1. přednáška a cvičení 22. 2. 2016. (A. Pultr). Úvod do relací a relačních systémů, práce s nimi. Homomorfismy.
2. přednáška a cvičení 29. 2. 2016. (A. Pultr). Částečně uspořádané množiny, suprema a infima, horní a dolní polosvazy, svazy, úplné svazy, DCPO.
3. přednáška a cvičení 7. 3. 2016. (A. Pultr). Adjunkce, dvě věty o pevných bodech.
(M. Klazar). Dvě aplikace vět o pevných bodech v č. usp. množinách.
1.
Cantorova-Bernsteinova věta (injekce a injekce dávají dohromady
bijekci) důkaz pomocí Tarského-Knasterovy
věty o p. bodu.
2. Existence neprohrávající strategie ve hře s úplnou informací, důkaz opět pomocí T.-K. věty o p. bodu.
4. přednáška a cvičení 14. 3. 2016. (M. Klazar). Dedekindovo--MacNeilleovo zúplnění. a V b , a A
b jako binární operace. Modulární a distributivní svazy.
5. přednáška a cvičení 21. 3. 2016. (A. Pultr).
6. přednáška a cvičení 28. 3. 2016. Velikonoční pondělí!
7. přednáška a cvičení 4. 4. 2016. (M. Klazar). IV Základní pojmy univerzální algebry: 1. Algebraické operace; 2. Algebraické struktury, algebry; 3. Podalgebry.
8. přednáška a cvičení 11. 4. 2016. (A. Pultr).
9. přednáška a cvičení 18. 4. 2016. (A. Pultr).
10. přednáška a cvičení 25. 4. 2016. (A. Pultr).
11. přednáška a cvičení 2. 5. 2016. (M.
Klazar). Topologie: Základní topologické pojmy; Příklady; Spojitá
zobrazení; Základní konstrukce, zde ještě chybí kvocient a suma. Resty
na příště: množinový systém je bazí nějaké topologie iff ...,
Sorgenfreyova přímka nemá spočetnou bázi (na rozdíl od obyčejné
euklidovské přímky).
12. přednáška a cvičení 9. 5. 2016. (A. Pultr). Topologie až po kompaktnost.
13. přednáška a cvičení 16. 5. 2016. (M.
Klazar). Tvrzení: kdy je množinový systém báze nějaké topologie, důkaz
jako cvičení. Sorgenfreyova přímka nemá spočetnou bázi, důkaz. Definice
kompaktního TP.
Uz. podpr. komp. TPu je komp. a spoj. obraz komp. množiny je
komp., důkaz. Alexandrovo lemma, důkaz. I = [0, 1] je komp., důkaz.
Tichonovova věta (součin komp. TPů je komp. TP), důkaz. V Hausd. TP je
komp. množina uz., důkaz a důsledky. Aplikace Tichonovovy
věty: de Bruijnova-Erdosova věta o kompaktnosti barevnosti (je-li každý
konečný podgraf grafu G řádně c-obarvitelný, je řádně c-obarvitelný i
G), důkaz.
Nelsonův-Hadwigerův problém:
barevnost grafu jednotkových vzdáleností v rovině je 4 nebo 5 nebo 6
nebo 7, důkaz dolní meze. Komp. Hausd. TP je norm., důkaz. Definice
Lindelofova TP a tvrzení, že reg. Lind. TP je norm., důkaz příště.
14. přednáška a cvičení 23. 5. 2016. (M.
Klazar). Důkaz, že reg. Lind. TP je norm.
Souvislé TPy. Definice,
obojetné množiny. I=[0, 1] je souv., důkaz. Spoj. obraz souv. množiny
je souv., důkaz. Uzávěr souv. podmn. je souv., důkaz. Tvrzení o
kombinatorické souvislosti: je-li průnikový graf systému souv.
podmnožin v daném TPu grafově souv., je sjednocení těchto podmnožin
souv., důkaz. Věta: libovolný součin souv. TPů je souv., důkaz.
Křivková souvislost, definice. Implikuje souvislost, dva důkazy.
Příklad souv., ale ne křivkově souv. TPu. Je to i příklad souv., ale ne
lokálně souv. prostoru. Zmínka, že čtverec [0, 1]^2 lze rozložit na dvě
souv. množiny, z nichž každá protíná všechny čtyři strany čtverce.
Zpátky ke kompaktnosti - zmínka o
Čechově--Stoneově kompaktifikaci:
každý úplně reg. T1 prostor X lze hustě vnořit do komp. Hausd. prostoru
b(X) tak, že každé spoj. zobr. z X do komp. Hausd. prostoru Y se pomocí
tohoto vnoření zvedne na spoj. zobr. z b(X) do Y (bez důkazu). Pomocí
b(N), kde N = {1, 2, ...} s diskr. topologií, se dokazují různé
ramseyovky, např.
Hindmanova věta
nebo nověji Moreirova věta: každé konečné obarvení {1, 2, ...} obsahuje
stejnobarevnou trojici {x, x + y, xy}. Lze ji ale dokázat i elementárně
bez použití topologie (taktéž Hindmanovu) - koho zajímá jak, může si to
přečíst v
preprintu v arXivu nebo i
zde.
květen 2016