\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Osmá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 4.12.2020, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}
\begin{enumerate}
\item\relax[3b] Pro které hodnoty parametru $a \in \R$ jsou vektory $(1, a, 1), (1, 1, 1)$ a $(2, 2, a)$ lineárně nezávislé?

\item\relax[3b] Nad $\Z_5$ jsou vektory
$(1,2,3,3), (1,3,2,4), (1,4,2,3), (2,3,1,4), (2,2,2,2)$ lineárně závislé. Najděte nějakou netriviální lineární kombinaci, která se sečte na nulový vektor. Dále vyjádřete jeden ze zadaných vektorů jako lineární kombinaci zbylých vektorů. 

\item\relax[3b] Ukažte, že vektory $v_1, \dots , v_n \in V$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když $v_1 , v_1 +v_2 , \dots, \sum_{i \in [n]} v_i$ jsou lineárně nezávislé.

\item\relax[bonus+3b] Buď $X$ posloupnost funkcí $1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \sin 3x, \cos 3x, \ldots$. Ta je lineárně nezávislá. Zůstane lineárně nezávislou i pokud k ní přidáme funkci $\left(\sin x\right)^2$? 

\emph{Tyto úvahy jsou základem pro tzv. Fourierovu transformaci. Ta se vyžívá např. při zpracování zvuku a obrazu, jpeg kompresi obrazu, mp3 formátu v hudbě, apod. }
\end{enumerate}



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
