Úvod do teorie čísel MAI040

Přednáška se konala ve čtvrtek v 17:20 - 18:50 v posluchárně S1 v malostranské budově. Zkoušky: termíny shodné s termíny zkoušek z Diskrétní matematiky DMI002 (viz stud. informační systém), je možná i individuální domluva.


1. přednáška 2. 10. 2003. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta (aproximace irac. čísel zlomkem p/q s přesností <1/q2), její aplikace: každé prvočíslo tvaru 4n +1 je součet dvou čtverců. Fareyovy zlomky a jejich vlastnosti, důkaz D. věty pomocí F. zlomků. Formulace Hurwitzovy věty (aproximace irac. čísel zlomkem p/q s přesností <1/(51/2q2)).

2. přednáška 9. 10. 2003. Důkaz Hurwitzovy věty. Analytický důkaz Liouvilleovy nerovnosti (je-li a algebraické reálné číslo stupně n >= 2, potom pro každý zlomek p/q platí |a - p/q| > c/qn, kde c>0 je konstanta). Explicitní příklad transcendentních čísel: Liouvilleova čísla. Poznámky o algebraických číslech.

3. přednáška 16. 10. 2003. Algebraický důkaz Liouvilleovy nerovnosti.[Zde je. Nechť M(x1, x2, ...,xn) je celočíselný  symetrický polynom, tj. nemění se při permutaci proměnných. Podle Hlavní věty o symetrických polynomech M = N(e1, e2, ..., en), kde e1 = x1 + x2 +... +xn , ...,  en = x1 x2 ... xn jsou elementární sym. polynomy a N(x1, x2, ...,xn) je celočíselný polynom. Odtud a s pomocí Vietových vztahů mezi kořeny a koeficienty polynomu plyne, že jsou-li a1, a2, ..., an kořeny celoč. polynomu s vedoucím koeficientem b, pak M(a1, a2, ..., an) je zlomek (v základním tvaru) se jmenovatelem dělícím b. Jsou-li tedy a=a1, a2, ..., an všechny kořeny minimálního polynomu alg.  čísla a a p/q je zlomek, pak |(qa - p)(qa2 - p)...(qan - p)| >= 1/b (b je vedoucí koeficient minimálního celoč. polynomu čísla a). To spolu s |a - p/q| <= 1 (pro |a - p/q| >= 1 L. nerovnost platí triviálně) dává |a - p/q| >= 1/(qn*b*(1+c)n-1), kde c je maximum vzdálenosti a od ostatních kořenů.] Hilbertův důkaz transcendence čísla e. Poznámky o Rothově větě (je-li a algebraické reálné číslo stupně alespoň 2 a eps>0, potom  |a - p/q| < 1/q2+eps má jen konečně mnoho řešení ve zlomcích p/q). 2. Diofantické rovnice. Charakterizace Pythagorejských trojic (celočíselných řešení rovnice x2 + y2 = z2).

4. přednáška 23. 10. 2003. Rovnice x4 + y4 = z2 nemá netriviální celočíselné řešení. Lagrangeova věta o 4 čtvercích: Každé přirozené číslo je součet čtyř druhých mocnin celých čísel. Pellova rovnice x2 - d*y2 = 1 (d>0 není čtverec) a začátek důkazu, že má vždy netriviální řešení.

5. přednáška 30. 10. 2003. Dokončení důkazu. Kladná řešení Pelliány (a + b*d1/2 > 0) tvoří nekonečnou multiplikativní cyklickou grupu. Zobecněná Pelliána x2 - d*y2 = m má nekonečně mnoho řešení, jakmile má alespoň jedno.Stothersova (1981) - Masonova (1984) věta: Pokud tři nesoudělné polynomy, z nichž alepoň jeden není konstantní, splňují vztah a(t) + b(t) = c(t) , potom max(deg(a), deg(b), deg(c)) je menší než počet různých kořenů polynomu a*b*c. Důsledek: rovnice x(t)n + y(t)n = z(t)n nemá pro n > 2 řešení v polynomech x(t), y(t), z(t) (z nichž alespoň jeden není konstanta). ABC domněnka - analogie S.-M. věty pro celá čísla.

6. přednáška 6. 11. 2003. 3. Geometrie čísel. Pythagorejské trojice pomocí racionální parametrizace kružnice. Mřížky a jejich základní vlastnosti (definice, zákl. rovnoběžník T, objem, nezávislost objemu T na volbě báze). Důkaz věty o Fareyových zlomcích pomocí mřížek. Minkowskiho věta o mřížce a konvexním tělese.

7. přednáška 13. 11. 2003. Mordellův důkaz Minkowského věty. Důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích Minkowského větou. Zmínky o Jacobiho identitě (r4(n) = 8*(součet těch dělitelů n, které nejou násobek čtyř)) a Waringově problému. Gaussův odhad součtu r2(1) + r2(2) + r2(3) + ... r2(x).

8. přednáška 20. 11. 2003. Dirichletův odhad součtu d(1) + d(2) + d(3) + ... + d(x), kde d(n) je počet dělitelů čísla n. 4. Prvočísla. Čtyři důkazy nekonečnosti jejich počtu (Euklidův, Goldbachův, Eulerův a Erdösův). Polovina důkazu Čebyševovy věty (x/log x << pi(x) << x/log x).

9. přednáška 27. 11. 2003. Druhá polovina důkazu Čebyševovy věty. Věta Hardyho a Ramanujana (důkaz Turán): Skoro každé n má asi log log n prvočinitelů; dokončení příště (odhad sumy 1/p přes p <= x a sumy Omega(n) přes n<=x).

10. přednáška 4. 12. 2003. Parciální sumace, další pomocná lematka a důkaz Mertensovy asymptotiky:  suma (1/p pres p <= x) = loglog(x) + c + O(1/log(x)). Nesouvislé poznámky. 5. Kongruence. Kvadratické (ne)zbytky, základní vlastnosti Legendreova symbolu (a/p).

11. přednáška 11. 12. 2003. Důkaz kvadratického zákona reciprocity a jeho dvou doplňků. Normované pole F, obecné vlastnosti normy, triviální norma, ekvivalentní normy. Normy na poli racionálních čisel Q: absolutní hodnota a p-adická norma.

12. přednáška 18. 12. 2003. Jsou-li normy |.|1a |.|2 na poli F ekvivalentní a |.|2 je netriviální, platí |.|1 = (|.|2)apro nějaké reálné a >= 0. Věta (Ostrowski): Každá norma na poli racionálních čísel Q je ekvivalentní absolutní hodnotě nebo p-adické normě pro nějaké prvočíslo p. 6. Číselné rozklady. Definice, rozkladová funkce p(n) a její generující funkce.

13. přednáška 8. 1. 2004. Dvě Eulerovy identity: 1. různé části versus liché části a 2. pentagonální identita (tři formulace).

leden 2004