Literatura k přednášce: J. Esmonde and M. R. Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Springer 1999.

Anotace: Nahradíme-li těleso racionálních čísel Q jeho konečným rozšířením K, např. K=Q(i) nebo K=Q(2^{1/2}), okruh celých čísel Z se rozšíří do okruhu celých čísel O_K tělesa K. Algebraická teorie čísel se zabývá aritmetikou O_K, zejména podobami jednoznačného rozkladu na ireducibilní prvky. Tyto výsledky mají důležité aplikace v původním okruhu Z, hlavně při řešení diofantických rovnic. V přednášce zavedeme klíčové pojmy, dokážeme základní výsledky a budeme se věnovat aplikacím na diofantické rovnice.

Osnova: Základní pojmy a výsledky z komutativní algebry. Okruhy celých čísel. Dedekindovy obory a rozklady v nich. Grupa tříd. Jednotky. Aplikace v teorii diofantických rovnic.

Zkouškové otázky.
1. Dokažte, že pro každé prvočíslo q existuje nekonečně mnoho prvočísel kongruentních 1 modulo q.
2. Dokažte, že okruh Z[exp(2.pi.i/3)] je okruh hlavních ideálů.
3. Najděte všechna celočíselná řešení rovnice x3 = y2 + 4.
4. Když R je okruh s jednoznačnými rozklady, potom i okruh polynomů R[x] má jednoznačné rozklady - dokažte.
5. Dokažte, že algebraická čísla tvoří podtěleso a celá algebraická čísla podokruh tělesa komplexních čísel.
6. Každé číselné těleso K (tj. podtěleso C, které je konečným rozšířením tělesa Q) je tvaru K=Q(a) pro nějaké
komplexní číslo a - dokažte. 
7. Definujte kruhové (cyklotomické) polynomy a dokažte jejich základní vlastnosti.
8. Definujte diskriminant  číselného tělesa K a dokažte, že okruh celých čísel K má celistvou bázi.
9. Dokažte pro okruh celých čísel číselného tělesa větu 4.7 o jednoznačnosti rozkladu ideálů na součiny prvoideálů.
10. Dokažte větu 4.14 o rozkladu prvočísla p v okruhu celých čísel číselného tělesa.
11. Dokažte konečnost počtu tříd ideálů v okruhu celých čísel číselného tělesa a uveďte Dirichletovu větu o jednotkách.

1. přednáška 12. října 2005. Kapitola 1: Jednoznačné rozklady v okruhu celých čísel. Věta 1.1: Existuje nekonečně mnoho prvočísel. Lemma: Pro každý nekonstantní celočíselný polynom f(x) existuje nekonečně mnoho prvočísel p takových, že p dělí f(z) pro nějaké celé číslo z.  Věta 1.2: Pro každé prvočíslo q existuje nekonečně mnoho prvočísel kongruentních s 1 modulo q. Lemma: Jsou-li a, b nesoudělná celá čísla, potom ax + by = 1 pro nějaká celá čísla x, y. Lemma: Pokud prvočíslo dělí součin dvou celých čísel, pak dělí jedno z nich. Věta 1.3 (existence a jednoznačnost rozkladů na prvočísla v Z): Každé nenulové celé číslo je součinem čísel p a -p, kde p je prvočíslo, a každé dva takové součiny se liší jen pořadím činitelů a volbou znamének. Aplikace jednoznačnosti: iracionalita odmocniny ze dvou a neexistence netriviálních řešení diofantické rovnice x4 + y4 = z2   (bez důkazu).
Kapitola 2: Okruhy s jednoznačnými rozklady (OJR). Definice: a dělí b, jednotky okruhu, asociovanost, ireducibilní prvky. Tvrzení 2.1: Pokud existuje multiplikativní homomorfismus z nenulových prvků okruhu R do přirozených čísel, který nabývá hodnoty 1 právě a jen na jednotkách R, potom je v R každý nenulový prvek součinem ireducibilních prvků. Důsledek: V okruzích Z[d1/2 ], kde d je bezčtvercové celé číslo, je každý nenulový prvek součinem ireducibilních prvků.

2. přednáška 19. října 2005. V okruhu  Z[-5^{1/2}] neplatí jednoznačnost ireducibilních rozkladů. Okruhy s jednoznačnými rozklady (OJR) a okruhy hlavních ideálů (OHI). Věta 2.2: R je OHI --> R je OJR. Euklidovské okruhy. Věta 2.3: R je euklidovský --> R je OHI. Příklady euklidovských okruhů: 1. F[x], kde F je pole, 2. Gaussova čísla Z[i], 3. Eisensteinova čísla Z[rho] (kde rho^3 = 1, rho není 1). Nesoudělnost v okruhu. Tvrzení 2.4: Diofantická rovnice x^3 = y^2 + 1 má jediné řešení (1, 0). Tvrzení 2.5: Diofantická rovnice x^3 = y^2 + 4 má pouze řešení (2, + - 2) a (5, + - 11).

3. přednáška 26. října 2005. Dokončení důkazu tvrzení 2.5. Primitivní polynomy nad okruhy. Lemma (Gaussovo): Součin primitivních polynomů s koeficienty z okruhu, který je OJR, je opět primitivní. Věta 2.6: Je-li okruh OJR, je i okruh polynomů nad ním OJR.
Kapitola 3: Algebraická čísla a celá algebraická čísla. Definice, minimální polynom alg. čísla. Lemma: Alg. číslo lze vynásobit vhodným celým číslem tak, že dostanu celé alg. číslo.  Věta 3.1: Minimální polynom alg. čísla a dělí každý polynom anulující se na a, je ireducibilní a má jednoduché kořeny. Připomenutí Liouvilleovy věty o aproximaci alg. čísel zlomky. Tvrzení 3.2: Pro algebraické číslo a platí Q[a] = Q(a). Algebraická číselná tělesa. Tvrzení 3.3: Algebraická čísla tvoří podtěleso tělesa komplexních čísel.

4. přednáška 2. listopadu 2005. Věta 3.4 (o primitivním prvku): Pro každá dvě alg. čísla a, b existuje alg. číslo c takové, že Q[a, b] = Q[c]. Konjugáty alg. čísla, konjugovaná pole, normální (Galoisovo) rozšíření, vnoření číselného tělesa do C, normální uzávěr. Tvrzení 3.5 (Eisensteinovo kritérium): Pokud prvočíslo p dělí a(0), a(1), ..., a(k-1) a  p2 nedělí a(0), pak v ireducibilním rozkladu polynomu xn + a(n-1)xn-1 +  ... +a(1)x +a(0) je faktor stupně alespoň k; pro k=n je p(x) nutně ireducibilní. Cyklotomické polynomy. Tvrzení 3.6: Cyklotomické polynomy jsou monické, celočíselné a ireducibilní; dávají faktorizaci polynomu xm -1 a jsou to tedy minimální polynomy primitivních odmocnin z jedné.

5. přednáška 9. listopadu 2005. Přidáním prim. m-té odmocniny z 1 dostáváme normální rozšíření Q. Normální uzávěr tělesa Q(a1/p), kde a je bezčtvercové celé číslo, je Q(a1/p, s), kde s je prim. p-tá odmocnina z 1. Okruh celých čísel OK číselného tělesa K. Tvrzení 3.7: Celá  algebraická čísla tvoří podokruh tělesa komplexních čísel. Stopa Tr(a) a norma N(a) alg. čísla vzhledem k nějakému rozšíření K nad Q. Tvrzení 3.8: Základní vlastnosti stopy a normy. Tvrzení 3.9: Každý okruh celých čísel OK číselného tělesa má celistvou bázi (dá se nakombinovat jako celočíselné lin. kombinace konečně mnoha svých prvků); první důkaz pomocí F-duální báze vzhledem k bilineární formě F(a, b) = Tr(ab).

6. přednáška 16. listopadu 2005. Diskriminant n-tice prvků číselného tělesa stupně n, diskriminant číselného tělesa K. Druhý důkaz existence celistvé báze OK pomocí nejmenšího diskriminantu. Tvrzení 3.10: Tvar diskriminantu n-tice mocnin jednoho prvku. Tvrzení 3.11: Kvadratické těleso K = Q(D1/2) má jako okruh celých čísel Z[D1/2] pokud je D kongruentní 2 nebo 3 modulo 4 a  Z[(1+D1/2)/2] pokud je D kongruentní 1 modulo 4.

7. přednáška 23. listopadu 2005. Tvrzení 3.12 (Stickelbergerova kongruence): Diskriminant číselného tělesa je vždy kongruentní 0 nebo 1 modulo 4; důkaz jak jsem ho řekl (podle Esmonde-Murty) ale funguje jen pro normální číselné těleso, obecně se musí argumentovat pomocí symetrických polynomů. Tvrzení 3.12: Je-li s prim. p-tá odmocnina z 1, je okruh celých čísel cyklotomického tělesa K = Q(s) roven Z[s] .
Kapitola 4: Dedekindovy obory. Definice: obor integrity R je Dedekindův obor, pokud je celistvě uzavřený, noetherovskýa každý nenulový prvoideál v R už je maximální. Ukážeme, že každý okruh celých čísel OK číselného tělesa je Dedekindův obor.

8. přednáška 30. listopadu 2005. Pokus o opravu důkazu Stickelbergerovy kongruence. Tvrzení 4.1: Okruh celých čísel OK  je celistvě uzavřený. Tvrzení 4.2: Okruh celých čísel OK  je noetherovský. Tvrzení 4.3: V okruhu celých čísel OK je každý prvoideál maximální. Sčítání a násobení ideálů. Lemma 4.4: Každý nenulový ideál v OK obsahuje součin prvoideálů. Lemma 4.5: Pro každý prvoideál P v OK existuje prvek z v K  takový, že není v OK a  zP je podmnožina OK . Zlomkové ideály.

9. přednáška 7. prosince 2005. Lemma 4.6: Pro každý prvoideál P v OK platí, že P.P -1 = OK . Věta 4.7: Každý ideál v OK lze psát až na pořadí jednoznačně jako součin prvoideálů. Tvrzení 4.8: Každý zlomkový ideál I v K má až na pořadí jednoznačné vyjádření ve tvaru I = (P1 P2 ... Pr) / (Q1 Q2 ... Qs), kde Pi a Qi jsou prvoideály a každé Pi je různé od každého Qj . Zlomkové ideály tvoří grupu. NSD a NSN ideálů. Tvrzení 4.9: O tvaru NSD a NSN ideálů. Tvrzení 4.10: Jsou-li A a B dva nesoudělné ideály v OK (tj. A + B = OK ), potom pro každé dva prvky a a b z OK má soustava kongruencí  x = a (mod A),  x = b (mod B) v OK řešení.

10. přednáška 14. prosince 2005. Tvrzení 4.11: Norma ideálů je multiplikativní. Tvrzení 4.12: Je-li a z OK , potom N(a) = N((a)) (norma prvku a norma jím generovaného ideálu se shodují). Tvrzení 4.13: Je-li p prvočíslo a  pOK  = P1e(1) P2e(2)  ... Pre(r) ) je rozklad na prvoideály, potom norma Pi je pf(i) a e(1)f(1) + e(2)f(2) + ... + e(r)f(r) = n. Věta 4.14: Nechť p je prvočíslo, t je takový prvek z K, že OK = Z[t],  f(x) ze Z[x] je minimální polynom t a f(x) = f(1)(x)e(1) ... f(r)(x)e(r) je ireducibilní rozklad f(x) v Zp[x], potom pOK  = P1e(1) P2e(2)  ... Pre(r) , kde Pi= (p, f(i)(t)) jsou prvoideály s normou pdeg(f(i)). Příklad na tuto větu.

11. přednáška 21. prosince 2005, 12. přednáška 4. ledna 2006 a 13. přednáška 11. ledna 2006:  Důkaz věty 4.14. Kapitola 5: Grupa tříd ideálů. Ekvivalence ideálů, třídy ideálů a dva důkazy konečnosti počtu tříd ideálů v OK - první podle knihy Esmonde-Murty a druhý jednodušší podle knihy D. A. Marcus, Number Fields, Springer 1977. Aplikace: grupa tříd ideálů v okruhu celých čísel tělesa Q((-5)1/2) má dva prvky, z čehož plyne, že diofantická rovnice x2 + 5 = y3 nemá celočíselné řešení. Dirichletova věta o jednotkách (bez důkazu): Grupa jednotek U v okruhu OK celých čísel číselného tělesa K se skládá z prvků tvaru a.u(1)k(1).u(2)k(2) ... u(r)k(r), kde a probíhá všechny odmocniny z jedné ležící v K (tvoří konečnou cyklickou grupu), k(i) jsou celá čísla, r = (počet reálných vnoření K do C) + (počet dvojic konjugovaných nereálných vnoření) - 1, a u(1),. ..., u(r) jsou (tzv. fundamentální) jednotky.



leden 2006