\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb} %basic mathematical fonts and symbols
\usepackage{graphicx} %inclusion of pictures
\usepackage{fnpct} %proper footnotes spacing after commas and dots
\usepackage{footnotebackref} 		%Footnotes reference back to the original text
\usepackage{hyperref}						%references are clickable
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=red, urlcolor=blue, citecolor=blue, pdfpagemode=UseNone, pdfstartview=FitH, bookmarksopen=true}
\hypersetup{pdftitle=Discrete Mathematics}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[inline]{enumitem}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % absolute value
\newcommand{\lnorm}[2]{{\left\|#2\right\|_#1}}% an l_p norm
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|} % a norm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 	%real numbers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 	%integers
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 	%natural numbers
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 	%rational numbers
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 	%complex numbers

%opening
\title{}
\author{}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\section*{Jedenáctá série domácích úkolů\\z diskrétní matematiky}
\subsection*{Deadline: 8. 1. 2020; 23:59:59.99}

U každého příkladu nezapomeňte svá řešení pořádně zdůvodnit. 
\subsection*{Zadání}
\begin{enumerate}
\item\relax[3b] Ukažte, že duál rovinného grafu závisí na nakreslení; tj. najděte graf $G$ a dvě jeho nakreslení taková, že každé poskytne jiný (tj. neizomorfní) duál ke $G$.
\item\relax[3b] Nechť $G$ je rovinný graf. Dokažte, že duál duálu $G$ je graf izomorfní $G$. 
(Uvažujte standardní nakreslení duálu.)
\item\relax[4b] Nechť $G$ je jednoduchý rovinný graf s~alespoň 11 vrcholy. Dokažte, že doplněk $G$ nemůže být rovinný. 

\item\relax[bonus+$X$] Najděte příklad rovinného grafu s co největším počtem vrcholů, jehož doplněk bude rovinný. [$X = $ počet vrcholů najdeného grafu/2.]
\end{enumerate}


\subsection*{Pokyny}
Řešení posílejte na ppatak@seznam.cz s předmětem ``diskretka''.
Řešení mohou být v jakémkoli formátu (v ideálním případě pdf z \LaTeX{u}, ale stačí i naskenované, nafocené pdf, jpeg), 
snažte se, aby byla řešení čitelná.
U bonusových příkladů se Vám body započítavají, 
ale body z bonusového příkladu se nepočítají do celkového maximálního počtu bodů.
Příklady můžete zaslat i opakovaně, počítá se nejlepší dosažení počet bodů.
\end{document}
