Přednáška se koná v S7 ve středu v
18-19:30 h.
16. listopadu přednáška odpadá!
Postupujeme podle tohoto učebního
textu .
1.
přednáška 12. října 2005. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova
věta o diofantických aproximacích a její aplikace v důkazu Eulerovy
věty o 2 čtvercích. Fareyovy zlomky a Cauchyova věta (dva sousední F.
zlomky mají nejmenší možnou vzdálenost). Formulace Hurwitzovy věty.
2.
přednáška 19. října 2005. Důkaz Hurwitzovy věty. Řetězové
zlomky, rozvoje reálných čísel do řetězových zlomků, základní vlastnosti
těchto rozvojů.
3.
přednáška 26. října 2005. Poznámky o řetězových rozvojích a
diofantických aproximacích (Lagrangeova charakterizace periodických
řetězových zlomků, další zesílení Hurwitzovy věty, Thueho a Rothova
věta). Liouvilleova věta o aproximaci algebraického čísla zlomky a
explicitní příklady transcendentních čísel. Hilbertův důkaz
transcendence čísla e = 2.71828... .
4.
přednáška 2. listopadu 2005. 2. Diofantické rovnice. Poznámky
ke známým a méně známým diofantickým problémům: 10. Hilbertův problém,
Fermatova poslední věta (FPV), Catalanova domněnka. Teorie Pellovy
rovnice x2 - dy2 =1.
5. přednáška 9. listopadu 2005. Thueho
rovnice F(x, y) = m a odvození
konečnosti počtu jejích řešení z Thueho věty o aproximaci algebraických
čísel. Popis pythagorejských trojic (řešení rovnice x2 + y2 = z2)
a metoda nekonečného sestupu (neexistence netriviálních řešení rovnice x4 + y4 = z2).
Odvození FPV pro polynomy ze Stothersovy-Masonovy věty.
6. přednáška 16. listopadu 2005. Z
organizačních důvodů odpadla (HOMONOLO), byla ale nahrazena textem 6.
přednášky
hořejšího textu (3. Geometrie čísel).
7. přednáška 23. listopadu
2005. Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích a její dva důkazy
(geometrický pomocí Minkowského věty a aritmetický pomocí Eulerovy
čtyřčtvercové identity). Zmínka o Jacobiho identitě pro počet
reprezentací součtem 4 čtverců.
8. přednáška 30. listopadu
2005. Gaussova asymptotika a Dirichletova asymptotika v kruhovém
problému a v problému dělitelů. Poznámky o rekordech v obou problémech. 4. Prvočísla. Euklidův důkaz a
Eulerův důkaz nekonečnosti počtu prvočísel.
9. přednáška 7. prosince 2005. Erdosův
a Goldbachův důkaz. Čebyševovy nerovnosti pro prvočíselnou funkci.
Mertensovy formule.
10. přednáška 14. prosince 2005. Mertensovy formule. Chování
aritmetických funkcí omega(n), Omega(n) a d(n).
11. přednáška 21. prosince 2005. 5. Kongruence. Teorie
kvadratických zbytků, zejména důkaz Gaussova zákona reciprocity.
12. přednáška 4. ledna
2006. 6. Číselné rozklady. Definice, kompozice versus rozklady.
Eulerova identita (rozklady na liché části versus rozklady na různé
části). Eulerova pentagonální identita.
13. přednáška 11. ledna
2006. Důsledek Eulerovy pentagonální identity: rekurence s(n) = s(n-1) + s(n-2) - s(n-5) - s(n-7) + s(n-12) + s(n-15) - ... (s(m) = 0 pro m < 0 a s(0) = s(n - n) = n pro
pentagonální n) pro funkci s(n) = součet dělitelů čísla n. Cohenova-Remmelova metaidentita
založená na principu inkluze a exkluze. Několik příkladů.
leden 2006