Analytická a kombinatorická teorie čísel NDMI045

Plán přednášky pro LS 2010. Podle časových možností se podíváme na následující tři významné a fascinující výsledky z teorie čísel. 1. Dirichletova věta z r. 1837 (každá aritmetická posloupnost a, a+m, a+2m, ..., s nesoudělnými a, m obsahuje nekonečně mnoho prvočísel), 2. Thueho věta z r. 1909 (diofantické rovnice typu x3 - 2y3 =1 mají jen konečně mnoho celočíselných řešení) a 3. Gelfondova-Schneiderova věta z r. 1934 (řešení 7. Hilbertova problému: čísla typu 2 umocněno na odmocninu ze 2 jsou transcendentní).

Literatura. 1. P. Pollack, Not Always Burried Deep. Second Course in Elementary Number Theory, AMS, 2009. 2.  U. Zannier, Lecture Notes on Diophantine Analysis,  Edizioni della Normale, Pisa, 2009. 3. S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

Text k přednášce. Zde je učební text k přednášce v angličtině.


1. přednáška, 2. 3. 2010. Úvod do tří navrhovaných témat. Začneme s Thueho větou. 1. Thueho věta. Nejprve její speciální případ, dokázaný samotným Thuem v r. 1908: pro každá celá čísla a, b, c, n , kde a, b > 0, n > 2 a c není 0, má diofantická rovnice ax^n - by^n = c jen konečně mnoho celočíselných řešení x, y. Vyplývá to ze dvou tvrzení. T1: Existují takové celočíselné polynomy P_1, P_2, ... a Q_1, Q_2, ..., že (i) P_r(x) a Q_r(x) mají stupeň nejvýše r, (ii) jejich koeficienty jsou jen exponenciálně velké v r, (iii) pro každé nenulové x ani P_{r+1}(x).Q_r(x) - P_r(x).Q_{r+1}(x) není nula a (iv) pro | x | < 1 je | P_r(x) - (1 - x)^{1/n}.Q_r(x) | < c^r | x |^{2r+1}, kde c je konstanta. T2: Pokud pro reálné číslo theta > 0 máme takovou posloupnost dvojic celých čísel p_r, q_r, že p_{r+1}q_r - p_{r}q_{r+1} není nikdy nula, | q_r | < t^{br} a | p_r - q_r.theta | < t^{- ar}, kde t > 1, a, b > 0 jsou konstanty, potom pro každou volbu konstant c > b/a, d> 0 existuje jen konečně mnoho dvojic celých čísel p, q, q > 0, že | p - q.theta | < d.q^{- c}. T1 dokazovat nebudeme, ale T2 jsme si dokázali. Odvození speciální Thueho věty z T1 a T2 příště.

2. přednáška, 9. 3. 2010. Odvození speciální Thueho věty z T1 a T2. Nyní obecná Thueho věta (Thue, 1909): Diofantická rovnice a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}y + ... + a_1xy^{n-1} + a_0y^n = m, kde m je celé číslo a levá strana je homogení ireducibilní celočíselný polynom stupně alespoň 3, má jen konečně mnoho celočíselných řešení x, y. Souvislost s diof. aproximacemi: Thueho věta plyne z existence zesílení Liouvilleovy nerovnosti, to jest z nerovnosti | a - p/q | > l(q) / q^n, kde a je reálné algebraické číslo stupně n > 2, l(x) je > 0 funkce jdoucí do oo pro x --> oo a p/q je libovolný zlomek. S vlastním důkazem začneme příště.

3. přednáška, 16. 3. 2010. Dvě ekvivalentní formulace Thueho nerovnosti: (i) pro každé e > 0 a reálné algebr. číslo a stupně d > 2 existuje konstanta c = c(a, e), že pro každý zlomek p/q je | a - p/q | > c/q^{1+d/2+e}, (i) pro každé e > 0 a reálné algebr. číslo a stupně d > 2 splňuje nerovnost | a - p/q | < 1/q^{1+d/2+e} jen konečně mnoho zlomků p/q. Implikují konečnost počtu řešení Thueho rovnice. Důkaz Thueho věty. Pro spor předpokládáme, že nekonečně mnoho různých zlomků splňuje nerovnost  | a - p/q | < 1/q^{1+d/2+e}. Pět kroků v důkazu. 1. Pro n = 1, 2, ... existují celočíselné nenulové polynomy P_n(x) a Q_n(x) stupně nejvýše n, jejichž koeficienty jsou pouze exponenciálně velké v n a F_n(x, y) = P_n(x) + yQ_n(x) má v bodě (a, a) nulu vysokého řádu (cca 2n/d). Nechť u = p/q a v = r/s, 0 < q < s, jsou dva zlomky splňující hořejší nerovnost. 2. Horní odhad | D_iF_n(u, v) | < c^n.(q^{-M(n-i)} + s^{-M}), kde M = 1 + d/2 + e a D_i je (i-tá derivace podle x)/i!. 3. Triviální dolní odhad: když D_iF_n(u, v) není 0, tak | D_iF_n(u, v) | je alespoň 1/(q^{n-i}s). 4. Existuje i velké nejvýše 1 + cn/log q, že D_iF_n(u, v) není 0. 5. Pro vhodnou volbu parametrů n, q a s jsou odhady z kroků 2 a 3, 4 ve sporu. Pustili jsme se do kroku 1. Lemma: a^n = je racionální lineární kombinace mocnin a^0, a^1, ..., a^{d-1}, jejíž koeficienty jsou jen exponenciálně velké v n a jejich jmenovatele rovněž. Siegelovo lemma o velikosti řešení homogenní soustavy s více neznámými než rovnicemi, důkaz příště. 

4. přednáška, 23. 3. 2010. Důkaz Siegelova lemmatu (soustava homog. lin. rovnic s n neznámými a m rovnicemi s celočíselnými koeficienty v absolutní hodnotě velkými nejvýše A má při n > m netriviální celočíselné řešení, jehož složky jsou v absolutní hodnotě velké nejvýše (nA)^{m/(n-m)}). Důkaz kroku 1. Začátek důkazu kroku 2.


5. přednáška, 30. 3. 2010. Důkaz kroku 2. Gaussovo lemma: pokud a=bc, kde a je v Z[x] a b, c jsou v Q[x], pak i a=b'c', kde b', c' jsou v Z[x] a b' (resp. c') je konstantní násobek b (resp. c). Důkaz kroku 4. Důkaz kroku 5 - dokončení celého důkazu.


6. přednáška, 6. 4. 2010. 2. Dirichletova věta. Dirichlet, 1837: Jsou-li čísla a a m nesoudělná, pak existuje nekonečně mnoho prvočísel  kongruentních a modulo m.  Dokážeme silnější výsledek, že součet  zlomků log(p)/p přes taková prvočísla p nepřesahující x je log(x)/phi(m) + O(1). Charaktery, Dirichletovy charaktery a jejich vlastnosti. Abelovo lemma: jsou-li  a_1, ..., a_n komplexní čísla a b_1 >= b_2 >= ... >= b_n >= 0 reálná čísla, potom | a_1b_1 + ... + a_nb_n| <= b_1.max_m |a_1 + ... + a_m| . Von Mangoldtova funce Lambda(n) a její vlastnosti, dokončení příště.


7. přednáška, 13. 4. 2010. Odhad: sum_{n<x}Lambda(n)/n = log(x) + O(1). Möbiova funkce a Möbiova inverze. Tvrzení: je-li chi Dirichletův charakter modulo m, pak suma sum_{n<x} chi(n)Lambda(n)/n je rovna O(1) pro netriviální chi a log(x) + O(1) pro triviální chi (druhá část je snadná). Odvození Dirichletovy věty z tohoto tvrzení. Slabší (podmíněná) forma Tvrzení: pro netriviální Dirichletův charakter chi modulo m je suma sum_{n<x} chi(n)Lambda(n)/n rovna O(1) pokud L(1, chi) není 0 a -log(x) + O(1)  pokud L(1, chi) = 0, důkaz. Odtud už snadno plyne, že pro komplexní charakter chi je suma L(1, chi) vždy nenulová. Zbývá případ reálného netriviálního charakteru, který dokončíme příště.


8. přednáška, 20. 4. 2010. Připomenutí vlastností Dirichletových charakterů potřebných pro důkaz nerovnosti L(1, chi) > 0 (chi je reálný a netriviální), zejména: suma hodnot chi(d) přes dělitele čísla n  je vždy >= 0 a je >=1pokud je n čtverec. Tvrzení: L(1, chi) > 0, důkaz. Erdosův částečný důkaz Dirichletovy věty. V r. 1935 P. Erdos dokázal elementárně, pomocí vlastností prvočíselných rozkladů pseudobinomických koeficientů, nekonečnost počtu prvočísel v kongruenční třídě a mod m, (a, m) = 1, za předpokladu, že součet reciprokých hodnot 1/p, kde sčítáme přes prvočísla menší než m a nedělící m, je menší než 1 (popř. nějaký násobek modulu m má tuto vlastnost). Jeho metoda funguje např. pro každé m = 1, 2, ..., 28, ale nikoli už pro m = 29, a obecně funguje jen pro konečně mnoho m. Začátek Erdosova důkazu.


9. přednáška, 27. 4. 2010.  Dokončení Erdosova důkazu.


10. přednáška, 4. 5. 2010. 3. Gelfondova-Schneiderova věta o alfa^beta. Gelfond, 1934; Schneider, 1934 (řešení 7. Hilbertova problému): všechna (komplexní) čísla tvaru alfa^beta, kde alfa i beta je algebraické číslo, přičemž alfa není ani 0 ani 1 a beta není racionální, jsou transcendentní. Schema důkazu. Pro spor nechť gama = alfa^beta = exp(beta.log(alfa)) je algebraické číslo. Nechť K = Q(alfa, beta, gamma).  Vezmeme funkci G(z) = F(z) / (z - log(alfa))^s.(z - 2log(alfa))^s ... (z - m.log(alfa))^s, kde F(z) = sum_{i, j}^r a_{i, j}.exp((beta.i + j)z). Koeficienty a_{i, j}, jichž je r^2, jsou tak vhodně zvolená K-celá čísla, že F(z) není identicky nulová, v každém z bodů log(alfa), 2log(alfa), ..., m.log(alfa) má F(z) nulový bod řádu alespoň s a v některém z nich (řekněme v t.log(alfa)) má nulový bod řádu přesně s. Pak G(t.log(alfa)) není nula a pro vhodnou volbu parametrů r, m a s je dolní odhad na |G(t.log(alfa))| ve sporu s horním odhadem.


11. přednáška, 11. 5. 2010. Konstrukce koeficientů a_{i, j} pomocí Siegelova lemmatu, zobecněného pro číselná tělesa. Dolní odhad na |G(t.log(alfa))| pomocí tohoto lemmatu: je-li a nenulový prvek číselného tělesa K stupně d a a = P(a_1, ..., a_r), kde a_i jsou dané prvky K a P je polynom s K-celými koeficienty stupně n, pak |a| > (h(P).c^n)^{-d}, kde c>1 závisí jen na těch a_i a h(P) je největší absolutní hodnota konjugátu koeficientu P. Horní odhad na |G(t.log(alfa))| analyticky: |G(t.log(alfa))| <= max |G(z)| na kružnici |z| = R, když R > |t.log(alfa)| (podle principu maxima modulu). Nyní stačí optimálně zvolit R.


12. přednáška, 18. 5. 2010. Dokončení horního odhadu na |G(t.log(alfa))| a celého důkazu. 


květen 2010