\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Discrete Mathematics}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[inline]{enumitem}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\section*{Devátá série domácích úkolů\\z diskrétní matematiky}
\subsection*{Deadline: 12. 12. 2020; 23:59:59.99}

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit. 
\subsection*{Zadání}
\begin{enumerate}
\item\relax[3b] Graf $G$ vznikne z~grafu $K_4$ tak, že přidáme jeden vrchol a ten spojíme hranou s jedním vrcholem původního $K_4$. 
Nakreslete $G$ do roviny tak, aby se jeho hrany nekřížily, a určete počet koster $G$.
\item\relax[3b] Buď $G$ libovolný graf. 
Ukažte, že pro každou kostru $K$ grafu $G$ a libovolnou hranu $e\in E(G)\setminus E(K)$ existují dvě různé hrany $f,g\in E(K)$ takové, že $(K\setminus f)\cup e$, i $(K\setminus g)\cup e$ jsou opět kostry grafu $G$.
\item\relax[3b] Nakreslete mřížku 4x4 a jejím hranám přiřaďte různé náhodné ceny.
Na této mřížce pak ilustrujte běh Borůvkova algoritmu pro nalezení minimální kostry krok po kroku.
(Součástí cvičení je i nalezení popisu Borůvkova algoritmu na internetu.)
\item\relax[bonus+2] Nechť $(d_1,d_2,\ldots, d_n)$ je posloupnost kladných celých čísel splňující $\sum_{i=1}^n  d_i = 2n-2.$
Dokažte, že počet stromů na $n$ vrcholech takových, že $\deg v_i=d_i$ je roven
\[
    \frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}.
\]

\end{enumerate}


\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``diskretka''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Příklady můžete zaslat i opakovaně, počítá se nejlepší dosažení počet bodů.
\end{document}
