Informace o přednášce Matematická analýza III (MAI056)

Doba a místo. Přednáška se koná v pondělí ve 12:20 - 13:50 v posluchárně S3 v budově na Malostranském náměstí.

Sylabus a literatura. Je uvedena v SISu. Níže na stránce už jsou umístěny přehledy VŠECH přednášek. Zde jsou všechny přednášk v jednom textu (bude doplněno). Připomínky a opravy jsou vítány!

Cvičení a cvičící. K mé paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. ,  RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D a RNDr. Jaroslav Drahoš, CSc.  Zápočet ze cvičení je nutný pro  připuštění ke zkoušce. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních a za přiměřený výkon v písemných testech, podle upřesnění cvičící(ho).

Zkouška. Na vypsané zkouškové termíny se můžete přihlašovat v SISu (na přihlášení zápočet nutný není, ale pro vlastní účast na zkoušce ano). Požadavky ke zkoušce z MAI056 . Další termíny: vypíšu ještě jeden termín v polovině března a jeden ve zkouškovém po letním semestru. Výsledky 17.1.08 (těch, kdo nepřišli na vyhlášení: M. Brejcha 3 (celkem 20 b.),  Výsledky 24.1.08 (těch, co nepřišli na vyhlášení): J. Hájek 3 (celkem 20 b.).  Výsledky 31.1.08 (těch, co nepřišli na vyhlášení): V. Fiklík 2 (celkem 30.5 b.), J. Konopásek 2 (celkem 30.5 b.), J. Moudřík 2 (celkem 27.5 b.), M. Růžička 3 (celkem 19.5 b.), M. Slavičínský 3 (celkem 22.5 b.), R. Špinka 4 (celkem 11.5 b.), A. Živnéř 2 (celkem 28.5 b.).  Výsledky 14.2.08 (pouze těch, co jsou mezi, všechny ostatní známky jsou v SISu): P. Szépe 4-3 (19 b.)  Písemky, reklamace a eventuální dozkoušení u mě a nezapomeňte se prosím včas zastavit pro zápis známky do indexu. Vzkaz pro pana Szépeho: pane Szépe, emailove odpovedi, ktere vam posilam, se vraci nedorucene, zatelefonujte mi prosim na 221914238.
1. přednáška 1. 10. 2007. 1. Metrické prostory. Metrický prostor, izometrie. Příklady metr. prostorů (lp metrika a její speciální případy: euklidovská, pošťácká a maximová, grafová metrika, vzdálenost bodů na sféře, integrální metrika, ...), pojem ultrametriky (nearchimedovské metriky). Cvičení: polosféra není izometrická rovinné (nebo obecněji jakékoli euklidovské) oblasti - "sféra není plochá". Otevřené a uzavřené množiny v metr. prostoru a jejich vlastnosti. Vnitřní, vnější, hraniční, limitní a izolované body množiny. Podprostor a součin metr. prostorů.   text 1. přednášky .

2. přednáška 8. 10. 2007. Konvergence v metr. prostorech, charakterizace uzavřených množin pomocí konvergentních posloupností, uzávěr množiny. Spojitá zobrazení mezi metr. prostory, charakterizace spojitosti pomocí otevřených množin, homeomorfismus. Definice kompaktního metrického prostoru, operace zachovávající kompaktnost.  text 2. přednášky .

3. přednáška 15. 10. 2007. Vztah kompaktnosti a uzavřených a omezených množin. Vlastnosti spojitých zobrazení definovaných na kompaktních prostorech, důkaz Základní věty algebry. Topologická kompaktnost, je ekvivalentní s kompaktností (na přednášce bez důkazu, v textu důkaz je).   text 3. přednášky .

4. přednáška 22. 10. 2007. Úplné metr. prostory, jejich příklady, operace zachovávající úplnost. Banachova věta o pevném bodu a její aplikace při řešení diferenciálních rovnic.   text 4. přednášky .

5. přednáška 29. 10. 2007. Struktury související s metr. prostory: topologické prostory, normované prostory, prostory se skalárním součinem. 2. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Směrová derivace, parciální derivace, (totální) diferenciál. text 5. přednášky .

6. přednáška 5. 11. 2007.  Vztah diferenciálu a parciálních derivací: diferenciál implikuje parciální derivace, spojité parciální derivace implikují diferenciál. Jacobiho matice. Lagrangeova věta o střední hodnotě pro funkce více proměnných. Počítání s parciálními derivacemi a diferenciály, diferenciál složeného zobrazení je složenina diferenciálů (Jacobiho matice se násobí). text 6. přednášky .

7. přednáška 12. 11. 2007. Geometrie diferenciálu a parciálních derivací: směr největšího růstu funkce, tečná rovina. Parciální derivace vyšších řádů: záměnnost pořadí proměnných, Taylorův rozvoj. Extrémy funkcí: kritérium lokálního extrému pomocí gradientu a Hessovy matice (důkaz a příklad příště). text 7. přednášky .

8. přednáška 19. 11. 2007. Přednáška odpadla (účast přednášejícího na workshopu), je nahrazena učebním textem o vícerozměrných integrálech a Fubiniově větě. Oprava nešikovného značení v učebním textu: v definici dělení boxu na podboxy na str. 1 jsem jako horní index bodů ci nevhodně použil symboly ai (místo třeba di), které samozřejmě nijak nesouvisejí s prvními body dělení v jednotlivých souřadnicích, které jsou rovněž označené ai.

9. přednáška 26. 11. 2007.  Důkaz věty o lokálních extrémech. Příklad: lokální a globální extrémy funkce f(x, y) = y2 + y cos(x) - sin(x) - 2 na R2 . Věta o implicitních funkcích v obecné podobě (pro n rovnic s m + n neznámými), jen znění. text 9. přednášky .

10. přednáška 3. 12. 2007.  Příklad: derivace y'(0) a z'(0) funkcí y(x) a z(x) zadaných rovnicemi x + y - sin(z) = 0 & -x3 - y3 + ez - 1 = 0. Dva důsledky věty o implicitních funkcích: 1. zobrazení z  Rm do  Rm s nenulovým jakobiánem lze lokálně invertovat (a diferenciál inverzního zobrazení je inverzní k diferenciálu původního  zobrazení) a 2. věta o Lagrangeových multiplikátorech (teorie lokálních vázaných extrémů).  text 10. přednášky .

11. přednáška 10. 12. 2007. 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Typy diferenciálních rovnic.  Příklady modelů založených na diferenciálních rovnicích: volný pád, radioaktivní rozpad. Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu: existenční věty (Peanova a Picardova), lineární rovnice a rovnice se separovanými proměnnými. Volný pád s odporem prostředí.   text 11. přednášky .

12. přednáška 17. 12. 2007. Soustavy lineárních ODR prvního řádu. Lineární rovnice n-tého řádu se dá převést na soustavu. Existence a jednoznačnost řešení soustavy na intervalu. Řešení (ne)homogenní soustavy n rovnic tvoří vektorový (afinní) prostor dimenze n. Lineární závislost n-tice vektorových funkcí a jejich wronskián, fundamentální systém řešení. Variace konstant: vyjádření řešení nehomogenní soustavy pomocí FSŘ homogenní soustavy. text 12. přednášky .

13. přednáška 7. 1. 2008. Lineární diferenciální rovnice řádu n s konstantními koeficienty, charakteristický polynom, komplexní a reálný FSŘ. Důkaz, že funkce v nich jsou řešení rovnice. Důkaz, že jsou lineárně nezávislé. text 13. přednášky .

leden 2008