2. přednáška 10. 10. 2014. Reálná čísla. Reálná
čísla jako nekonečné desetinné rozvoje. Supremum a infimum, věta o
supremu v R, neplatí ve Q. Existence 2^{1/2} v R jako důsledek věty o
supremu.
Zápis z 2. přednášky .
3. přednáška 17. 10. 2014. Důsledek suprema: Cantorova věta o intervalech. Nespočetnost
R. Velmi stručně: Cantorova a Dedekindova konstrukce R.
Limita nekonečné posloupnosti. Definice vlastní i nevlastní limity, jednoznačnost
limity.
Příklad: lim n^{1/n} = 1.
Zápis ze 3. přednášky.
4. přednáška 24. 10. 2014. Věta
o monotónní posloupnosti, důkaz. Podposloupnost, tvrzení o limitě
podposloupnosti, důkaz jako úloha. Tvrzení o aritmetice limit, důkaz.
Příklad s rekurentní posloupností a_1 = 2, a_{n+1} = a_n/2 + 1/a_n
. Tvrzení o limitě a uspořádání, důkaz. Věta o 2 policajtech, důkaz.
Zápis ze 4. přednášky.
5. přednáška 31. 10. 2014. Dvě
základní limity, lim n^a a lim q^n. Věta o monotónní podposloupnosti,
důkaz. Bolzanova - Weierstrassova věta, důkaz. Cauchyovské posloupnosti
a Cauchyho podmínka, důkaz. Aritmetika nekonečen, neurčité výrazy,
rozšířená aritmetika limit, bez důkazu. Limes inferior a limes superior
posloupnosti, dvě ekvivalentní definice, na přednášce bez důkazu, ale v
zápisu z 5. přednášky s důkazem.
6. přednáška 7. 11. 2014. Nekonečné řady. Základní
definice. Poznámky o značení nekonečných řad. Příklady řad. Tvrzení o
podmínkách konvergence řad, důkaz. Geometrická řada a zeta(s). Absolutní konvergence, implikuje
obyčejnou, důkaz. Leibnizovo kritérium (neabsolutní) konvergence,
důkaz. Lineární kombinace řad, necháno jako úloha.
Zápis ze 6. přednášky.
7. přednáška 14. 11. 2014. Abelovo
a Dirichletovo kritérium, bez důkazu. Důkaz, že zeta(s) pro s > 1
konverguje, zobecňuje ho Cauchyovo kondenzační kritérium. Srovnávací
kritérium, důkaz. Srovnání s geometrickou řadou: odmocninové a podílové
kritérium, důkazy. Přerovnání řad. Riemannova věta o přerovnání
neabsolutně konvergentní řady, naznačení důkazu.Věta o přerovnání
absolutně konvergentní řady, důkaz příště.
Zápis ze 7. přednášky.
8. přednáška 21. 11. 2014. Důkaz
věty o přerovnání absolutně konvergentní řady. Abs. konvergentní řady s
libovolnou (spočetnou) množinou indexů. Násobení abs. konv. řad, bez
důkazu.
Exponenciální funkce. Exponenciála
jako součet nekonečné řady. Tvrzení: exp(x + y) = exp(x) exp( y),
důkaz. Tvrzení: lim (1 + x / n)^n = exp(x) , důkaz.
Poznámka o logaritmu jako inverzní funkci k exp(x). Funkce sin x a cos
x z exponenciály pomocí nekonečných řad.
Zápis z 8. přednášky.
9. přednáška 28. 11. 2014. Limita funkce v bodě a spojitost funkce. Okolí
bodu, prstencové, jednostranné. Limita funkce v bodě a je A, a a A
mohou být i nekonečno. Poznámky a příklady k této definici.
Jednostranná
limita funkce v bodě.
Spojitost
funkce v bodě. Tvrzení o jednoznačnosti limity funkce, důkaz. Heineho
definice limity funkce v bodě, důkaz. Tvrzení o aritmetice limit
funkcí, bez důkazu. Tvrzení o limitě monotónní funkce, důkaz.
Zápis z 9. přednášky.
10. přednáška 5. 12. 2014.
Tvrzení o limitě funkce a uspořádání, bez důkazu. Tvrzení o limitě
složené funkce, důkaz. Funkce spojité na intervalu. Darbouxova věta o
mezihodnotách, důkaz. Princip maxima, důkaz. Tvrzení o spojitosti
inverzní funkce, bez důkazu. Třídy spojitých funkcí: polynomy,
racionální funce, exponenciála, goniometrické funkce, ... .
Zápis z 10. přednášky.
11. přednáška 12. 12. 2014. Poznámka o lipschitzovských funkcích (podtřída spojitých).
Derivace funkce. Definice,
poznámky, příklady. Geometrický význam derivace: určuje tečnu. Tvrzení:
vlastní derivace implikuje spojitost, důkaz. Tvrzení o aritmetice
derivací, důkaz pouze Leibnizovy formule. Tvrzení o derivaci
složené funkce, bez důkazu. Stejně tak pro tvrzení o derivaci inverzní
funkce. Přehled derivací elementárních funkcí: příště. Definice extrémů
funkce. Tvrzení: v a s df/dx(a) = 0 není lokální extrém, důkaz.
Příklady. Formulace vět o střední hodnotě: Rolleova a Lagrangeova,
důkazy příště.
Zápis z 11. přednášky.
12. přednáška 19. 12. 2014. Důkazy
vět o střední hodnotě. L'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit
neurčitých výrazů, bez důkazu. Tvrzení (jednostranná derivace jako
jednostranná limita derivace), bez důkazu. Věta (derivace a monotonie),
důkaz. Přehled derivací elementárních funkcí. Derivace vyšších řádů.
Konvexní a konkávní funkce. Tvrzení (konv., konk. => f'_{+-}), bez
důkazu. Důsledek:
konv., konk.
funkce je spojitá. Věta (konv., konk. a f''), bez důkazu. Inflexní bod.
Tvrzení (f'' není 0 => není inflexe), bez důkazu. Tvrzení
(postačující podmínka inflexe), bez důkazu.
Zápis z 12. přednášky.
13. přednáška 9. 1. 2015. Taylorův
polynom, Věta (charakterizace T. polynomu), důkaz. Věta (obecný tvar
zbytku T. polynomu) a Lagrangeův a Cauchův tvar zbytku, bez důkazu.
Taylorova řada funkce. Taylorovy řady (se středem v 0) několika
elementárních funkcí: exp(x), sin(x), cos(x), log(1 + x), log(1 -
x), log(1 - x)^{-1}, (1 + x)^a, arctan x. Poznámka: koeficienty v T.
řadě funkce tan(x) + sec(x) počítají střídavé permutace (což jsou ty
permutace a_1, a_2, ..., a_n čísel 1, 2, ..., n, že a_1 < a_2 >
a_3 < ...).
Zápis ze 13. přednášky.
leden 2015