\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Discrete Mathematics}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[inline]{enumitem}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\section*{Sedmá série domácích úkolů\\z diskrétní matematiky}
\subsection*{Deadline: 27. 11. 2020; 23:59:59.99}

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit. 
\subsection*{Zadání}
\begin{enumerate}
\item\relax[3b] Dokažte, že posloupnost $(d_1,d_2,\ldots, d_n)$ nezáporných celých čísel 
je skóre stromu právě tehdy, když $\sum_{i=1}^n d_i= 2n-2$.´
\item\relax[4b] Cílem tohoto cvičení je pochopit, jak rychle dovedete vstřebat nové pojmy.

Vzdálenost $\operatorname{dist}_G(x,y)$ dvou vrcholů $x,y$ grafu $G$ je definována jako délka nejkratší cesty z~ $x$ do $y$. Pokud žádná taková neexistuje, je vzdálenost definována jako $+\infty$. Excentricita vrcholu $x$ je $\operatorname{ecc}_G(x)=\max_{v\in V(G)} \{\operatorname{dist}_G(x,v)\}$.
Poloměr $\operatorname{diam}_G(G)$ grafu $G$ je definován jako $\max_{v\in V(G)} \{\operatorname{ecc}_G(v)\}$ a 
průměr $r(G)$ jako $\min_{v\in V(G)}\{\operatorname{ecc}_G(v)\}$.

Centrum grafu je množina všech vrcholů $v$, pro které platí $r(G)=\operatorname{ecc}_G(v)$.
Periferie grafu je množina všech vrcholů $v$, pro které platí $\operatorname{diam}(G) = \operatorname{ecc}_G(v)$.

Nakreslete svůj oblíbený souvislý graf se skórem $(4, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1)$ a určete jeho průměr a poloměr a vyznačte jeho centrum a periferii.

\item\relax [3b] Spočtěte počet automorfismů následujících grafů: $C_5$, $P_5$, Petersonův graf. (Automorfismus je bijektivní zobrazení $V(G)$ na $V(G)$, které hrany zobrazuje na hrany a nehrany na nehrany.)
\item\relax [Bonus+2] V turnaji $n$ hráčů hrál každý s každým právě jednou. Hamiltonovská cesta je takové uspořádání $n$ hráčů, že první porazil druhého, druhý třetího, \ldots Dokažte, že turnaj mohl dopadnout tak, že existovalo alespoň $n!/2^{n-1}$. hamiltonovských cest.
\end{enumerate}

\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``diskretka''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Příklady můžete zaslat i opakovaně, počítá se nejlepší dosažení počet bodů.
\end{document}
