Informace o přednášce Úvod do teorie čísel (MAI040)

Přednáška se koná už řadu let, co bylo dříve lze nalézt zde. Sylabus a anotace jsou v SISu. K přednášce jsem napsal učební text  v angličtině, zde jsou k němu opravy a doplňky. Přednáška je ve středu v 18:10-19:40 v S8 (Malá Strana, 1. patro).  Literatura - skoro vše, co přednáším, lze nalézt v klasické knize G. H. Hardy & E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 
Zkouška je ústní s písemnou přípravou.  Zkušební otázky: 1a. Dirichletova věta o diof. aproximacích a její aplikace. 1b. Fareyovy zlomky.  1c. Existence transcendentních čísel (Liouvilleova nerovnost). 2a.  Teorie Pellovy rovnice. 2b. Aplikace Pellovy rovnice: Stormerova veta. 3. Minkowského věta a její aplikace (věta o čtyřech čtvercích.). 4a. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce. 4b. Mertensovy odhady prvočísel. 4c. Dirichletův problém dělitelů. 5. Teorie kvadratických zbytků  včetně zákona reciprocity. 6. Identity pro číselné rozklady.
1. přednáška 6. 10. 2010. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta: 1. Pro každé reálné alfa a celé Q > 1 existuje zlomek p/q splňující 1 < q < Q a |alfa - p/q| =< 1/qQ. 2. Pro iracionální alfa existuje nekonečně mnoho zlomků p/q, že | alfa - p/q | < 1/q^2 . Důkaz přihrádkovým principem a pomocí Fareyových zlomků. Připomenutí řetězových zlomků. Aplikace: Fermatova-Eulerova věta o 2 čtvercích. Úloha 1: dokažte, že pro racionální alfa část 2 Dirichletovy věty neplatí. Úloha 2: dokažte, že pro posloupnost čísel 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48 ... - čísla tvaru 2^a3^b -  je lim n_{i+1} / n_i = 1.
2. přednáška 13. 10. 2010. Důkaz základní vlastnosti Fareyových zlomků a lemmatu, že -1 je kv. zbytek modulo p = 4n+1 (přes Wilsonovu větu, že (p - 1)! = -1 mod p). Algebraická čísla nelze příliš dobře přibližovat zlomky: |2^{1/2} - p/q| > c/q^2 pro každý zlomek p/q. Obecně: Liouvilleova nerovnost, důkaz příště. Liouvilleova čísla a jejich trancendence. Hurwitzova věta (nejlepší možná konstanta c > 0 v nerovnostech |alfa - p/q| < c/q^2 je c = 5^{-1/2}), bez důkazu. Thueho nerovnost, samozřejmě bez důkazu.
3. přednáška 20. 10. 2010. Informativně o zesílení Thueho nerovnosti: Siegel, Dyson, Gelfond, Roth. Popletený důkaz Liouvilleovy nerovnosti. Iracionalita čísla e a  čísla pi^2.
4. přednáška 27. 10. 2010. Správný důkaz Liouvilleovy nerovnosti. 2. Diofantické rovnice. Tři známé diofantické problémy: Fermatova poslední věta (FPV), desátý Hilbertův problém a Catalanova domněnka. Charakterizace pythagorejských trojic (řešení rovnice x^2 + y^2 = z^2), aritmetický důkaz.  FPV pro n = 4: x^4 + y^4 = z^2 nemá netriviální řešení, důkaz nekonečným sestupem.
5. přednáška 3. 11. 2010. Pythagorejské trojice geometricky (racionalita křivky x^2 + y^2 = 1). Pellova rovnice x^2 - dy^2 = 1: existuje-li netriviální (celočíselné) řešení, pak kladná řešení tvoří nekonečnou cyklickou grupu. Lagrange, 1770: každá Pellova rovnice má netriviální řešení, začátek důkazu.
6. přednáška 10. 11. 2010. Lagrange, 1770: každá Pellova rovnice má netriviální řešení, dokončení důkazu. Stormerova věta (1897): Pro každou konečnou množinu r prvočísel S mají rovnice x - y = 1 a x - y = 2 nejvýše 3^r řešení v přirozených číslech x, y dělitelných pouze prvočísly z S. Důkaz je založen na této vlastnosti řešení Pellovy rovnice: jsou-li a, b, d taková přirozená čísla, že a^2 - db^2 = 1a každé prvočíslo dělící b dělí i d, potom a,b je fundamentální řešení Pellovy rovnice x^2 - dy^2 = 1, a tedy x^2 - dy^2 = 1 má nejvýše jedno kladné řešení s uvedenou vlastností. Viz tento textík .
7. přednáška 24. 11. 2010 (17. 11. byl státní svátek). 3. Geometrie čísel. Mřížky, základní rovnoběžníky, objem mřížky (nezávisí na volbě báze).  Minkowskiho věta, důkaz. Důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích pomocí Minkowskiho věty a koule a mřížky v R^4.
8. přednáška 1. 12. 2010 4. Prvočísla. Čtyři důkazy nekonečnosti počtu prvočísel. 1. Euklidův (uvaž p, co dělí p_1p_2... p_r + 1), 2. Goldbachův (uvaž čísla 2^{2^n} + 1), 3. Eulerův (součin čísel (1 - 1/p)^{-1} přes prvočísla p nepřesahující x je > log(x)) a 4. Fürstenbergův-Cassův-Wildenbergův (jediná celá čísla nedělitelná žádným prvočíslem jsou -1 a 1: Z \ {-1, 1} = union_p pZ; množina vlevo není periodická, ale sjednocení aritmetických posloupností napravo, bylo-li by jen konečně mnoho prvočísel, je periodická množina; viz tento textík). Důsledek nerovnosti v důkazu 3: pi(x) = o(x) (A.-M. Legendre). Začátek Erdosova důkazu Čebyševových odhadů c_1x / log x < pi(x) < c_2x / log x.
9. přednáška 8. 12. 2010. Erdosův důkaz Čebyševových odhadů pomocí binomického koeficientu B(2n, n). Mertensovy odhady: 1) sum_{p<x} (log p) / p = log x + O(1), 2) sum_{p<x} 1 / p = loglog x + c + O(1/log x) a 3) prod_{p<x}(1 - 1 / p) = c / log x + O(1 / log^2 x). von Mangoldtova funkce L(n) a odhad sum_{n<x} L(n)[x / n] = x.log x + O(x), z něhož plyne 1. Abelova sumace: sum_{n<x} a_n.f(n) = A(x)f(x)  - integral_1^x A(t).f(t)' dt .
10. přednáška 15. 12. 2010. Důkaz Mertensových odhadů. Dirichletův problém dělitelů a Gaussův kruhový problém.
11. přednáška 22. 12. 2010. 5. Kongruence. Teorie kvadratických zbytků: Legendreův symbol, Eulerovo kritérium, Gaussovo lemma, reciprocita počtů mřížových bodů v trojúhelnících, kvadratický zákon reciprocity a jeho doplňky.
12. přednáška 5. 1. 2011. 6. Číselné rozklady. Rozklady čísla n versus kompozice čísla n. Eulerova generující funkce pro počty rozkladů p(n) čísla n. Eulerova pentagonální identita ve třech formulacích ((i) rozvoj nekonečného součinu (1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)..., (ii) tvrzení o rozkladech čísla n na různé části a (iii) rekurence pro p(n)) a její kombinatorický důkaz (Franklinův důkaz formulace (ii)).
13. přednáška 12. 1. 2011. Zajímavost: Hardyho-Ramanujanova-Rademacherova formule pro p(n). Eulerova jednodušší identita: # r. n na liché části = # r. n na různé části. Důkaz generujícími funkcemi, bijektivní důkaz a důkaz inkluzí-exkluzí. Remmelova-Cohenova metaidentita.

leden 2011