\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Čtrnáctá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 29.1.2021, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}

\begin{enumerate}
\item\relax[2b] Mějme afinní podprostor $\operatorname{span}\{(2,3,1)^T,(-1,2,0)^T\} + (1,0,1)^T$. Rozhodněte, zda do podprostoru náleží
\begin{enumerate}
	\item $(6,0,2)^T$,
	\item $(6,0,3)^T$.
\end{enumerate}

\item\relax[3b] Rozhodněte, zda jsou $(2,2,2)^T,(4,5,3)^T,(4,4,7)^T,(3,3,-1)^T$ afinně nezávislé.

\item\relax[3b]	Rozhodněte, v jakém vztahu jsou $M,N$ ($\subseteq, \supseteq, =$) když
\begin{itemize}
	\item $M = \operatorname{span}\{(1,1,-1)^T,(2,3,0)^T\} + (2,-3,1)^T$
	\item $N$ je afinní obal $\{(3,-3,-2)^T,(4,1,3)^T,(2,-7,-7)^T\}$
\end{itemize}

\item\relax[2b] Ukažte, že průnik afinních podprostorů je zase afinní podprostor, nebo prázdná množina.

\item\relax[bonus+2b] Najděte v~$\R^4$ příklad afinní roviny a nějakého afinního prostoru, který tuto rovinu neprotíná, ale přitom s~ní není rovnoběžný; či dokažte, že taková situace nemůže nastat.
\end{enumerate} 



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
