\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Linear algebra}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{a4wide}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}

\begin{document}
\section*{Desátá série domácích úkolů\\z lineární algebry}
\subsection*{Deadline: 21.12.2020, 23:59:59.99}
\subsection*{Zadání}

\begin{enumerate}
\item\relax[3b] Zjistěte, zda 
\[\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}\right\} = 
\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\right\}.\]
Pokud neplatí rovnost, platí alespoň jedna inkluze?
\item\relax[3b] Najděte bázi prostoru
\[\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\3\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\3\\2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\7\end{pmatrix}\right\},\]
která bude obsahovat vektor
$\begin{pmatrix}1\\3\\-5\\0\end{pmatrix}$.

\item\relax[4b] Nad $\mathbb{Z}_{11}$ najděte bázi jádra matice 
\[A=\begin{pmatrix}
1&5&7&4&6\\0&1&4&6&0\\8&2&4&8&0\\0&6&4&4&3
\end{pmatrix}.\]
Dále najděte bázi levého jádra. (Levé jádro je množina všech řádkových vektorů $\mathbf{v}$, pro které platí $\mathbf{v}A=0$.)
\item\relax[bonus+1] Nechť $A$ a $B$ jsou dvě různé matice, které mají stejný redukovaný odstupňovaný tvar. Musí se jejich sloupcové prostory také rovnat?
\end{enumerate}



\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``lingebra''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se ale, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Řešení můžete zaslat i několikrát, počítat se bude nejlepší dosažený počet bodů.

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit a uvést celý postup.\footnote{Na takové úrovni detailů, aby z~řešení bylo jasné, že látku chápete.}
\end{document}
