\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Šestá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 20.11.2020, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}
\begin{enumerate}
\item Máme následující permutace
\[
\sigma = \begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
 2 & 1 & 3 & 8 & 7 & 10 & 6 & 9 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\]
\[\tau = \begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
 1 & 2 & 3 & 6 & 4 & 5 & 10 & 7 & 8 & 9
\end{pmatrix}\]
\[\rho = \begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 1 & 5 & 4 & 3 & 2
\end{pmatrix}\]
\begin{enumerate}
\item\relax [1.5b] Rozložte permutace $\sigma$, $\tau$, $\rho$ 
na součin nezávislých cyklů
\item\relax [1.5b] Spočtěte znaménka $\sigma$, $\tau$, $\rho$
\item\relax [2b] Spočtěte $\sigma\circ \tau$, $\tau\circ\sigma$, $\sigma\circ\tau\circ\rho$ (výsledky uveďte ve tvaru součinu nezávislých cyklů)
\item\relax [2b] Spočtěte $\rho\circ \sigma\circ \rho^{-1}$.
\item\relax [bonus+2b] Spočtěte $\rho^{2020}$.
\end{enumerate}
\item\relax [3b] Nad $\Z_7$ vypočítejtee determinant matice \[\left(\begin{array}{rrrrrr}
1 & 4 & 0 & 2 & 2 & 5 \\
1 & 5 & 3 & 5 & 5 & 5 \\
1 & 4 & 1 & 4 & 5 & 2 \\
2 & 5 & 2 & 4 & 4 & 0 \\
4 & 6 & 2 & 6 & 1 & 2 \\
6 & 4 & 0 & 2 & 5 & 2
\end{array}\right).\]
\end{enumerate}



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
