q/p) = (-1)^{(q - 1)(p -
1)/4}(p/q), důkazy.
12. přednáška 2. 1. 2014. 6. Číselné rozklady. Rozklady
a kompozice. Počty kompozic čísla n a generující funkce pro ně. Eulerův
vzorec pro GF počtů rozkladů p(n): sum_{n >= 0}p(n).x^n = 1 / ((1 - x)(1 - x^2) ...). 1. identita - počet rozkladů n na <k
částí = počet rozkladů n na části <k, dk. pomocí Ferrersova
diagramu. 2. identita - počet rozkladů n na různé části = počet
rozkladů n na liché části, dk. pomocí GF. 3. identita - Eulerova
pentagonální, začátek bijektivního důkazu.
13. přednáška 9. 1. 2014. Bijektivní
důkaz pentagonální identity. Její důsledek je, že funkce s(n) = (součet
dělitelů čísla n) se řídí skoro stejnou rekurencí jako p(n), bez
důkazu. Schurova asymptotika: když A = (a_1,
..., a_k) je k-tice přir. čísel s NSD(a_1, ..., a_k) = 1 a p_A(n) =
počet rozkladů n na části z (multi)množiny A, pak pro n = 1, 2, ... je
p_A(n) = n^{k - 1} / (a_1...a_k.(k - 1)!) + O(n^{k - 2}). Důkaz pomocí
rozkladu GF sum_{n >= 0}p_A(n).x^n = 1 / ((1 - x^{a_1})...(1 -
x^{a_k})) na parciální zlomky -
je sepsán zde.
leden 2014