\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Dvanáctá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 15.1.2021, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}

\begin{enumerate}
\item\relax[4b] Dokažte, že větu o dimenzi spojení a průniku NELZE zobecnit na tři podprostory. Tj. ukažte, že i když známe $\dim U_1, \dim U_2, \dim U_3$, 
$\dim (U_1+U_2), \dim (U_1+U_3), \dim (U_2+U_3)$, $\dim(U_1\cap U_2), \dim(U_1\cap U_3), \dim(U_2\cap U_3)$, $\dim(U_1\cap U_2\cap U_3)$, tak není možné určit $\dim (U_1+U_2+U_3)$.

\emph{Připomenutí věty o dimenzi spojení a průniku: Jsou-li $U$ and $V$ vektorové podprostory $W$, pak platí $\dim U+\dim V=\dim (U+V)+\dim (U\cap V)$.}

\item\relax[2b] Vyřešte následující soustavu rovnic v~$\R$ a výsledek uveďte ve tvaru afinního podprostoru, tj. jako $\mathbf{v}+\operatorname{span}(U)$, kde $\mathbf{v}$ je nějaký vektor a $U$ je množina lineárně nezávislých vektorů.
\begin{align*}
2x_1+    4x_2-6x_3 &=0\\
4x_1+    8x_2-10x_3&=4.
\end{align*}
\item\relax[3b] 
Najděte soustavu rovnic nad $\R$, jejímž řešení se rovná $\operatorname{span}\left(\begin{pmatrix}
       2 \\ 4 \\ -6
     \end{pmatrix},
     \begin{pmatrix}
       4 \\ 8 \\ -10
     \end{pmatrix}
\right)$.
\item\relax[bonus+2b]
Dokažte, že všechny funkce $f\colon \R\to \R$, které pro všechna $x\in\R$ splňují
\[f(x) + 2f'(x) + 12f''(x)+\frac{3}{5}f'''(x)=0\] tvoří vektorový prostor nad $\R$.
\end{enumerate}


\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
