Informace o přednášce Úvod do
teorie čísel (MAI040)
Pravidelná každoroční přednáška,
co bylo dříve lze nalézt
zde.
Sylabus
a anotace jsou v SISu. K
přednášce jsem napsal
učební text
v angličtině,
zde jsou k němu
opravy a doplňky.
Přednáška se koná v pondělí od 12:20 v S 11 (Malá Strana, 1. patro).
Literatura - skoro vše, co
přednáším, lze nalézt v klasické knize
G.
H. Hardy & E. M. Wright: An
Introduction to the Theory of Numbers.
Zkouška je ústní s
písemnou přípravou. Zkušební termíny: po domluvě, v pracovně. Zkušební otázky: 1a.
Důkaz, že prvočíselná funkce pi(x) = o(x), pomocí nerovnosti prod_{p
<= x}(1 -
p^{-1})^{-1} > sum_{n <= x} n^{-1}. 1b. Čebyševovy odhady
prvočíselné funkce pi(x). 1c. Spec. případ Dirichletovy věty: důkaz, že
je nekonečně mnoho prvočísel tvaru pn+1 (pro libovolné pevné prvočíslo
p).
2a.
Dirichletova věta o diof. aproximacích a její
aplikace. 2b. Existence transcendentních
čísel: Liouvilleova
nerovnost. 2c. důkaz transcendence čísla e. 3a. Fermatova poslední věta pro n=2 a n=4. 3b. Teorie Pellovy
rovnice. 3c. Lagrangeova věta o 4 čtvercích, aritmetický dukaz. 4. Minkowského
věta a její aplikace (geometrický důkaz věty o čtyřech čtvercích). 5. Teorie kvadratických
zbytků včetně zákona
reciprocity. 6. Identity pro číselné rozklady.
1. přednáška 10. 10. 2011. Literatura k přednášce. O čem je teorie čísel: aritmetické, algebraické a kombinatorické vzory v Z (okruh celých čísel). 1. Prvočísla. Základní
věta aritmetiky (jednoznačnost prvočíselných rozkladů), důkaz.
Euklidova věta (nekonečnost počtu prvočísel), 4 důkazy (Euklidův,
Goldbachův, pologrupový, Eulerův-Sylvestrův).
2. přednáška 17. 10. 2011. Prvočíselná
věta, bez důkazu. Dva důsledky nerovnosti prod_{p <= x}(1 -
p^{-1})^{-1} > sum_{n <= x} n^{-1}: řada převrácených hodnot
prvočísel diverguje a pi(x) = o(x), tj. prvočísla tvoří řídkou množinu,
důkazy. Čebyševovy nerovnosti c_1x / log x < pi(x) < c_2x /
log x, dokončení důkazu příště.
3. přednáška 24. 10. 2011. Dokončení
důkazu. Dirichletova věta (1837): a + d, a+ 2d, a + 3d, ... pro
nesoudělná přir. čísla a, d obsahuje nekonečně mnoho prvočísel, bez
důkazu. Speciální případ a = 3, d= 4, důkaz. Speciální případ a = 1, d
= p prvočíslo, důkaz pomocí polynomu (x^p - 1) / (x - 1) = x^{p - 1} +
x^{p - 2} + ... + x + 1 a lemmatu, že nenulové hodnoty každého
nekonstantního celočíselného polynomu jsou dělitelné nekonečně mnoha
prvočísly. 2. Diofantické aproximace. Dirichlet (1842): 1. Pro každé reálné alfa a
celé Q > 1 existuje zlomek p / q splňující 0 < q < Q a |alfa -
p/q| =< 1 / qQ. 2. Pro iracionální alfa existuje nekonečně mnoho
zlomků p/q, že | alfa - p/q | < 1/q^2. Důkaz přihrádkovým principem.
4. přednáška 31. 10. 2011. Fermatova-Eulerova
věta: každé prvočíslo tvaru p = 4n + 1 je součet 2 čtverců, důkaz
pomocí části 1 Dirichletovy věty (a lemmatu, že -1 je čtverec modulo
takové prvočíslo, což vyplývá z Wilsonovy kongruence (p - 1)! = -1 mod
p, platné pro každé prvočíslo). Algebraická a transcendentní čísla.
Liouvilleova nerovnost: |alfa - p / q| >> 1 / q^n pro každé
reálné algebraické číslo alfa stupně n > 1 a každý zlomek p / q.
Liouvilleova čísla (irac. čísla porušující L. nerovnost pro každé n)
jsou transcendentní, např. 1 / 10^{1!} + 1 / 10^{2!} + 1 / 10^{3!} +
... . Důkaz L. nerovnosti příště.
5. přednáška 7. 11. 2011. Důkaz
L. nerovnosti. Informativně: Hurwitzova věta (sqrt{5} je nejlepší
konstanta v odhadu 1 / cq^2 v Dirichletově větě) a Rothova věta
(zlepšení L. nerovnosti na >> 1 / q^{2 + ep}.) Důkaz
transcendence čísla e.
6. přednáška 14. 11. 2011. Zmínka o 7. Hilbertově problému (Gelfondova-Schneiderova věta). 3. Diofantické rovnice. Tři
známé a již rozřešené diofantické problémy (10. H. pr., FPV, Catalanův
pr.). FPV pro n=2 a n=4, s důkazy. Pellova rovnice x^2 - dy^2 = 1,
každá má nekonečně mnoho řešení, důkaz příště.
7. přednáška 21. 11. 2011. Teorie
Pellovy rovnice x^2 - dy^2 = 1: každá má nekonečně mnoho řešení a
množina řešení tvoří grupu, jež je v případě kladných řešení izomorfní
grupě (Z, +), čili je to nekonečná cyklická grupa. Pellova rovnice s
obecnou pravou stranou: buď žádné řešení nebo nekonečně mnoho.
Lagrangeova věta o 4 čtvercích, aritmetický důkaz příště.
8. přednáška 28. 11. 2011. Aritmetický důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích (tj. metodou nekonečného sestupu čili indukcí). 4. Geometrie čísel. Mřížky,
báze mřížky, základní rovnoběžník mřížky vzhledem k bázi, nezávislost
jeho objemu na volbě báze. Minkowskiho věta o konvexním tělese,
dokončení důkazu příště.
9. přednáška 5. 12. 2011. Důkaz
Minkowskiho věty, aplikace: geometrický důkaz Lagrangeovy věty o 4
čtvercích. Gaussův kruhový problém (asymptotika pro průměrný řád funkce
r_2(n)). 5. Kongruence - kvadratické (ne)zbytky. Základní definice, Legendreův symbol, důkaz jeho vlastnosti příště.
10. přednáška 12. 12. 2011. Vlastnosti
Legendreova symbolu: Eulerovo kritérium, multiplikativita. Hodnoty (-1
/ p). Gaussovo lemma, hodnoty (2 / p). Suma S(a, b) a její použití pro
důkaz kvadratického zákona reciprocity (závislost hodnot (p / q) a (q /
p)), dokončení důkazu příště (zbývá dokázat reciprocitu S(a, b) + S(b,
a) = (a - 1)(b - 1) / 4).
11. přednáška 19. 12. 2011. Důkaz reciprocity S(a, b) + S(b,
a) = (a - 1)(b - 1) / 4). 6. Číselné rozklady. Číselné
rozklady a kompozice, počty kompozic čísla n. Eulerovo vyjádření
generující funkce počtu rozkladů nekonečným součinem. Identity pro
počty rozkladů různých typů: na < k+1 částí = na části <k+1, na
různé části = na liché části.
12. přednáška 9. 1. 2012. Eulerova
pentagonální identita, jedna z formulací: p(n) = p(n-1) + p(n-2) -
p(n-5) - p(n-7) + p(n-12) + p(n-15) - ... (p(0) = 1), kde p(n) je počet
všech rozkladů čísla n a 1, 2, 5, 7, ... jsou pětiúhelníková čísla,
důkaz. Důsledek: s(n) = s(n-1) + s(n-2) - s(n-5) - s(n-7) + s(n-12) +
s(n-15) - ... (s(0) = n, tj. pro pětiúhelníkové n je poslední člen
vpravo roven +-n), kde s(n) je součet dělitelů čísla n, důkaz.
leden 2012