\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Třináctá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 22.1.2021, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}

\begin{enumerate}
 \item\relax[3b] 
Určete jádro (tedy bázi jádra zobrazení $f$ kde jsou jednotlivé vektory vyjádřené vůči kanonické bázi) lineárního zobrazení $f \colon \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{3 \times 2}$ daného
\begin{align*}
	f\begin{pmatrix}
		1 & 1 \\
		1 & 1
	\end{pmatrix}
	&=
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 \\
		1 & 2 & 3
	\end{pmatrix} \\
	f\begin{pmatrix}
		0 & 1 \\
		1 & 1
	\end{pmatrix}
	&=
	\begin{pmatrix}
		3 & 3 & 5 \\
		3 & 3 & 5
	\end{pmatrix} \\
	f\begin{pmatrix}
		0 & 0 \\
		1 & 1
	\end{pmatrix}
	&=
	\begin{pmatrix}
		1 & 1 & 1 \\
		1 & 1 & 1
	\end{pmatrix} \\
	f\begin{pmatrix}
		0 & 0 \\
		0 & 1
	\end{pmatrix}
	&=
	\begin{pmatrix}
		1 & 0 & 1 \\
		1 & 0 & 1
	\end{pmatrix} \\
\end{align*}

\item\relax[5b]
Rozhodněte, která tvrzení platí a zdůvodněte (tedy dokažte nebo vyvraťte):
\begin{enumerate}
	\item  $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$, pak $\forall u \in \text{Ker}(A) \cup \text{Ker}(B) \colon u \in \text{Ker}(A + B)$

	\item  $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$, pak $\forall u \in \text{Ker}(A) \cap \text{Ker}(B) \colon u \in \text{Ker}(AB)$

	\item  $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$, pak $\forall u \in \text{Ker}(A) \cup \text{Ker}(B) \colon u \in \text{Ker}(AB)$

	\item  $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$, pak $\forall u \in \text{Ker}(A) \cap \mathcal{S}(B) \colon u \in \text{Ker}(A B)$

	\item  $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, pak $\forall u \in \mathcal{S}(B) \colon u \in \mathcal{R}(A)$

	\item  $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, pak $\exists u \in \mathcal{S}(B) \colon u \in \mathcal{R}(A)$

	\item  $A \in \mathbb{R}^{n \times p}, B \in \mathbb{R}^{p \times m}$ a nechť $\mathcal{S}(B) \subseteq \text{Ker}(A)$, pak $AB$ je nulová matice
\end{enumerate}
\item\relax[3b]
Najděte isomorfismus mezi $\left\{ v \in \mathbb{R}^4 \mid (1, 2, 3, 4) v = 0 \right\}$ a $\left\{ A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid A^T = A \right\}$.
\item\relax[bonus+2] Buď $V$ vektorový prostor nad $\R$ s~bází $B_V=(e_1,e_2,\ldots, e_n)$. Pak všechny lineární funkce $f\colon V\to \R$ tvoří vektorový prostor nad $V$. Ten se nazývá duální prostor k $V$ a značí se $V^*$.
Duální bázi $B_V^*$ k $B_V$ pak tvoří funkce $(f_1,f_2,\ldots, f_n)$ takové,
že $f_i$ přiřadí vektoru $v\in V$ hodnotu $i$-té souřadnice z~$[v]_{B_V}$. 
Vyjádřete matici přechodu od $B_V^*$ k~$B_U^*$, znáte-li matici přechodu od $B_V$ k $B_U$.
\end{enumerate} 



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
