Analytická a kombinatorická teorie čísel NDMI045
Plán přednášky pro LS 2010. Podle časových možností se podíváme na následující tři
významné a fascinující výsledky z teorie čísel. 1.
Dirichletova věta z r. 1837 (každá aritmetická posloupnost a, a+m,
a+2m, ..., s nesoudělnými a, m obsahuje nekonečně mnoho prvočísel), 2. Thueho věta z r. 1909
(diofantické rovnice typu x3 - 2y3 =1 mají jen
konečně mnoho celočíselných řešení) a 3. Gelfondova-Schneiderova věta z r. 1934 (řešení 7. Hilbertova problému:
čísla typu 2 umocněno na odmocninu ze 2 jsou transcendentní).
Literatura. 1. P. Pollack,
Not Always Burried Deep. Second Course in Elementary Number Theory, AMS, 2009.
2. U. Zannier,
Lecture Notes on Diophantine Analysis,
Edizioni della Normale, Pisa, 2009.
3. S. Lang,
Algebra, Springer, 2002.
Text k přednášce. Zde je učební text k přednášce v angličtině.
1. přednáška, 2. 3. 2010. Úvod do tří navrhovaných témat. Začneme s Thueho větou. 1. Thueho věta. Nejprve její speciální případ, dokázaný samotným Thuem v r. 1908: pro
každá celá čísla a, b, c, n , kde a, b > 0, n > 2 a c není 0, má
diofantická rovnice ax^n - by^n = c jen konečně mnoho celočíselných
řešení x, y. Vyplývá to ze dvou tvrzení. T1:
Existují takové celočíselné polynomy P_1, P_2, ... a Q_1, Q_2, ..., že
(i) P_r(x) a Q_r(x) mají stupeň nejvýše r, (ii) jejich koeficienty jsou
jen exponenciálně velké v r, (iii) pro každé nenulové x ani
P_{r+1}(x).Q_r(x) - P_r(x).Q_{r+1}(x) není nula a (iv) pro | x | < 1
je | P_r(x) - (1 - x)^{1/n}.Q_r(x) | < c^r | x |^{2r+1}, kde c je
konstanta. T2: Pokud pro
reálné číslo theta > 0 máme takovou posloupnost dvojic celých čísel
p_r, q_r, že p_{r+1}q_r - p_{r}q_{r+1} není nikdy nula, | q_r | <
t^{br} a | p_r - q_r.theta | < t^{- ar}, kde t > 1, a, b > 0
jsou konstanty, potom pro každou volbu konstant c > b/a, d> 0
existuje jen konečně mnoho dvojic celých čísel p, q, q > 0, že | p -
q.theta | < d.q^{- c}. T1 dokazovat nebudeme, ale T2 jsme si
dokázali. Odvození speciální Thueho věty z T1 a T2 příště.
2. přednáška, 9. 3. 2010. Odvození speciální Thueho věty z T1 a T2. Nyní obecná Thueho věta (Thue, 1909): Diofantická
rovnice a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}y + ... + a_1xy^{n-1} + a_0y^n = m, kde
m je celé číslo a levá strana je homogení ireducibilní celočíselný
polynom stupně alespoň 3, má jen konečně mnoho celočíselných řešení x,
y. Souvislost s diof. aproximacemi: Thueho věta plyne z
existence zesílení Liouvilleovy nerovnosti, to jest z nerovnosti | a -
p/q | > l(q) / q^n, kde a je reálné algebraické číslo stupně n >
2, l(x) je > 0 funkce jdoucí do oo pro x --> oo a p/q je
libovolný zlomek. S vlastním důkazem začneme příště.
3. přednáška, 16. 3. 2010. Dvě
ekvivalentní formulace Thueho nerovnosti: (i) pro každé e > 0 a
reálné algebr. číslo a stupně d > 2 existuje konstanta c = c(a, e),
že pro každý zlomek p/q je | a - p/q | > c/q^{1+d/2+e}, (i) pro
každé e > 0 a reálné algebr. číslo a stupně d > 2 splňuje
nerovnost | a - p/q | < 1/q^{1+d/2+e} jen konečně mnoho zlomků p/q.
Implikují konečnost počtu řešení Thueho rovnice. Důkaz Thueho věty. Pro spor předpokládáme, že nekonečně mnoho různých zlomků splňuje nerovnost | a - p/q | < 1/q^{1+d/2+e}. Pět kroků v důkazu. 1. Pro
n = 1, 2, ... existují celočíselné nenulové polynomy P_n(x) a Q_n(x)
stupně nejvýše n, jejichž koeficienty jsou pouze exponenciálně velké v
n a F_n(x, y) = P_n(x) + yQ_n(x) má v bodě (a, a) nulu vysokého řádu
(cca 2n/d). Nechť u = p/q a v = r/s, 0 < q < s, jsou dva zlomky
splňující hořejší nerovnost. 2. Horní odhad | D_iF_n(u, v) | < c^n.(q^{-M(n-i)} + s^{-M}), kde M = 1 + d/2 + e a D_i je (i-tá derivace podle x)/i!. 3. Triviální dolní odhad: když D_iF_n(u, v) není 0, tak | D_iF_n(u, v) | je alespoň 1/(q^{n-i}s). 4. Existuje i velké nejvýše 1 + cn/log q, že D_iF_n(u, v) není 0. 5. Pro
vhodnou volbu parametrů n, q a s jsou odhady z kroků 2 a 3, 4 ve sporu.
Pustili jsme se do kroku 1. Lemma: a^n = je racionální lineární
kombinace mocnin a^0, a^1, ..., a^{d-1}, jejíž koeficienty jsou jen
exponenciálně velké v n a jejich jmenovatele rovněž. Siegelovo lemma o
velikosti řešení homogenní soustavy s více neznámými než rovnicemi,
důkaz příště.
4. přednáška, 23. 3. 2010. Důkaz
Siegelova lemmatu (soustava homog. lin. rovnic s n neznámými a m
rovnicemi s celočíselnými koeficienty v absolutní hodnotě velkými
nejvýše A má při n > m netriviální celočíselné řešení, jehož složky
jsou v absolutní hodnotě velké nejvýše (nA)^{m/(n-m)}). Důkaz kroku 1. Začátek důkazu kroku 2.
5. přednáška, 30. 3. 2010. Důkaz
kroku 2. Gaussovo lemma: pokud a=bc, kde a je v Z[x] a b, c jsou v
Q[x], pak i a=b'c', kde b', c' jsou v Z[x] a b' (resp. c') je
konstantní násobek b (resp. c). Důkaz kroku 4. Důkaz kroku 5 -
dokončení celého důkazu.
6. přednáška, 6. 4. 2010. 2. Dirichletova věta. Dirichlet, 1837: Jsou-li čísla a a m nesoudělná, pak existuje nekonečně mnoho prvočísel kongruentních a modulo m.
Dokážeme silnější výsledek, že součet zlomků log(p)/p přes taková
prvočísla p nepřesahující x je log(x)/phi(m) + O(1). Charaktery,
Dirichletovy charaktery a jejich vlastnosti. Abelovo lemma:
jsou-li a_1, ..., a_n komplexní čísla a b_1 >= b_2 >= ...
>= b_n >= 0 reálná čísla, potom | a_1b_1 + ... + a_nb_n| <=
b_1.max_m |a_1 + ... + a_m| . Von Mangoldtova funce Lambda(n) a její
vlastnosti, dokončení příště.
7. přednáška, 13. 4. 2010. Odhad: sum_{n<x}Lambda(n)/n = log(x) + O(1). Möbiova funkce a Möbiova inverze.
Tvrzení:
je-li chi Dirichletův charakter modulo m, pak suma sum_{n<x}
chi(n)Lambda(n)/n je rovna O(1) pro netriviální chi a log(x) + O(1) pro
triviální chi (druhá část je snadná). Odvození Dirichletovy věty z tohoto tvrzení.
Slabší (podmíněná) forma Tvrzení: pro netriviální Dirichletův
charakter chi modulo m je suma sum_{n<x} chi(n)Lambda(n)/n rovna O(1) pokud L(1, chi) není 0 a -log(x) + O(1) pokud L(1, chi) = 0, důkaz
. Odtud
už snadno plyne, že pro komplexní charakter chi je suma L(1, chi) vždy
nenulová. Zbývá případ reálného netriviálního charakteru, který
dokončíme příště.
8. přednáška, 20. 4. 2010. Připomenutí
vlastností Dirichletových charakterů potřebných pro důkaz nerovnosti
L(1, chi) > 0 (chi je reálný a netriviální), zejména: suma hodnot
chi(d) přes dělitele čísla n je vždy >= 0 a je >=1pokud je
n čtverec.
Tvrzení: L(1, chi) > 0, důkaz.
Erdosův částečný důkaz Dirichletovy věty. V
r. 1935 P. Erdos dokázal elementárně, pomocí vlastností prvočíselných
rozkladů pseudobinomických koeficientů, nekonečnost počtu prvočísel v
kongruenční třídě a mod m, (a, m) = 1, za předpokladu, že součet
reciprokých hodnot 1/p, kde sčítáme přes prvočísla menší než m a
nedělící m, je menší než 1 (popř. nějaký násobek modulu m má tuto
vlastnost). Jeho metoda funguje např. pro každé m = 1, 2, ..., 28, ale
nikoli už pro m = 29, a obecně funguje jen pro konečně mnoho m. Začátek
Erdosova důkazu.
9. přednáška, 27. 4. 2010. Dokončení Erdosova důkazu.
10. přednáška, 4. 5. 2010. 3. Gelfondova-Schneiderova věta o alfa^beta. Gelfond,
1934; Schneider, 1934 (řešení 7. Hilbertova problému): všechna
(komplexní) čísla tvaru alfa^beta, kde alfa i beta je algebraické
číslo, přičemž alfa není ani 0 ani 1 a beta není racionální, jsou
transcendentní. Schema důkazu. Pro spor nechť gama = alfa^beta =
exp(beta.log(alfa)) je algebraické číslo. Nechť K = Q(alfa, beta,
gamma). Vezmeme funkci G(z) = F(z) / (z - log(alfa))^s.(z -
2log(alfa))^s ... (z - m.log(alfa))^s, kde F(z) = sum_{i, j}^r a_{i,
j}.exp((beta.i + j)z). Koeficienty a_{i, j}, jichž je r^2, jsou tak
vhodně zvolená K-celá čísla, že F(z) není identicky nulová, v každém z
bodů log(alfa), 2log(alfa), ..., m.log(alfa) má F(z) nulový bod řádu
alespoň s a v některém z nich (řekněme v t.log(alfa)) má nulový bod
řádu přesně s. Pak G(t.log(alfa)) není nula a pro vhodnou volbu
parametrů r, m a s je dolní odhad na |G(t.log(alfa))| ve sporu s horním
odhadem.
11. přednáška, 11. 5. 2010. Konstrukce
koeficientů a_{i, j} pomocí Siegelova lemmatu, zobecněného pro číselná
tělesa. Dolní odhad na |G(t.log(alfa))| pomocí tohoto lemmatu: je-li a
nenulový prvek číselného tělesa K stupně d a a = P(a_1, ..., a_r), kde
a_i jsou dané prvky K a P je polynom s K-celými koeficienty stupně n,
pak |a| > (h(P).c^n)^{-d}, kde c>1 závisí jen na těch a_i a h(P)
je největší absolutní hodnota konjugátu koeficientu P. Horní odhad na
|G(t.log(alfa))| analyticky: |G(t.log(alfa))| <= max |G(z)| na
kružnici |z| = R, když R > |t.log(alfa)| (podle principu maxima
modulu). Nyní stačí optimálně zvolit R.
12. přednáška, 18. 5. 2010. Dokončení horního odhadu na |G(t.log(alfa))| a celého důkazu.
květen 2010