\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Jedenáctá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 8.1.2021, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}

\begin{enumerate}
    \item\relax[2b] Rozhodněte, zda je zobrazení $f\colon \R^2\to \R^2$ dané předpisem $f(x,y)=(2x+y,x-2y)$ lineární. Pokud ano, napište jeho matici vůči kanonické bázi.
    \item\relax[2b] Nechť $U$ je vektorový prostor nad $\R$,
    $B_U$ a $B_V$ dvě jeho báze. Máme zadány matice $X={}_{B_V}[id]_{B_U}$, $Y={}_{B_U}[f]_{B_U}$, kde $f\colon U\to U$ je lineární zobrazení.
    Vyjádřete matice \begin{enumerate}
                      \item ${}_{B_V}[f]_{B_V}$,
                      \item ${}_{B_U}[f]_{B_V}$,
                      \item ${}_{B_U}[id]_{B_U}$
                     \end{enumerate}
    pomocí uvedených matic (a případně jednotkové matice).
    \item\relax[4b] Uvažme vektorové prostory $U,V,W$ nad $\R$ a lineární zobrazení $f\colon U\to V$, $g\colon V\to W$.
    Dále máme zadány následující báze oněch prostorů:
    $B_U:=\{-x^2+3, 2x^2-2x+2, x-3\}$, $B_V:=\{(-2,1,3)^T,(1,-2,1)^T, (1,0,-1)^T\}$
    a víme, že
    \[
    {}_{B_W}[g]_{B_V} = \begin{pmatrix}
                         -1 & -1 & 2\\
                         1 & 2 & 0 \\
                         1 & 1 & -1 
                        \end{pmatrix},
    \]
    \[
    {}_{B_V}[f]_{B_U} = \begin{pmatrix}
                         3 & 3 & 0\\
                         -1 & -2 & 1 \\
                         0 & -1 & 1 
                        \end{pmatrix}.
    \]
    \begin{enumerate}
     \item Určete bázi a dimenzi $\ker(g\circ f)$.
     \item Určete bázi a dimenzi $\operatorname{Im}(g\circ f)$
     \item Rozhodněte, zda je zobrazení $g\circ f$ prosté.
     \item Rozhodněte, zda je zobrazení $g\circ f$ na.
    \end{enumerate}
    \item\relax[3b] Nalezněte izomorfismus a k němu inverzní zobrazení mezi 
    $U:=\operatorname{span}\{(1,0,0,0)^T, (0,1,0,0)^T\}$
    a $V:=\operatorname{span}\{(3,2,1,0)^T, (1,1,1,1)^T\}$.
    \item\relax[bonus+3b] Nechť $n$ je přirozené číslo a $P$ vektorový prostor reálných polynomů stupně $\leq n$ nad $\R$. Dokažte, že derivace $p\mapsto p'$ je lineární zobrazení a napište matici tohoto zobrazení vůči bázi $B=(1,x,x^2, x^3,\ldots, x^n)$.
\end{enumerate}



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
