\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Devátá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 12.12.2020, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}

\begin{enumerate}
\item\relax[5b] Nechť $B$ je báze vektorového prostoru $V$ nad $\Z_5$. 
Vektory $v_1,v_2,v_3$ mají vůči bázi $B$ souřadnice $(4,2,2), (3,4,3), (1,2,3)$.
Vektory $u_1,u_2,u_3$ mají vůči $B$ souřadnice $(2,2,4)$, $(1,4,1)$, $(4,4,4)$.
Dokažte, že obě posloupnosti $(v_1,v_2,v_3)$ i $(u_1,u_2,u_3)$ tvoří bázi $V$. 

Vektor $w$ má vůči bázi $(v_1,v_2,v_3)$ souřadnice $(1,4,3)$. Vypočtěte jeho souřadnice vůči bázi $(u_1,u_2,u_3)$. (Nápověda: Příklad lze řešit jako soustavu rovnic.)

\item\relax[3b] Mějme podprostor $U$ prostoru $\Z^3_7$ určený bází $B = \bigl((3,2,4),(6,1,5)\bigr)$. Určete zda je vektor $(4,4,2) \in \Z^3_7$ v prostoru $U$. Pokud ano, tak určete jeho souřadnice vůči bázi $B$.

\item\relax[4b] Nechť $M$ je vektorový prostor reálných matic velikosti $2 \times 2$. A nechť $S$ je množina reálných symetrických matic velikosti $2 \times 2$. 
Ukažte, že $S$ je podprostor $M$. Nalezněte nějakou bázi $S$ a spočtěte jeho dimenzi.
\item\relax[bonus+1] Zobecněte předchozí příklad na matice $n\times n$. 
\end{enumerate}



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
