Informace o přednášce Matematická analýza II (MAI055)

Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. Přednáška se koná ve čtvrtek v 9:00 - 10:30 v posluchárně S3 v budově na Malostranském náměstí.

Literatura. Je uvedena v SISu. Existuje mnoho učebnic matematické analýzy (v češtině i angličtině) různé úrovně. Základní učebnice, podle níž by se přesně vyučovalo, pro tento konkrétní předmět neexistuje. Doporučuju proto sledovat přednášky, jejichž přehledy tu budu umísťovat.

Cvičení a cvičící. K mé paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. ,  RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D a RNDr. Jan Čerych, CSc.  Zápočet ze cvičení je nutný pro  připuštění ke zkoušce. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních a za přiměřený výkon v písemných testech, podle upřesnění cvičící(ho).

Zkouška. Požadavky ke zkoušce z MAI055 . Zbývající výsledky zkoušek na termínu 22.6.:  P. Bahushevich 3, M. Černý 3, J. Dědeček 3-2, J. Kundrát 3-2 a na termínu 2.7.: M. Antl 4, J. Diviš 4, J. Hájek 4-3, J. Hlaváč 4, J. Jandl 4, J. Komínek 4, M. Kostolný 4, J. Mach 2, R. Miček 4, R. špinka 4, G. Vajkai 3-2, B. Zámečník 4-3  - jsou uvedeni ti, kteří ještě nemají známku zapsanou a nekontaktovali mě, viz též SIS. Písemky jsou k nahlédnutí u mě, rovněž možnost dozkoušení na lepší známku.  Poslední termín je vypsán na 5. září (poslední termín na zápočtovou písemku je o den dříve 4. září).  Zbývající výsledky zkoušky 5. 9.: J. Fajfr 4-3, J. Florián 4, J. Hájek 3, J. Kavalík 4, J. Komínek 4, M. Kraus 4, M. Le 4, Nguyen Cong Thang 3-2, L. Novák 2, M. Rada 3.
1. přednáška 22. 2. 2007. 1. Riemannův integrál. Motivace integrálu výpočtem plochy. Riemannova a Darbouxova definice Riemannova integrálu. Neomezené funkce nejsou integrovatelné. Nerovnosti pro dolní a horní Riemannovy sumy.  text 1. přednášky.

2. a 3. přednáška 1. 3. 2007. Příklady riemannovsky (ne)integrovatelných funkcí. Ještě jedna nerovnost pro dolní a horní Riemannovy sumy. Kritérium integrovatelnosti.  text 2. přednášky. Ekvivalence obou definic Riemannova integrálu. Monotonní funkce a spojité funkce jsou integrovatelné. Stejnoměrná spojitost. Funkce spojitá na kompaktním intervalu na něm je stejnoměrně spojitá. Lebesgueova charakterizace integrovatelných funkcí (bez důkazu).  text 3. přednášky.

4. přednáška 8. 3. 2007. Integrovatelné funkce tvoří vektorový prostor a integrál je lineární funkcionál. Složením integrovatelné funkce se spojitou vznikne integrovatelná funkce, proto pro integrovatelnou f  jsou i f 2, |f| atd. integrovatelné. Integrál je aditivní funkcí integračního intervalu. První a druhá základní věta analýzy.  text 4. přednášky (Oprava: v důkazu Věty 1.10 má být správně: N(f) je podmnožina N(g) sjednoceno N(h) sjednoceno {c}, protože c může být bod nespojitosti funkce f, i když g a h jsou v c jednostranně spojité. (16. 3. oprava opravy: co jsem v opravě napsal nemůže nastat, c je bod nespojitosti f, právě když je bodem jednostranné nespojitosti g nebo h, takže rovnost N(f) = N(g) sjednoceno N(h) uvedená v textu přednášky platí. Ne že by na ní moc záleželo...))

5. přednáška 15. 3. 2007. Druhá základní věta analýzy pro funkce s konečně mnoha body nespojitosti. Newtonův integrál, porovnání Newtonova a Riemannova integrálu. Počítání integrálu per partes a substitucí. Integrál přes neomezený interval [a, +oo). Aplikace integrálu. Integrální kritérium konvergence řad. text 5. přednášky.

6. přednáška 22. 3. 2007. Ještě jednou druhá základní věta analýzy: Když má f na [a, b] Riemannův integrál a primitivní funkci F, pak se ten integrál rovná F(b) - F(a) (na přednášce jsem zapomněl uvést předpoklad integrovatelnosti). Odhady konečných sum 1 + 1/2 + ... + 1/n a log 1 + log 2 + ... + log n pomocí integrálu. Definování funkcí pomocí integrálu: logaritmus a gama funkce (rozšíření faktoriálu).  Plocha rovinného útvaru, délka  křivky (zadané grafem funkce v rovině) a objem rotačního tělesa pomocí integrálu.  text 6. přednášky.

7. přednáška 29. 3. 2007. 2. Posloupnosti a řady funkcí. Stejnoměrná konvergence. Bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí. Příklady (zejména: bodová konvergence obecně nezachovává spojitost funkce). Bolzanova-Cauchyova podmínka stejnoměrné konvergence. Lokálně stejnoměrná konvergence na intervalu je ekvivalentní stejnoměrné konvergenci na kompaktních podintervalech, Diniho věta (spojité funkce monotónně konvergující  na kompaktním intervalu ke spojité funkci musejí konvergovat stejnoměrně) - obojí bez důkazu. Mooreova-Osgoodova věta (záměna pořadí limity posloupnosti funkcí s limitou funkce v bodě). Lokálně stejnoměrná konvergence zachovává spojitost funkce. text 7. přednášky.

8. přednáška 5. 4. 2007. Věta o záměně pořadí limity a integrace. Příklady na to, že s derivacemi to tak jednoduché není. Věta o záměně pořadí limity a derivace (oprava: ve druhé části důkazu---při počítání derivace limitní funkce---je ještě nutné ověřit předpoklady V. 2. 3, což neplyne z první části, jak jsem mylně tvrdil, viz text přednášky). Weierstrassova věta o aproximaci polynomy, bez důkazu.  Řady funkcí. Verze vět o záměnách limity posloupnosti funkcí s limitou v bodě, s integrováním a s derivováním pro řady funkcí. Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence řad funkcí. text 8. přednášky.

9. přednáška 19. 4. 2007. (12. 4. přednáška z analýzy není---výměna výuky s doc. Čepkem) Abelovo a Dirichletovo kritérium stejnoměrné konvergence řad (bez důkazu). Mocninné řady.  Mocninná řada s koeficienty an a středem x0. Věta o poloměru konvergence. Lokálně stejnoměrná konvergence m. řady na intervalu konvergence. Důsledky: limitění, integrování a derivování m. řady člen po členu-součet m. řady je nekonečně hladká funkce. Abelova věta. text 9. přednášky.

10. přednáška 26. 4. 2007. Tři příklady aplikací mocninných řad v kombinatorice a teorii čísel: rozklady na lichá čísla a na různá čísla, odvození formule pro Fibonacciova čísla, nemožnost rozkladu nezáporných celých čísel na aritmetické posloupnosti se vzájemně různými diferencemi. Fourierovy řady. Trigonometrická řada. Skoro skalární součin funkcí <f, g> = integrál od -pi do pi z  fg. text 10. přednášky (jen stručně, podrobněji v učebním textu).

11. přednáška 3. 5. 2007. Siny a cosiny tvoří ortogonální systém. Fourierovy koeficienty funkce a Fourierova řada funkce. Besselova nerovnost a Riemannovo-Lebesgueovo lemma pro F. koeficienty. Po částech hladké funkce. Věta o bodové konvergenci F. řady, důkaz příště.  (text 11. přednášky je v pdf textu).

12. přednáška 10. 5. 2007. Lemma o Dirichletově jádře. Důkaz dvou vět o konvergenci F. řady, 1) o bodové konvergenci pro po částech hladké funkce a 2) o stejnoměrné konvergenci pro spojité a po částech hladké funkce. (text 12. přednášky je v pdf textu).

13. přednáška 17. 5. 2007. Přednáška odpadá pro účast přednášejícího v porotě soutěže SVOČ . Bude ale nahrazena pasáží v učebním textu (pár konkrétních příkladů na Fourierovy řady, úvod do metrických prostorů).

14. přednáška 24. 5. 2007. 3. Metrické prostory. Pojem metrického prostoru. Příklady metr. prostorů (lp metrika a její speciální případy: euklidovská, pošťácká a maximová, grafová metrika, vzdálenost bodů na sféře, integrální metrika, ...), pojem ultrametriky (nearchimedovské metriky). Izometrie metr. prostorů a důkaz, že polosféra není izometrická rovinné (nebo obecněji jakékoli euklidovské) oblasti - "sféra není plochá". Otevřené a uzavřené množiny v metr. prostoru a jejich vlastnosti. Limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru.
učební text k přednášce ve formátu pdf (74 strany)  (Text obsahuje látku ze všech přednášek 1-14, více už toho nebude. Překlepy nahlášené do 20.6.2007 byly opraveny. Připomínky jsou vítány!). 

červen 2007