\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Discrete Mathematics}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[inline]{enumitem}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\section*{Dvanáctá série domácích úkolů\\z diskrétní matematiky}
\subsection*{Deadline: 15. 1. 2020; 23:59:59.99}

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit. 
\subsection*{Zadání}
\begin{enumerate}
\item\relax[3b] Buď $p$ reálné číslo z intervalu $[0,1]$. 
Graf $G(n,p)$ je náhodný graf, který má $n$ vrcholů a každou hranu $e$ do něj umístíme náhodně a nezávisle na ostatních s~pravděpodobností $p$. 
Spočtěte střední hodnoty počtu hran
a počtu trojúhelníků obsažených v $G(n,p)$.

\item\relax[4b] Nechť $n$ je přirozené číslo.
Vybereme náhodnou permutaci $\pi\colon \{1,2,\ldots, n\}\to\{1,2,\ldots, n\}$.\\ (Každá permutace má stejnou pravděpodobnost $1/n!$).
Náhodná veličina $X$ je počet pevných bodů $\pi$, tj. počet takových $i\in \{1,2,\ldots, n\}$, pro která platí $\pi(i)=i$.
Určete střední hodnotu $\mathbb{E}X$.

\item\relax[3b] Najděte příklad tří jevů, které jsou po dvou nezávislé (tj. každá dvojice jevů je nezávislá), ale nejsou nezávislé.

\item\relax[bonus+3]
Dokažte, že pro $n<2^{k/2}$ máme nenulovou pravděpodobnost, 
že graf $G(n,\frac{1}{2})$ neobsahuje nezávislou množinu\footnote{Tj. podmnožinu vrcholů, která neobsahuje ani jednu hranu.} velikosti $k$ ani úplný podgraf velikosti $k$.
\end{enumerate}


\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``diskretka''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Příklady můžete zaslat i opakovaně, počítá se nejlepší dosažení počet bodů.
\end{document}
