\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Sedmá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 27.11.2020, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}
\begin{enumerate}
\item\relax[2b] Rozhodněte, které z~následujících množin tvoří vektorový prostor nad $\Q$ (vzhledem k~obvyklým operacím):
\begin{enumerate}
 \item Všechny matice s racionálními políčky
 \item Všechny matice $n\times m$ s racionálními políčky
 \item Reálná čísla
 \item $\{\sqrt{q}\mid q\in \Q, q\geq 0\}$.
 \item $\{\sqrt{q}\mid q\in \Q, q\geq 0\}\cup \{-\sqrt{q}\mid q\in \Q, q\geq 0\}$.
 \item Funkce $f\colon \R\to\R$, pro které platí $f(q)=0$ pro každé $q\in \Q$.
 \item Funkce $f\colon \R\to\R$, pro které platí $f(q)=q$ pro každé $q\in \Q$.
 \item Buď $G$ libovolná grupa. Tvoří všechna zobrazení z~grupy $G$ do $\Q$ vektorový prostor nad $\Q$?˝
\end{enumerate}
\item\relax [3b] Buď $X$ libovolná množina. Dokažte, že pokud definujeme součet dvou podmnožin jako jejich symetrickou diferenci, tak podmnožiny $X$ tvoří vektorový prostor nad $\Z_2$ (s očividnou definicí násobení prvky ze~$\Z_2$.).
\item\relax [3b] Nad $\Z_5$ spočtěte
průnik $\left\langle \begin{pmatrix}
                 1 \\ 4 \\ 4
                \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 3\\4\end{pmatrix}
\right\rangle\bigcap \left\langle\begin{pmatrix}
                 1 \\ 1 \\ 4
                \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 4\\0\end{pmatrix}
\right\rangle$. Kolik obsahuje vektorů?

\item\relax[bonus+2] Nad $\Z_7$ najděte soustavu rovnic, jejímž řešením bude
\[
    \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle.
\]

\end{enumerate}   



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
