Informace o přednášce Úvod do
teorie čísel (MAI040
Sylabus a anotace. Viz SIS.
Doba a místo. středa od 15:40 v S3.
Literatura. Skoro vše, co
přednáším, lze nalézt v knize G. H. Hardy, E. M. Wright: An
Introduction to the Theory of Numbers. K přednášce existuje učební text
(v angličtině), zde jsou k němu
opravy .
Zkouška. Bude doplněno.
Přehled přednášek.
1. př. 11. 10. 2006. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova
věta o diof. aproximacích, její aplikace ve větě o dvou čtvercích,
Fareyovy zlomky a jejich hlavní vlastnost (dokončení důkazu příště).
2. př. 18. 10. 2006. Dokončení
důkazu věty o Fareyových zlomcích. Hurwitzova věta. Liouvilleova čísla
a
Liouvilleova nerovnost.
3. př. 25. 10. 2006. Hilbertův
důkaz transcendence čísla e.
4. př. 1. 11. 2006. 2. Diofantické
rovnice. Úvod: FPV, 10. Hilbertův problém, Catalanova domněnka.
Teorie Pellovy rovnice.
5. př. 8. 11. 2006.
Teorie
Pellovy rovnice. Lagrangeova věta o 4 čtvercích.
6. př. 15. 11. 2006. FPV
pro
exponenty 2 a 4. FPV pro polynomy (důsledek Stothersovy-Masonovy
věty),
abc domněnka.
7. př. 22. 11. 2006. 3 Geometrie
čísel. Mřížky, Fareyovy zlomky pomocí mřížek. Minkowskiho
věta
a geometrický důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích.
8. př. 29. 11. 2006. Problém
dělitelů a kruhový problém. 4.
Prvočísla. Euklidův a Goldbachův důkaz nekonečnosti počtu
prvočísel. Fermatova prvočísla a problém dělení kruhu.
9. př. 6. 12. 2006. Erdosův
důkaz a Eulerův důkaz nekonečnosti počtu prvočísel. Z
nerovnosti prod_{p <= x}
1/(1 - 1/p) >=
sum_{n<=x} 1/n plyne (i) nekonečnost počtu prvočísel,
(ii)
horní odhad pi(x) = o(x) a
(iii) divergence řady sum_p 1/p.
Čebyševovy odhady prvočíselné funkce.
10. př. 13. 12. 2006. Mertensovy
formule. Průměrné řády funkcí omega(n)
a Omega(n).
Hardyho-Ramanujanova věta o jejich normálním řádu, bez důkazu. Normální
řád funkce d(n).
11. př. 20. 12. 2006. 5.
Kongruence. Teorie kvadratických zbytků. Důkaz kvadratického
zákona reciprocity.
12. př. 3. 1. 2007. 6. Číselné
rozklady. Rozklady a kompozice čísel. Vzorce pro počty
kompozic. Eulerova pentagonální identita.
13. př. 10. 1. 2007. Uvedení
Hardyho-Ramanujanovy-Rademacherovy formule pro p(n), bez důkazu. Důkaz horního
odhadu
p(n) < (pi/(6n-6)^{1/2}).exp(pi(2n/3)^{1/2}).
Rekurence pro sigma(n) (součet
dělitelů n) a pentagonální
identita. Eulerova identita "počet rozkladů n na liché části je stejný jako
počet rozkladů na různé části" a její tři důkazy (generujícími
funkcemi, bijekcí a inkluzí-exkluzí).
leden 2007